高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算课时作业

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算课时作业，共14页。试卷主要包含了1　空间向量及其运算等内容，欢迎下载使用。
6.1.2 空间向量的数量积
基础过关练
题组一 空间向量的数量积的概念及其运算
1.下列各命题中,不正确的命题的个数为( )
①a·a=|a|;
②m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R);
③a·(b+c)=(b+c)·a;
④a2b=b2a.

A.0B.3C.2D.1
2.(2021江苏南通高三月考)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·12b=( )
A.15B.3C.-3D.5
3.(2021江苏淮安高二期末)已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·(λa-b)=0,则λ=( )
A.32B.-32
C.±32D.1
4.(2021江苏泰州中学高二月考)在棱长为2的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·CF=( )
A.0B.-2C.2D.-3
题组二 利用空间向量的数量积求夹角和模
5.(2021江苏宿迁中学高二月考)若|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角是( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
6.(2021江苏如皋中学高三月考)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AD·AB=0,则△BCD的形状是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
7.(2020吉林第一中学阶段测试)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( )
A.5B.6C.4D.8
8.(2021江苏扬州中学高二月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论错误的是( )
A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12
B.A1C·(A1B1-A1A)=0
C.向量AD1与A1B的夹角是120°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|
9.(2021江苏宿迁中学高二期末)自然界中,构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞,其形状一般是平行六面体,具体形状、大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞,其中a=2,b=c=1,α=60°,β=90°,γ=120°,则该晶胞的对角线AC1的长为 .
10.(2021江苏南通高二期末)在空间四边形OABC中,E是线段BC的中点,G在线段AE上,且AG=2GE.
(1)试用OA,OB,OC表示向量OG;
(2)若OA=2,OB=3,OC=4,∠AOC=∠BOC=60°,∠AOB=90°,求OG·AB及|OG|.
题组三 投影向量
11.(2021江苏常州高二期末)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则AO1·AC的值为( )
A.-1B.0
C.1D.2
12.(2021江苏苏州常熟中学高二月考)直三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则AB·NM=( )
A.2B.-2
C.10D.-10
能力提升练
题组一 空间向量的数量积的运算及其应用
1.(2021江苏南京高二月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,A1C与B1D相交于点O,则有( )

