第七章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第七章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共14页。

本章复习提升
易混易错练
易错点1　混淆两个基本计数原理致误
1.(2021江苏南京师大附中高二期中,)将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14种 B.15种 C.16种 D.18种
2.(2021浙江温州高三二模,)有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内,要求相同颜色的车不在同一行,也不在同一列,则共有　　　　种不同的停法.(用数字作答) 
A
B
C
D
E
F
3.()甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则不同的冠军获得情况有多少种?

















易错点2　对特殊元素或特殊位置考虑不周致误
4.(2020陕西西安高三上第一次八校联考,)从6男4女中任选2男2女担任A、B、C、D四项互不相同的工作,且每人担任其中的一项工作.若女生甲不能担任工作C,则不同的选派方案种数为 (　　)
A.1 800 B.1 890 C.2 160 D.2 210
5.(2020江苏南京高二期末,)一场晚会共有7个节目,分别为A,B,C,D,E,F,G,要求第一个节目不能排G,节目A必须排在前四个,节目D必须排在后三个,则有　　　　种不同的排法(用数字作答). 
6.(2019山东日照高二下期末,)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成没有重复数字的:
(1)三位偶数有多少个?
(2)能被3整除的三位数有多少个?
(3)比210大的三位数有多少个?








易错点3　混淆二项展开式中项的系数与二项式系数
致误
7.(多选)(2021江苏南通启东中学高二月考,)对于x2-3x6的展开式,下列说法正确的是 (　　)
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.系数最大的项为第3项
8.(2021江苏如皋中学高二期中,)已知(3x-1)n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等,求2x-1x2n的展开式中:
(1)所有二项式系数之和;
(2)二项式系数最大的项;
(3)系数的绝对值最大的项.










思想方法练
一、分类讨论思想在排列、组合中的应用
1.()从集合{1,2,3,4,…,15}中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样的等差数列的个数为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.98 B.56 C.84 D.49
2.()在新冠肺炎疫情暴发期间,口罩成为个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩A,B,C,D,其中D型口罩仅剩1只,其余3种库存足够.现有甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩,统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩,则所有可能的购买方式共有 (　　)
A.330种 B.345种 C.360种 D.375种
3.(2021江苏扬州高二期末,)高三(3)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,3个音乐节目中恰有2个节目连排,则不同的排法种数是　　　　. 
4.(2021江苏徐州高三期中,)小明与3位男生、3位女生在排队购物,已知每位女生需2分钟,每位男生需1分钟,若小明(不排在首位)的前后不同时为女生,且他的等待时间不多于4分钟,则不同的排队情况共有　　　　种. 
二、转化与化归思想在排列、组合中的应用
5.(2020江苏南通启东中学高二月考,)某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有 (　　)
A.474种 B.77种
C.462种 D.79种
6.(2021江苏如皋中学高二期中,)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办,为宣传地方特色,某电视台拍摄宣传片五组进行制作编辑,其中包括美食宣传片、地方风光宣传片各两个,运动场地宣传片一个,所有宣传片时长彼此不同,现将五组宣传片编辑在一起,要求相同题材的不相邻,则不同的排法共有 (　　)
A.24种 B.48种
C.72种 D.120种
三、整体思想在排列、组合中的应用
7.(2020山东济宁高二下期末,)武汉封城期间,某医院抽调5名医生,分赴三所“方舱医院”支援抗疫,要求每名医生只去一所“方舱医院”,每所“方舱医院”至少安排一名医生,由于工作需要,医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”,则所有的不同安排方案有 (　　)
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
8.()有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 (　　)
A.234 B.346 C.350 D.363
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
9.(2021江苏苏州常熟中学高二月考,)3x-4y+28的展开式中,不含x的项的系数之和为　　　　. 
10.(2021江苏南通高二期中,)已知(x+m)(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8(m∈R),若a1=27,则∑i=18(i·ai)=　　　　. 
