高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题，共19页。试卷主要包含了求下列函数的极值，故选ACD等内容，欢迎下载使用。
题组一 函数极值的概念及其求解
1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2020江苏镇江吕叔湘中学高二下期中)函数f(x)=ln x-x的极大值点为( )
A.1 B.-1 C.e D.1-e
3.(2020江苏无锡高二下期中)已知函数f(x)=-x+2sin x,x∈0,π2,则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)有极大值1-π3
B.函数f(x)有极小值1-π3
C.函数f(x)有极大值3-π3
D.函数f(x)有极小值3-π3
4.(多选)(2020江苏无锡太湖高级中学高二下月考)如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下述结论正确的有( )
A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增
B.当x=-12时,函数y=f(x)有极大值
C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增
D.当x=2时,函数y=f(x)取得极大值
5.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=2xx2+1-2;
(3)f(x)=x2-2ln x.
题组二 含参函数的极值问题
6.(2020江苏徐州高二下期中)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2020江苏苏州四中高二下期中)函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,则a的取值范围为( )
A.0,12 B.0,32
C.(0,1) D.(-1,0)
8.(2019江苏如皋高二下检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+1在x=1处取得极大值4,则2a+b= .
9.(2020甘肃酒泉高二期末)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a,b,c的值,并求出相应的极值.
题组三 函数极值的综合应用
10.(2021四川成都七中高三上月考)“a>2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+∞)上有极值”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
11.(2021江苏常州华罗庚中学高三上阶段测试)若m>0,n>0,且函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,则mn的最大值为( )
A.16 B.25 C.36 D.49
12.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·ex,若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为3e,则f(x)的极大值是( )
A.4e-2 B.4e2 C.e-2 D.e2
13.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 f'(1)f'(0)= .
14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=x0处取得极小值-5,其导函数f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).
(1)求a,b的值;
(2)求x0及函数f(x)的表达式.
15.(2020江苏常熟高二下期中)已知函数f(x)=ax+bx·ln x, f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,其中e是自然对数的底数.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.
能力提升练
题组一 函数极值的求解及其应用
1.(多选)(2020江苏扬州中学高二下期中,)定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则以下结论正确的是( )
A.-3是y=f(x)的极小值点
B.-2和-1都是y=f(x)的极大值点
C.y=f(x)的单调递增区间是(-3,+∞)
D.y=f(x)的单调递减区间是(-∞,-3)
2.(2020江苏徐州丰县中学高二下期中,)函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f '(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2021湖北六校高三上10月联考,)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则( )
A.f(x)的极大值为427,极小值为0
B.f(x)的极大值为0,极小值为-427
C.f(x)的极小值为-527,极大值为0
D.f(x)的极小值为0,极大值为527
4.(2020江苏盐城安丰中学高二下月考,)已知函数f(x)=sin x+
ln x-1.
(1)求f(x)的图象在点π2,fπ2处的切线方程;
(2)求证:f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值.
题组二 含参函数的极值问题
5.(2020江苏常州教育学会高二下期末,)已知函数f(x)=ax3+3x+1的极大值与极小值的差为4,则实数a的值为( )
A.-1 B.-14 C.14 D.1
6.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x2-(3m+1)x+3,x≤0,mx2+xlnx,x>0恰有三个极值点,则m的取值范围是( )
A.-12,-13 B.-12,0
C.-1,-13 D.-1,-12
7.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=ax+x2的极值点,则实数a的值为 .
8.(2020江苏常熟中学高二下六月质检,)已知函数f(x)=13x3-12ax2+(x-a)cs x-sin x(a∈R).
(1)求证:当x>0时,x>sin x;
(2)当a≥0时,讨论函数f(x)的单调性,并判断f(x)有无极值,若有极值,求出极值.
9.(2020江苏镇江中学高二下期中,)设函数f(x)=ex[ax2-(4a+1)x+4a+3].
(1)a>0时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
题组三 函数极值的综合应用
10.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中,)已知等差数列{an},若a2、a4 038是函数f(x)=13x3-x2+mx+1的极值点,则a2 020的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
11.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是( )
A.(-e,e) B.[-e,e]
C.(-1,1) D.[-1,1]
12.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是( )
A.00,则函数f(x)有极值
C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-∞,1e
D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪1e
14.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x, f'(x)为f(x)的导函数.求证:
(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;
(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.
15.(2020江苏宿豫中学高二月考,)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x.
(1)若f(x)在x=1处取得极小值,求实数a的值;
(2)设x1,x2是g(x)=f(x)-6ax2-3a2x+5a(a>0)的两个极值点,若g(x1)+g(x2)≤0,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由极值点的概念可以得出,若可导函数f(x)的极值点为x0,则f'(x0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.