A.A1B1·AC=a2B.AB·A1C=2a2
C.CD·AB1=a2D.AB·A1O=12a
2.(2020江西宜春高二期末,)如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 ( )
A.2BA·ACB.2AD·DB
C.2FG·ACD.2EF·CB
3.(2021江苏连云港高二期末,)在四面体ABCD中,AB=6,BC=3,BD=4,若∠ABD与∠ABC互余,则BA·(BC+BD)的最大值为( )
A.20B.30C.40D.50
4.(2020四川广元中学高二上期中,)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
题组二 利用空间向量的数量积求夹角和模
5.(2020河北冀州中学高二月考,)如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,E为CD的中点,则AE的长为( )
A.2B.3C.2D.5
6.(2021江苏南京高二上期中调研测试,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为( )
A.292B.29C.232D.23
7.(多选)(2019山东菏泽高二期末,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( )
A.四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|
B.AD1与A1B的夹角为60°
C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12
D.A1C·(A1B1-A1D1)=0
8.(2020江苏扬州中学高二月考,)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC的边长为2.
(1)设侧棱长为1,试用向量法证明:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为π3,求侧棱的长.
答案全解全析
第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.2 空间向量的数量积
基础过关练
1.D ①是向量模的计算公式,正确;②是向量数乘运算的结合律,正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,③正确;a2b与向量b共线,b2a与向量a共线,④不正确.故选D.
2.B (6a)·12b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.故选B.
3.A ∵(3a+2b)·(λa-b)=0,∴3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,又a·b=0,|a|=2,|b|=3,∴12λ-18=0,解得λ=32.故选A.
4.B 如图所示,棱长为2的正四面体ABCD中,因为E,F分别是BC,AD的中点,所以AE·CF=12(AB+AC)·12(CA+CD)=14(AB·CA+AB·CD+AC·CA+AC·CD)
=14(2×2×cs 120°+2×2×cs 90°+2×2×cs 180°+2×2×cs 120°)=-2,故选B.
5.C 因为c⊥a,所以c·a=(a+b)·a=0,所以a·b=-1,所以cs=a·b|a||b|=-12,又0°≤≤180°,所以向量a与b的夹角是120°.
6.A BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB-AB·AD+AB·AB=|AB|2>0,则cs B>0,所以B是锐角,同理D,C都是锐角,故△BCD是锐角三角形.故选A.
7.A |AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AA1·AD=1+4+9+2+3+6=25,∴|AC1|=5,故选A.
8.D 由正方体的性质得A1A+A1D1+A1B1=A1A+AD+DC=A1C,A1C2=|A1C|2=3|A1B1|2=3A1B12,故A中结论正确;A1B1-A1A=AB1,由AB1⊥BC,AB1⊥A1B可得AB1⊥平面A1BC,所以AB1⊥A1C,所以AB1·A1C=0,即A1C·(A1B1-A1A)=0,故B中结论正确;由正方体的性质可得AD1∥BC1,易知△BC1A1为等边三角形,所以∠A1BC1=60°,所以向量AD1与A1B的夹角是120°,故C中结论正确;因为AB⊥AA1,所以|AB·AA1·AD|=0,故D中结论错误.
9.答案 10
信息提取 ①晶胞的形状为平行六面体;②a=2,b=c=1,α=60°,β=90°,γ=120°.
数学建模 以晶体的晶胞为载体考查空间向量的数量积运算.
解析 如图所示,AC1=AC+CC1=AB+AD+CC1=AB+AD+AA1,依题可知|AB|=2,|AA1|=|AD|=1,α=∠A1AB=60°,β=∠A1AD=90°,∠BAD=180°-γ=60°,
所以|AC1|2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=4+1+1+2×2×1×cs 60°+2×2×1×cs 60°+2×1×1×cs 90°=10,故|AC1|=10.
10.解析 (1)OG=OA+AG=OA+23AE=OA+23(OE-OA)=13OA+23OE=13OA+23×12(OB+OC)=13OA+13OB+13OC.
(2)OG·AB=13(OA+OB+OC)·(OB-OA)=13(OB2-OA2+OC·OB-OC·OA)
=13(32-22+4×3×cs 60°-4×2×cs 60°)=73,
|OG|=13(OA+OB+OC)2
=13OA2+OB2+OC2+2OA·OB+2OB·OC+2OA·OC
=1322+32+42+2×3×4×cs60°+2×2×4×cs60°
=73.
11.C 设下底面ABCD的中心为O,由正方体的性质可知AO1在底面ABCD上的投影向量为AO,所以AO1·AC=AO·AC=22×2=1,故选C.
12.B 设B1C1的中点为P,连接MP,NP,则由直棱柱的性质可知NP⊥平面A1B1C1,所以NM在平面A1B1C1上的投影向量为PM,又因为PM=-12AB,所以AB·NM=-12AB2=-2,故选B.
能力提升练
1.A 对于A,|A1B1|=a,|AC|=2a,==π4,
所以A1B1·AC=a·2a·csπ4=a2,所以A正确.
对于B,|AB|=a,|A1C|=3a,=,所以AB·A1C=a·3a·cs∠CA1B1=3a2·A1B1A1C=3a2·a3a=a2,所以B错误.
对于C,|CD|=a,|AB1|=2a,==π-∠B1AB=3π4,所以CD·AB1=a·2a·cs3π4=-a2,所以C错误.
对于D,|AB|=a,|A1O|=32a,=,所以AB·A1O=a·32a·cs∠CA1B1=32a2·A1B1A1C=32a2·a3a=12a2,所以D错误.
故选A.
2.C 由题意可知,===120°,
∴2BA·AC=2|BA||AC|cs 120°= -a2,
2AD·DB=2|AD||DB|cs 120°=-a2.
∵E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,
∴FG∥AC且FG=12AC,EF∥BD且EF=12BD,
∴2FG·AC=AC2=a2,2EF·CB=BD·CB=|BD||CB|cs 120°=-12a2.
故选C.
3.B 设∠ABD=α,则α为锐角,∠ABC=π2-α,在四面体ABCD中,AB=6,BC=3,BD=4,
则BA·(BC+BD)=BA·BC+BA·BD=|BA||BC|csπ2-α+|BA||BD|cs α=18sin α+24cs α=30sin(α+φ),其中φ为锐角,且tan φ=43.∵0