苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用精练

展开

这是一份苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用精练，共20页。试卷主要包含了下列函数中,在上单调递增的有，求下列函数的单调区间，故选C等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一利用导数研究函数的图象变化
1.如图所示的是导函数y=f '(x)在[a,b]上的图象,那么函数y=f(x)在[a,b]上的单调递减区间是( )
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下月考)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么其导函数y=f '(x)的图象可能是( )
3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
4.已知函数f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f '(x)为其导函数,且y=f '(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
题组二利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.(2020江苏淮安金湖中学高二下期中)函数f(x)=x3-3x的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(1,+∞)
6.(2020江苏泰州高二下期末)函数f(x)=x2-2ln x的单调递增区间为( )
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)
7.(2020吉林高二下期末)函数f(x)=x+sin x在区间(0,π)上的单调性为( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在0,π2上单调递增,π2,π上单调递减
D.在0,π2上单调递减,π2,π上单调递增
8.(多选)(2020江苏苏州张家港高二下期中)下列函数中,在(-∞,+∞)上单调递增的有( )
A.f(x)=x4 B.f(x)=x-sin x
C.f(x)=xex D.f(x)=ex-e-x-2x
9.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x2·e-x;
(3)f(x)=x+1x.
10.(2020江苏盐城高二下期末)设函数f(x)=-ln x+mx2-2x(m∈R).
(1)当m=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当m=32时,求函数f(x)的单调递增区间.
11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f '(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组三利用导数解决含参函数的单调性问题
12.(2020江苏常熟高二下期中)若函数f(x)=x3-3bx+2在区间(2,3)内单调递增,则实数b的取值范围是( )
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
14.(2020江苏徐州高二下期中)若函数f(x)=x3-ax2+4在区间[0,2]上不单调,则实数a的取值范围为 .
15.(2020江苏宿迁高二下期中)函数y=x3+2x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是 .
16.(2020江苏淮安马坝高级中学高二下期中)已知函数f(x)=ln x+ax.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=4x+1平行,求a的值;
(2)试讨论f(x)的单调性.
17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一利用导数研究函数的图象变化
(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=
f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
2.(2021江苏苏州中学高三上测试,)函数f(x)=2lnxx的图象大致是( )
3.()已知函数f(x)与f '(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为 .
4.(2020黑龙江牡丹江一中高二下期末,)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf '(x)>0的解集为 .
题组二利用导数研究函数的单调性
5.(2021江苏常州一中、南京二十九中高三上11月联考,)已知函数f(x)=x+cs x,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(lg20.2),则( )
A.bC.b6.(2020江苏盐城伍佑中学高二下期中,)函数f(x)=sin x-2x,若x1,x2∈-π2,π2,且f(x1)+f(x2)>0,则下列结论中正确的是( )
A.x1>x2 B.x1C.x1+x2>0 D.x1+x2<0
7.(2020江苏南京临江高级中学高二下期中,)已知函数f '(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=1e,对任意实数x都有f(x)-f '(x)>0,设F(x)=f(x)ex,则不等式F(x)<1e2的解集为( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(1,e) D.(e,+∞)
8.(多选)(2020江苏徐州高二下期中,)若函数y=f(x)lnx在(1,+∞)上单调递减,则称f(x)为“M函数”,下列函数中是“M函数”的有( )
A.f(x)=1 B.f(x)=x C.f(x)=1x D.f(x)=x2
9.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是( )
A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln4
10.(2020江西上饶高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值为 .
11.(2020江苏镇江扬中高级中学高二下期中,)已知函数f(x)=x2+ln x-ax.
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.
12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f 2a-x>0的解集.
题组三利用导数解决含参函数的单调性问题
13.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中,)定义在R上的可导函数f(x)满足f '(x)<1,若f(m)-f(1-2m)≥3m-1,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.-∞,13
C.[-1,+∞) D.13,+∞
14.(2020江苏淮安地区五校高二下6月联考,)若函数f(x)=2x2-
ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则实数k的取值范围是( )
A.1,32 B.1,32 C.1,32 D.0,32
15.(2020江苏扬州高二下期中,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是( )
A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)
16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,则实数a的取值范围是 .
17.(2020江苏无锡锡东高级中学高二下4月线上质检,)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=12,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2.