11.(2021江苏前黄高级中学高二期中,)已知3x-2xn(n∈N*)的展开式中的第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中各项的二项式系数和以及各项的系数和;
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.













本章复习提升
易混易错练
1.D　分两种情况进行讨论:①黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中,共有2×7=14种排法;②黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”“黑白黑白白黑”“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入2个相同颜色的球之中,共4种排法.综上所述,共有14+4=18种排法.故选D.
易错警示
本题考查两个基本计数原理的综合应用.在解决此类问题时首先要理解题意,挖掘出隐含条件,其次解题过程中要分清是分类计数原理还是分步计数原理,在应用分类计数原理时分类标准要明确,要做到不重不漏.
2.答案　36
解析　因为要求相同颜色的车不在同一行,也不在同一列,所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车,共有2×2×3种停法,再在第二行分类讨论停放剩下的车,第二辆红色车如果停在第一辆黑色车下方,则第二辆黑色车有2种停法,如果第二辆红色车不停在第一辆黑色车下方,则第二辆黑色车有1种停法,共有2+1=3种停法,因此共有3×2×2×3=36种停法.
3.解析　完成这件事分三步:
第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;
第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;
第3步,产生第3个学科冠军,同理,也有4种不同的获得情况.
由分步计数原理知,共有4×4×4=64种不同的冠军获得情况.
易错警示
对于分步计数原理问题,解题的关键是明确要完成的一件事是什么,从而明确分步的过程.用分步计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.
4.B　从6男4女中任选2男2女,共有C62C42种可能情况,2男2女担任A、B、C、D四种互不相同的工作,共有A44种方式,故从6男4女中任选2男2女担任A、B、C、D四种互不相同的工作,不同的选派方案种数为C62C42A44,若任选的2男2女中一定有女生甲且女生甲担任工作C,则不同的选派方案种数为C62C31A33,故满足题意的选派方案种数为C62C42A44-C62C31A33=1 890,故选B.
5.答案　1 224
解析　当G排在前四个时,A也排在前四个,有A31×A31种排法,此时D排在后三个有A31种排法,其余4人任意排,共有A44种排法,此时共有A31×A31×A31×A44=648种排法.当G排在后三个时,D也排在后三个,A排在前四个,其余4人全排列,此时共有A32×A41×A44=576种排法,所以共有648+576=1 224种排法.
6.解析　(1)当个位是0时,有A42=12个;当个位是2时,有3×3=9个;当个位是4时,有3×3=9个.故共有12+9+9=30个没有重复数字的三位偶数.
(2)没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0,1,2;0,2,4;1,2,3;2,3,4四种情况,故共有C21×A22+C21×A22+A33+A33=20个.
(3)当百位是2时,共有A21×A31+2=8个;当百位是3时,共有A42=12个;当百位是4时,共有A42=12个,故共有8+12+12=32个比210大的没有重复数字的三位数.
易错警示
在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解.
7.ABC　 x2-3x6的展开式中所有项的二项式系数和为26=64,选项A正确;x2-3x6中,令x=1,得(1-3)6=64,选项B正确;展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k·-3xk=(-3)kC6kx12-3k, 令12-3k=0,得k=4,所以常数项为(-3)4C64=1 215,选项C正确;易得第2,4,6项系数为负值,第1项系数为1,第3项系数为(-3)2C62=135,第5项系数为(-3)4C64=1 215,第7项系数为(-3)6C66=729,则系数最大的项为第5项,选项D不正确.故选ABC.
8.解析　由题意得Cn1=Cn4,解得n=5.
(1)二项式系数和为210=1 024.
(2)由于2n=10为偶数,所以2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,
即T6=T5+1=C105·(2x)5·-1x5=-8 064.
