5.1~5.3综合拔高练-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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5.1~5.3综合拔高练
五年高考练
考点1　导数的运算法则及其几何意义
1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (　　)
A.a=e,b=-1　　　　B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1　　　　D.a=e-1,b=-1
2.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　. 
3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. 
考点2　函数的导数与单调性
4.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　　)


5.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 
6.(2020全国Ⅰ,20,12分,)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.









考点3　函数的导数与极值、最值
7.(2019天津,8,5分,)已知a∈R.设函数f(x)=x2-2ax+2a,x≤1,x-alnx,x>1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 (　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,2]　　　　C.[0,e]　　　　D.[1,e]
8.(2018江苏,11,5分,)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　. 
9.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　. 
10.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的

圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,
△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　. 
11.(2020全国Ⅲ,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12, f12处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.






12.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.







三年模拟练
应用实践
1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数 f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)

　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
2.(2021安徽皖江名校联盟高三上联考,)从一张圆形铁板上沿两条半径剪下一个扇形,将其制成一个无底的圆锥容器,当容器容积最大时,该扇形的圆心角是 (　　)
A.23π　　　　B.π　　　　
C.233π　　　　D.263π
3.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]已知函数f(x)=xln(1+x),则 (　　)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)有两个零点
C.曲线y=f(x)在点-12,f-12处切线的斜率为-1-ln 2
D.f(x)是偶函数
4.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]设函数f(x)=cos2x2+sinxcosx,则 (　　)
A.f(x)=f(x+π)　　　　
B.f(x)的最大值为12
C.f(x)在-π4,0上单调递增　　　　
D.f(x)在0,π4上单调递减
5.(多选)(2021江苏扬州大学附中高三上月考,)设f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=12,则下列结论不正确的是 (　　)
A.xf(x)在(0,+∞)上单调递增　　　　
B.xf(x)在(1,+∞)上单调递增
C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值12
D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值12
6.(2021江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则b= (　　)
A.2　　　　B.12　　　　C.ln e2　　　　D.ln 2e
7.(多选)(2021江苏扬州中学高二上开学检测,)已知函数f(x)=(x2-1)2-|x2-1|+k,给出下列四个命题,其中是真命题的有 (　　)
A.存在实数k,使得函数恰有2个不同的零点
B.存在实数k,使得函数恰有6个不同的零点
C.存在实数k,使得函数恰有5个不同的零点
D.存在实数k,使得函数恰有8个不同的零点
8.(2021江西上饶高三上第三次月考,)设函数f(x)=(x-a)2+e,x≤2,xlnx+a+10,x>2(e是自然对数的底数),若f(2)是函数f(x)的最小值,则a的取值范围是　　　　. 
9.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考,)已知函数f(x)=(2a-1)x+3a-4,x≤t,x3-x,x>t,无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则实数a的取值范围是　　　　. 
10.(2021浙江宁波北仑中学高二上期中,)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是其导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为　　　　　　. 
11.(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考,)已知函数f(x)=ln x-12ax2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2,试证明:x1+x2>2.










12.(2020江苏苏州中学高二月考,)已知OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+42x2(x>0).为方便游客观光,拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,设PM=x百米,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.











迁移创新
13.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值.
(1)试判断a,b的符号,并求f(x)的极小值点;
(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a0时, f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时, f '(x)≥0恒成立,不能漏掉等于0,但要检验f '(x)=0时得到的参数a是否满足题意.
6.解析　(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f '(x)=ex-1.
当x0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f '(x)=ex-a.
当a≤0时,f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f '(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f '(x)0时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.
当00, f(x)为增函数,∴x>0时, f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.
∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
∴fa3=0,∴a=3.
∴f(x)=2x3-3x2+1,则f '(x)=6x(x-1).
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f '(x)