(1)已知f '(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f '(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有
f x1+x22答案全解全析
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
基础过关练
1.B 原函数的单调递减区间就是其导函数的值小于零的区间.故选B.
2.A y=f(x)的图象为先增后减,再增再减,因此y=f '(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零,结合选项可知A符合,故选A.
3.A 因为函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)的图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.
4.答案 (-2,4)
解析由题图知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得05.C 易得f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f '(x)<0,得-1所以函数f(x)=x3-3x的单调递减区间为(-1,1).故选C.
6.A 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,
令f '(x)>0,得x>1,∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),故选A.
7.A 由f(x)=x+sin x,可得f '(x)=1+cs x,易知f '(x)≥0在(0,π)上恒成立,故f(x)=x+sin x在区间(0,π)上单调递增.
故选A.
BD 由f(x)=x4得f '(x)=4x3,当x>0时,f '(x)=4x3>0,则f(x)单调递增;当x<0时,
f '(x)=4x3<0,则f(x)单调递减,故排除A.由f(x)=x-sin x得f '(x)=1-cs x,则f '(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为零,所以f(x)=x-sin x在(-∞,+∞)上单调递增,故B满足题意.由f(x)=xex得f '(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f '(x)>0,则f(x)单调递增;当x<-1时,
f '(x)<0,则f(x)单调递减,故排除C.
由f(x)=ex-e-x-2x得f '(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时取“=”,所以f(x)=ex-e-x-2x在(-∞,+∞)上单调递增,故D满足题意.故选BD.
9.解析 (1)易知函数的定义域为(0,+∞).
f '(x)=6x-2x,令f '(x)=0,解得x1=33,x2=-33(舍去),当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
∴函数f(x)的单调递减区间为0,33,单调递增区间为33,+∞.
(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).
f '(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f '(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,
f '(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
f '(x)=1-1x2,令f '(x)=0,得x=-1或x=1,当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
10.解析 (1)当m=1时,f(x)=-ln x+x2-2x,
f '(x)=-1x+2x-2,
∴f(1)=-1,f '(1)=-1,
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-(-1)=-(x-1),即x+y=0.
(2)当m=32时,f(x)=-ln x+32x2-2x,
∴f '(x)=-1x+3x-2=3x2-2x-1x(x>0),
令f '(x)>0,得3x2-2x-1x>0,
∵x>0,∴3x2-2x-1>0,
解得x<-13(舍去)或x>1,
∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
易错警示
要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故用导数法求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
11.解析 (1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=2ax+2-43x(x>0),
由f '(1)=2a+23=0,得a=-13.
(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x(x>0),
则f '(x)=-23x+2-43x=-2(x-1)(x-2)3x.
令f '(x)=0,得x=1或x=2;
令f '(x)>0,得1令f '(x)<0,得02.
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
12.A f(x)=x3-3bx+2,则f '(x)=3x2-3b,
∵函数f(x)=x3-3bx+2在区间(2,3)内单调递增,
∴f '(x)=3x2-3b≥0在(2,3)上恒成立,则b≤x2在x∈(2,3)上恒成立,
故b≤4.
13.D 由题意得f '(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f '(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,解得0∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
14.答案 (0,3)
解析易得f '(x)=3x2-2ax,∵函数f(x)=x3-ax2+4在区间[0,2]上不单调,
∴3x2-2ax=0在(0,2)内有解,即a=32x,
又x∈(0,2),∴a∈(0,3).
15.答案 43,+∞
解析令y=f(x)=x3+2x2+mx+1,则f '(x)=3x2+4x+m,
结合二次函数的性质可知,若函数f(x)是R上的单调函数,则函数f(x)只能是R上的单调递增函数,所以f '(x)=3x2+4x+m≥0在R上恒成立,故Δ=16-12m≤0,解得m≥43.
16.解析 (1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=a+1x,所以f '(1)=a+1,即切线的斜率k=a+1,
又切线与直线y=4x+1平行,所以a+1=4,即a=3.
(2)由(1)得f '(x)=a+1x=ax+1x,f(x)的定义域为(0,+∞).
若a=0,则f '(x)=1x>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
若a>0,则f '(x)=ax+1x>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
若a<0,则当ax+1>0,即00,当ax+1<0,即x>-1a时,f '(x)<0,此时函数f(x)在0,-1a上为单调递增函数,在-1a,+∞上为单调递减函数.
