考前必背知识点-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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第1章 直线与方程
一、直线的斜率与倾斜角
直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tan α.
若P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上的两点,则l的斜率k=.
二、直线的方程
直线方程的五种形式及适用范围:
名称 | 几何条件 | 方程 | 适用条件 |
点斜式 | 直线上一定点(x0,y0)、斜率k | y-y0=k(x-x0) | 不与x轴垂直的直线 |
斜截式 | 纵截距b、斜率k | y=kx+b | |
两点式 | 直线上两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) | = | 与两坐标轴均不垂直的直线 |
截距式 | 横截距a、纵截距b | +=1 (a≠0,b≠0) | 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 |
一般式 |
| Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) | 所有直线 |
三、两条直线的平行与垂直
1.两条直线的平行
类型 | 斜率存在 | 斜率不存在 |
前提条件 | α1=α2≠90° | α1=α2=90° |
对应关系 | l1∥l2⇒k1=k2 | l1∥l2⇒两直线斜率都不存在 |
图示 |
2.两条直线的垂直
图示 | ||
对应关系 | l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2=-1 | l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇒l1⊥l2 |
3.两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.四、平面上的距离
1.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离P1P2=.
2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.
第2章 圆与方程
一、圆的方程
1.标准形式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
2.一般形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标为,半径r=(存在条件:D2+E2-4F>0).
二、点与圆的位置关系
已知点M(x0,y0)和圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,设点M到圆心的距离为d,半径为r,则点M在圆内⇔d<r;点M在圆上⇔d=r;点M在圆外⇔d>r.
三、直线与圆的位置关系
位置关系 | 相交 | 相切 | 相离 | |
公共点个数 | 2 | 1 | 0 | |
判定方法 | 几何法:设圆心(a,b)到直线的距离d= | d<r | d=r | d>r |
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 | |
四、圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置关系 | 方法 | |
几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 | 代数法:根据两圆方程组成的方程组的解的个数进行判断 | |
外离 | d>r1+r2 | 无解 |
外切 | d=r1+r2 | 一组实数解 |
相交 | |r1-r2|<d<r1+r2 | 两组不同的实数解 |
内切 | d=|r1-r2|(r1≠r2) | 一组实数解 |
内含 | 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) | 无解 |
第3章 圆锥曲线与方程
一、椭圆的定义、标准方程和几何性质
定义 | 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆 | ||
标准方程 | +=1 (a>b>0) | +=1 (a>b>0) | |
图形 | |||
几 何 性 质 | 范围 | -a≤x≤a, -b≤y≤b | -b≤x≤b, -a≤y≤a |
对称性 | 对称轴:两坐标轴 对称中心:原点 | ||
顶点 坐标 | A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) | A1(0,-a),A2(0,a); B1(-b,0),B2(b,0) | |
轴长 | 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b | ||
焦距 | F1F2=2c | ||
离心率 | e=∈(0,1) | ||
a,b,c 的关系 | a2=b2+c2 | ||
二、双曲线的定义、标准方程和几何性质
定义 | 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线 | ||
标准方程 | -=1 (a>0,b>0) | -=1 (a>0,b>0) | |
图形 | |||
几 何 性 质 | 范围 | x≥a或x≤-a,y∈R | x∈R,y≥a或y≤-a |
对称性 | 对称轴:两坐标轴 对称中心:原点 | ||
端点 | A1(-a,0),A2(a,0) | A1(0,-a),A2(0,a) | |
渐近线 | y=±x | y=±x | |
离心率 | e=∈(1,+∞) | ||
实虚轴 | 线段A1A2叫作双曲线的实轴,且A1A2=2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,且B1B2=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 | ||
a,b,c 的关系 | c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) | ||
三、抛物线的定义、标准方程和几何性质
定义 | 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线 | |||
标准方程 | y2=2px (p>0) | y2=-2px (p>0) | x2=2py (p>0) | x2=-2py (p>0) |
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 | ||||
图形 | ||||
顶点坐标 | O(0,0) | |||
对称轴 | x轴 | y轴 | ||
焦点 坐标 | F | F | F | F |
离心率 | e=1 | |||
准线方程 | x=- | x= | y=- | y= |
范围 | x≥0,y∈R | x≤0,y∈R | y≥0,x∈R | y≤0,x∈R |
开口方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 |
通径长 | 2p | |||
四、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
联立直线l与圆锥曲线C的方程,消去x(或y),得到一个关于变量y(或x)的方程,即ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),则有:
(1)若a=0,则得到一个一元一次方程,此时直线l与C相交(1个交点),若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴.
(2)若a≠0,则当Δ>0时,l与C相交(2个交点);当Δ=0时,l与C相切(1个交点);当Δ<0时,l与C相离(无交点).
五、圆锥曲线的弦长公式
当直线斜率存在时,不妨设直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则可得弦长公式:AB=|x1-x2|=·或AB=|y1-y2|=·(k≠0);
当直线斜率不存在时,AB=|y2-y1|.
第4章 数列
一、等差数列
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,前n项和公式为Sn=或Sn=na1+d.
二、等比数列
1.等比数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数,an的各项均不为0).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1,前n项和公式为Sn=
3.常见的数列求和方法
分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项求和法.
第5章 导数及其应用
一、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f '(x0).
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 | 导数 |
f(x)=kx+b(k,b为常数) | f '(x)=k |
f(x)=C(C为常数) | f '(x)=0 |
f(x)=xα(α∈Q*) | f '(x)=αxα-1 |
f(x)=sin x | f '(x)=cos x |
f(x)=cos x | f '(x)=-sin x |
f(x)=ex | f '(x)=ex |
f(x)=ax(a>0,a≠1) | f '(x)=axln a |
f(x)=ln x | f '(x)= |
f(x)=logax(a>0,a≠1) | f '(x)=logae= |
三、导数的运算法则
若f '(x),g'(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=(g(x)≠0).
四、复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
五、函数的单调性与导数的关系
已知函数y=f(x)在区间(a,b)上可导,若f '(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调递增;若f '(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调递减;若f '(x)=0,则f(x)在(a,b)内是常数函数.
六、函数的极值与导数
条件 | f '(x0)=0 | |
x0左侧的附近:f '(x)>0,右侧的附近:f '(x)<0 | x0左侧的附近:f '(x)<0,右侧的附近:f '(x)>0 | |
图象 | ||
极值 | f(x0)为极大值 | f(x0)为极小值 |
极值点 | x0为极大值点 | x0为极小值点 |
七、函数的最值
1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