(3)设第(r+1)(0≤r≤10,r∈N)项的系数的绝对值最大,
则Tr+1=C10r·(2x)10-r·-1xr=(-1)r·C10r·210-r·x10-2r,
则C10r·210-r≥C10r-1·210-r+1,C10r·210-r≥C10r+1·210-r-1,
即C10r≥2C10r-1,2C10r≥C10r+1,即11-r≥2r,2(r+1)≥10-r,
解得83≤r≤113,又r∈N,所以r=3,
故系数的绝对值最大的项是第4项,即T3+1=(-1)3·C103·210-3·x4=-15 360x4.
误区警示
(a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是Cnr(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;而第(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数Cnr.注意二项式系数Cnr一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.A　三个数成等差数列时,根据公差的大小进行分类讨论,体现了分类讨论思想,另外要注意公差可以是负数的情况.
当公差为1时,数列可以是1,2,3;2,3,4;3,4,5;…;13,14,15,共13种情况.当公差为2时,数列可以是1,3,5;2,4,6;3,5,7;…;11,13,15,共11种情况.当公差为3时,数列可以是1,4,7;2,5,8;3,6,9;…;9,12,15,共9种情况.当公差为4时,数列可以是1,5,9;2,6,10;3,7,11;…;7,11,15,共7种情况.当公差为5时,数列可以是1,6,11;2,7,12;3,8,13;4,9,14;5,10,15,共5种情况.当公差为6时,数列可以是1,7,13;2,8,14;3,9,15,共3种情况.当公差为7时,数列可以是1,8,15,共1种情况.综上,共有13+11+9+7+5+3+1=49种情况.因为三个数成等差数列有两种情况,递增或递减,所以等差数列共有49×2=98个.故选A.
2.C　D型口罩为特殊元素,以购买和不购买D型口罩为分类标准进行分类讨论,在每类中又存在先分组再分配问题,充分体现了分类讨论的思想.
若这5人没人购买D型口罩,则5人购买剩下4种口罩中的3种,则可以按照2,2,1或3,1,1分组,当按照2,2,1分组时,有C52C32A22×A33=90种方法,当按照3,1,1分组时,有C53A33=60 种方法.若这5人有1人购买了D型口罩,则剩下的4人购买其他2种类型的口罩,可以按照2,2或3,1分组,当按照2,2分组时,有C51C32C42=90种方法,当按照3,1分组时,有C51C32C43A22=120种方法.综上可知,一共有90+60+90+120=360种方法.故选C.
3.答案　288
解析　从3个音乐节目中选取2个排好后看成一个整体,有A32种排法,这样共有5个节目,其中2个音乐节目不连排,2个舞蹈节目不连排,如图:
1
2
3
4
5
按曲艺节目在1-5号的位置逐步分类讨论,体现了分类讨论思想.
若曲艺节目排在1号或5号位置,则有4A22A22=16种排法,若曲艺节目排在2号或4号位置,则有4A22A22=16种排法,若曲艺节目排在3号位置,则有2×2×A22A22=16种排法,所以共有A32×(16+16+16)=288种排法.
4.答案　1 440
解析　小明是特殊元素,按照小明等待的时间为1分钟、2分钟、3分钟、4分钟进行分类讨论.
分以下四种情况讨论:①若小明等待的时间为1分钟,则在他前面的只有1个男生,满足条件的排队方法种数为C31A55=360;②若小明等待的时间为2分钟,则在他前面的为2个男生或1个女生,满足条件的排队方法种数为A32A44+C31C31A44=360;③若小明等待的时间为3分钟,则在他前面的为3个男生或1个男生1个女生,满足条件的排队方法种数为A33A33+C31C31(A44+C21A33)=360;④若小明等待的时间为4分钟,则在他前面的为2个男生,1个女生或2个女生,满足条件的排队方法种数为C31A32A33+A32C31A33+C31A33A22+A32C31A33=360.综上所述,不同的排队方法种数为4×360=1 440.