综上所述,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
当a<0时,函数f(x)在0,-1a上为单调递增函数,在-1a,+∞上为单调递减函数.
思想方法
本题求解的关键是分类讨论,由于f(x)中含有参数a,故f '(x)的正负取决于参数a的取值,所以要对a与0的关系进行分类讨论,讨论时注意不要忽略a为0的情形.
17.解析由题意得f '(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f '(x)=0的两个根,
∴3-2a3=1,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f '(x)≤0在(-1,1)内恒成立.
又二次函数y=f '(x)的图象开口向上,方程f '(x)=0的一个根为-1,
∴3-2a3≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.
能力提升练
1.D 设导函数y=f '(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1<0,x3>x2>0,故y=f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增.故选D.
2.A 因为f(x)=2lnxx,
所以f '(x)=2-2lnxx2(x>0),
令f '(x)=0,得x=e,当00,当x>e时,f '(x)<0,
所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,又当x>1时,f(x)>0,
所以结合选项可知选A.
3.答案 (0,1),(4,+∞)
解析 g'(x)=f '(x)ex-f(x)(ex)'(ex)2=f '(x)-f(x)ex,
由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f '(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;
当x∈(4,+∞)时,f '(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,
故函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).
4.答案 0,12∪(2,+∞)
解析由题中y=f(x)的图象可知f(x)在-∞,12和(2,+∞)上单调递增,在12,2上单调递减,
所以f '(x)>0的解集为-∞,12∪(2,+∞),f '(x)<0的解集为12,2,
由xf '(x)>0得f '(x)>0,x>0或f '(x)<0,x<0,所以xf '(x)>0的解集为0,12∪(2,+∞).
5.D 由f(x)=x+cs x,可得f '(x)=1-sin x,易知f '(x)≥0在R上恒成立且不恒为0,所以y=f(x)在R上单调递增,
又0.3-1>2-0.3>lg20.2,所以f(0.3-1)>f(2-0.3)>f(lg20.2),所以c方法技巧
比较大小的一种常用方法是通过构造函数,把所要比较的数转化为相应函数的函数值,再借助所构造函数的单调性作出判断,而导数则是研究函数单调性的有力工具.
6.D ∵f(x)=sin x-2x,∴f '(x)=cs x-2<0,所以函数f(x)在-π2,π2上是减函数,又f(-x)=sin(-x)+2x=-sin x+2x=-(sin x-2x)=-f(x),所以函数f(x)在-π2,π2上是奇函数,由f(x1)+f(x2)>0,得f(x1)>-f(x2)=f(-x2),又f(x)在-π2,π2上是减函数,所以x1<-x2,故x1+x2<0,故选D.
7.B ∵F(x)=f(x)ex,∴F'(x)=f '(x)ex-f(x)exe2x=f '(x)-f(x)ex,
∵对任意实数x都有f(x)-f '(x)>0,
∴F'(x)<0在R上恒成立,即F(x)在R上单调递减.
又∵f(1)=1e,∴F(1)=1e2,∴不等式F(x)<1e2等价于F(x)方法技巧
利用导数解抽象不等式,实质是利用导数研究相应函数的单调性,而相应函数需要构造.常见的构造函数的方法如下:已知f '(x)8.AC 对于A,f(x)=1,则y=f(x)lnx=1lnx,当x>1时,y'=-1xln2x<0,
此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+∞)上单调递减,即f(x)为“M函数”,A正确;
对于B,f(x)=x,则y=f(x)lnx=xlnx,故y'=lnx-1ln 2x.
当1e时,y'>0,此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+∞)上不单调,B错误;
对于C,f(x)=1x,则y=f(x)lnx=1xlnx,当x>1时,y'=-1+lnxx2ln2x<0,
此时,函数y=f(x)lnx在区间(1,+∞)上单调递减,即f(x)为“M函数”,C正确;
对于D,f(x)=x2,则y=f(x)lnx=x2lnx,故y'=x(2lnx-1)ln 2x.
当1e时,y'>0.此时,y=f(x)lnx在区间(1,+∞)上不单调,D错误.故选AC.