2.A 因为f(x)=ln x-x(x>0),所以f '(x)=1x-1=1-xx(x>0).当x>1时,f '(x)0,函数f(x)单调递增;当x∈π3,π2时,f '(x)0,
∴当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=1,无极大值.
D 易得f '(x)=3x2+2ax+3,又f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,所以
f '(-3)=27-6a+3=0,解得a=5.故选D.
7.A 易得f(x)的定义域为(-1,+∞),f '(x)=2x+a1+x=2x2+2x+ax+1,
∵函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,∴2x2+2x+a=0在(-1,+∞)上有两个不等的实根,
∴2-2+a>0,Δ=4-8a>0,-12>-1,解得00,得00,函数为增函数;
在(-1,1)上, f'(x)0.所以函数f(x)在x=a-1处取得极小值.若函数f(x)在(0,+∞)上有极值,则a-1>0,即a>1.因此,“a>2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.故选A.
11.C 因为f(x)=8x3-mx2-2nx+3,所以f '(x)=24x2-2mx-2n,
又函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,所以f '(1)=24-2m-2n=0,即m+n=12,因为m>0,n>0,
所以mn≤m+n22=36,当且仅当m=n=6时,等号成立.故选C.
12.A 因为函数f(x)=(x2-m)ex,所以f '(x)=ex(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为3e,得f '(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.故f '(x)=ex(x2+2x)=ex(x+2)x,因为ex>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e-2.故选A.
13.答案 1
解析 由题意得,m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题图可知,x=2是函数f(x)的极大值点,x=-1是其极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
由f'(-1)=3m-2n+p=0,f'(2)=12m+4n+p=0,
解得p=-6m,2n=-3m,
∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,
∴f'(1)f'(0)=1.
14.解析 (1)由题意可得f'(x)=3x2+2ax+b.
∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),
∴b=0,12+4a+b=0,解得a=-3,b=0.
(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)>0,得x>2或x0),
由f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,知切点为(e,0),切线的斜率为-1,
所以f(e)=(a+b)e=0,f '(e)=a+2b=-1,
解得a=1,b=-1.
(2)由(1)知f(x)=x-xln x(x>0),
则f '(x)=-ln x(x>0),
令f '(x)=0,得x=1,
当x变化时, f(x),f '(x)的变化情况如下表:
由表可知,当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为f(1)=1,无极小值.
16.解析 (1)由题意得, f'(x)=6x2+6ax+3b,
由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f'(1)=6+6a+3b=0,f'(2)=24+12a+3b=0,解得a=-3,b=4,经检验符合题意.
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,
f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),
令f'(x)=0,得x=1或x=2,
当x2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当10,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极大值为f13=427,极小值为f(1)=0,故选A.
4.解析 (1)由f(x)=sin x+ln x-1可得f '(x)=cs x+1x,
fπ2=1+lnπ2-1=lnπ2,f 'π2=csπ2+2π=2π,
所以f(x)的图象在点π2,fπ2处的切线方程为y-lnπ2=2πx-π2,即y=2πx+lnπ2-1.
(2)证明:f '(x)=cs x+1x,设g(x)=f '(x)=cs x+1x,x∈(0,π),则g'(x)=-sin x-1x20,f '(π)=-1+1π0,f(x)单调递增;当x∈(x0,π)时,f '(x)0,所以当x=--1a时,f(x)取得极小值,当x=-1a时,f(x)取得极大值.又极大值与极小值的差为4,
∴f-1a-f--1a=a×-1a-1a+3-1a-a×-1a--1a-3--1a=4,
解得a=-1,经检验符合题意,故选A.
6.A 由题可知f '(x)=2x-(3m+1),x≤0,2mx+lnx+1,x>0,
当x>0时,令f '(x)=0,
得-2m=lnx+1x,
令g(x)=lnx+1x(x>0),
则g'(x)=-lnxx2(x>0),
则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的大致图象如图所示,
所以当00时,令f '(x)>0,可得xa;令f '(x)0,得x2;
当012时,f(x)的单调递增区间是-∞,1a,(2,+∞);
当00,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
函数f(x)的大致图象如图所示.
由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与函数f(x)的图象有四个不同的交点,故m∈(-e,e),故选A.
解题模板
利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.
12.AD ∵f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x(x>0),
易得f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上单调递增,且f'1e=2e>0,
∵当x→0时, f'(x)→-∞,∴00,f(x)在(0,α)上单调递增;
当x∈(α,π)时, f'(x)0,
又因为f1e2=-2-1e2+2sin 1e20;
当-1