+

-

f(x)
-4
增
1
减
0
∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.
∴最大值与最小值的和为-3.
9.答案　-332
解析　解法一:由f(x)=2sin x+sin 2x,得f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2,
令f '(x)=0,得cos x=12或cos x=-1,可得当cos x∈-1,12时, f '(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
三年模拟练
1.A　结合题中图象列表如下:
x
(-∞,
-3)
-3
(-3,
0)
0
(0,3)
3
(3,
+∞)
xf'(x)
+
0
-
0
+
0
-
f'(x)
-
0
+

+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗

↗
极大值
↘
由表知,A正确,故选A.
2.答案　D
信息提取　(1)将一张圆形铁板上沿两条半径剪下的扇形制成一个无底的圆锥容器;(2)求容器容积最大时,扇形的圆心角.
数学建模　本题以生活中制作的圆锥容器为背景,构建函数模型,借助导数研究圆锥容积的最值,在解题过程中可画出草图,通过图形直观地探求解题思路.设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,圆形铁板的半径为R,得到r2+h2=R2,写出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值,得到结果.
解析　设圆锥的底面半径为r,高为h,圆形铁板的半径为R,如图,则r2+h2=R2,
设圆锥的体积为V,则V=13πr2h=13π(R2-h2)h=13π(R2h-h3),
则V关于h的导数V'=13π(R2-3h2),令V'=0,得h2=13R2,易知当h=33R时,圆锥的体积最大,此时r=63R,α=2πrR=263π,故选D.

3.AC　对于选项A,∵f(x)=xln(1+x),
∴f '(x)=ln(1+x)+xx+1,当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0恒成立,因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,故A正确;
对于选项B,令f(x)=xln(1+x)=0,可得x=0或ln(1+x)=0,解得x=0,故B不正确;
对于选项C,∵f '(x)=ln(1+x)+x1+x,
∴f '-12=ln12-1=-ln 2-1,故C正确;
对于选项D,由于f(x)的定义域为(-1,+∞),定义域不关于原点对称,故D不正确.
4.AD　f(x+π)=cos[2(x+π)]2+sin(x+π)cos(x+π)=f(x),
故A正确;
令2cos2x4+sin2x=m,则msin 2x-2cos 2x=-4m,
故m2+4sin(2x+θ)=-4m,其中sin θ=-2m2+4,cos θ=mm2+4,
∴-4mm2+4≤1⇒m2≤415,故-21515≤m≤21515,∴f(x)max=21515,故B错误;
f '(x)=-4sin2x(4+sin2x)-2cos2x·2cos2x(4+sin2x)2
=-16sin2x-4(4+sin2x)2,
令φ(x)=-16sin 2x-4,则φ(x)在-π4,0上单调递减,
且φ-π4=12>0,φ(0)=-40,则xf'(x)+f(x)=lnxx,
即[xf(x)]'=lnxx,设g(x)=xf(x)(x>0),
则g'(x)=lnxx,令g'(x)>0,得x>1,
令g'(x)0,当-330时,xf'(x)-2f(x)>0,
则g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,
因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)12=1,由f(x)>x2可得 f(x)x2>1,即g(x)>g(1),
所以g(|x|)>g(1),所以|x|>1,解得x1.
因此,不等式f(x)>x2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
11.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞).
对函数f(x)求导得f'(x)=1x-ax.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)>0,得00,又f1e0),
所以f'(x)=51-64x3=5(x3-64)x3,
令f'(x)=0,得x=4,列表如下:
x
(0,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以当x=4时,函数f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(4)=5×4+3242=30.
故当x=4时,总造价最低,最低造价为30万元.
13.解析　(1)由题意得, f'(x)=ax+b=a+bxx,x>0.
∵函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值,∴b>0,a0,
则g'(t)=1t-12t3=2t2-12t3.
令g'(t)=0,得t=22(负值舍去),
∴g(t)在0,22上单调递减,在22,+∞上单调递增,
∴g(t)≥g22=ln22+12>0.
∵a