9.AC 设函数f(x)=xlnx,x>0且x≠1,
则f '(x)=lnx-1ln2x=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,
设g(x)=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,则g'(x)=2-lnxxln3x,x>0且x≠1,
当x→+∞时,g'(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的大致图象如图所示:
由图象可知随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.
10.答案 1
解析易得f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f '(x)=1+cs x≥0在R上恒成立且不恒为0,
所以f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,
所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=19×5+ba+4ab≥195+2ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a+1b的最小值为1.
11.解析 (1)当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x(x>0),
∴f '(x)=2x+1x-3=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x(x>0),
令f '(x)>0,得01,
故f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞).
(2)易得f '(x)=2x+1x-a,∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,即a≤2x+1x在(0,1)上恒成立,
∵2x+1x≥22当且仅当x=22时取等号,
∴a≤22,即a的取值范围为(-∞,22].
12.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=1x-a=1-axx.
①若a≤0,则f '(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②若a>0,则当00,当x>1a时,f '(x)<0.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴x>0,2a-x>0,a>0,∴0设F(x)=f(x)-f2a-x
=ln x-ax-ln2a-x+a2a-x
=ln x-ln2a-x-2ax+2,x∈0,2a,
则F'(x)=1x+12a-x-2a=2ax-1a2x2a-x≥0,∴F(x)在0,2a上单调递增,
又F1a=0,∴当x∈0,1a时,F(x)<0,当x∈1a,2a时,F(x)>0,
∴f(x)-f2a-x>0的解集为1a,2a.
13.B 令g(x)=f(x)-x(x∈R),则g'(x)=f '(x)-1<0,故函数g(x)在R上单调递减.
原不等式可化为f(m)-m≥f(1-2m)+2m-1,即g(m)≥g(1-2m),∴m≤1-2m,解得m≤13.
因此,m的取值范围是-∞,13.
14.C 函数f(x)=2x2-ln x的定义域为(0,+∞),
且f '(x)=4x-1x,令f '(x)=0,解得x=12(负值舍去),
当x∈0,12时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈12,+∞时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
要使得函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,
则应满足k-1<12即实数k的取值范围是1,32.故选C.
15.D 由f(x1)-f(x2)x1-x2>2,
得 f(x1)-2x1-[f(x2)-2x2]x1-x2>0,
令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x2-2x(a>0),则g(x)为定义域上的增函数,
所以g'(x)=ax+x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)在x>0时恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a≥1.
方法技巧
解决不等式恒成立问题时,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式ax+x-2≥0(x>0,a>0)中的a分离出来,即为a≥x(2-x)(x>0).
16.答案 (-∞,0]
解析函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,即f '(x)=cs x-ax≥0在0,π4上恒成立,即a≤xcs x在0,π4上恒成立.令g(x)=xcs x,
则g'(x)=cs x-xsin x,令h(x)=cs x-xsin x,则h'(x)=-2sin x-xcs x,易得h'(x)<0在0,π4上恒成立,
所以g'(x)在0,π4上单调递减,
又g'π4>0,所以g'(x)>0在0,π4上恒成立,
所以函数g(x)在0,π4上单调递增,
可得g(x)>g(0)=0,
所以a≤0.
方法技巧
利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,此时可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cs x-xsin x=0,不易求解,故令h(x)=cs x-xsin x,再求一次导数,即h'(x)=-2sin x-xcs x,即二次求导.
17.解析 (1)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2,
则f '(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f '(x)>0;当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,则g'(x)=ex-a.
若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.
若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,
从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0.综上可知,a的取值范围为(-∞,1].
18.解析 (1)由已知得f '(x)=ex+2ax,
则g(x)=f '(x)=ex+2ax,则g'(x)=ex+2a.
①若a≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意;
②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,
∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a≤-e2,
此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.
由①②可得,使导函数f '(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a的取值范围是-∞,-e2∪[0,+∞).
(2)证明:∵x1≠x2,∴不妨设x1取x1为自变量构造函数F(x1)=fx1+x22-f(x1)+f(x2)2,
则F'(x1)=12f 'x1+x22-f '(x1)2
=12f 'x1+x22-f '(x1),
∵a>0,∴f '(x)=ex+2ax在R上单调递增,
又x1+x22-x1=x2-x12>0,∴f 'x1+x22>f '(x1),即F'(x1)>0.
∴关于x1的函数F(x1)在R上单调递增,
∴F(x1)∴fx1+x22