思想方法
分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类计数原理本身就体现了分类讨论的数学思想,在处理有关计数问题时,要确定恰当的分类标准,对于同一个题目,分类标准不同,分类的结果也会不同.当计数问题过于复杂或限制条件较多时,我们一般采取分类讨论的方法解决,即对计数问题中的各种情况进行分类,然后针对每一类分别研究和求解.
5.A　根据题意,该教师所有的上课方法有A93种,连着上3节课的情况有5A33种,
将所求问题转化为求问题的反面,即求连着上3节课的情况种数,利用总的排列数减去连上3节课的情况种数求解,体现了转化的思想.
则所求的排法种数为A93-5A33=474,故选A.
6.B　五组宣传片的全部排法有A55=120种,两个美食宣传片相邻,两个地方风光宣传片不相邻的排法有A22A22A32=24种,两个地方风光宣传片相邻,两个美食宣传片不相邻的排法有A22A22A32=24种,两个美食宣传片和两个地方风光宣传片均相邻的排法有A22A22A33=24种,所以相同题材不相邻的不同的排法共有120-24-24-24=48种.
利用总的排法数减去相同题材相邻的排法数得到所求,体现了转化思想.
故选B.
思想方法
转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.
7.C　甲、乙两人必须安排在一起,其本质上是元素相邻问题,把相邻元素看成一个整体,体现了整体思想.
将甲、乙看成一个整体,即相当于只有4名医生,则4名医生中有2名去同一所“方舱医院”的排列数为C42·A33=36.故选C.
8.B　易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则两人相邻的坐法有A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.
思想方法
整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求.
9.答案　256
解析　3x-4y+28=3x+(-4y+2)8的展开式的通项为Tr+1=C8r3x8-r·(-4y+2)r,可知当r=8时不含有x,
利用特殊项的指数列出关于指数r的关系式,体现了方程思想.
此时T8+1=C883x8-8(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
10.答案　43
解析　(2x-1)7的展开式的通项为Tr+1=C7r·(2x)7-r·(-1)r=C7r·(-1)r·27-r·x7-r,
∵(x+m)(2x-1)7=x(2x-1)7+m(2x-1)7,
∴a1=1×C77×(-1)7×20+m×C76×(-1)6×21=-1+14m=27,
通过a1=27,列出关于参数m的方程,体现了方程思想.
解得m=2,∴(x+2)(2x-1)7=a0+a1x+…+a8x8,等式两边求导可得1·(2x-1)7+(x+2)·7·(2x-1)6·2=a1+2a2x+…+8a8x7,
即(2x-1)6(2x-1+14x+28)=a1+2a2x+…+8a8x7,
即(16x+27)(2x-1)6=a1+2a2x+…+8a8x7,
令x=1,得a1+2a2+…+8a8=43,
利用导数得到所要求的式子再赋值,体现了函数思想.
即∑i=18(i·ai)=43.
11.解析　(1)3x-2xn(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r-2xr=Cnr×3n-r×(-2)rxn-3r2,
由二项式系数之比列出关于n的方程,体现了方程思想.
因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3,所以Cn1∶Cn2=1∶3,即n(n-1)2=3n,解得n=7(n=0舍去).
(2)由(1)得原式为3x-2x7,所以展开式中各项的二项式系数和为27=128,
令x=1,得展开式中各项的系数和为3×1-217=1.
(3)3x-2x7展开式的通项为Tr+1=C7r×37-r×(-2)rx7-3r2,设第(r+1)项的系数的绝对值最大,则C7r×37-r×2r≥C7r+1×36-r×2r+1,C7r×37-r×2r≥C7r-1×38-r×2r-1,
解得115≤r≤165,又r∈N,所以r=3,
所以展开式中系数的绝对值最大的项为T4=C73×37-3×(-2)3x7-3×32=-22 680x52.
思想方法
函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求解展开式中的特定项;(2)利用导数求解与系数和有关的问题;(3)展开式中系数的最大(最小)问题.