苏教版 (2019)8.2离散型随机变量及其分布列第1课时课后练习题

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8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
基础过关练
题组一 离散型随机变量的均值
1.(2021江苏无锡高二月考)若离散型随机变量X的概率分布如下表,则E(X)=( )

A.118B.19C.920D.209
2.设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,且X的数学期望E(X)=3,则a+b=( )
A.110B.0C.-110D.15
3.(2021江苏宿豫中学高二期末)射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,若某人射中目标的概率是0.8,且枪内只有3颗子弹,则他射击次数的数学期望是( )
A.0.8C.1
4.(2020天津六校高二下期中联考)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的数学期望为( )
A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1
5.(2021江苏丰县中学高三月考)从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选3人中男生人数为ξ,则数学期望E(ξ)= .
6.(2021江苏南通高三二模)一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为x1,x2,记X=(x1-3)2+(x2-3)2.
(1)求X取得最大值时的概率;
(2)求X的概率分布及数学期望E(X).
7.(2021江苏南京金陵中学高三模拟)支付宝作为一款移动支付工具,在日常生活中起到了重要的作用.
(1)通过现场调查12位市民得知,其中有10人使用支付宝.现从这12位市民中随机抽取3人,求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率;
(2)为了鼓励市民使用支付宝,支付宝推出了“奖励金”活动,每使用支付宝支付一次,分别有12,13,16的概率获得0.1,0.2,0.3元奖励金,每次支付获得的奖励金情况互不影响.若某位市民在一天内使用了2次支付宝,记X为这一天他获得的奖励金数,求X的概率分布和数学期望.
题组二 离散型随机变量的均值的性质
8.(2021河北石家庄高二月考)已知随机变量ξ的概率分布如下,若随机变量η=3ξ+1,则η的数学期望为( )
A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8
9.已知E(X)=53,且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则a= .
10.已知随机变量X的概率分布为
若Y=-2X,则E(Y)= .
题组三 均值的实际应用
11.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品,两人的日产量相等,每天出废品的情况如表所示:
则下列结论正确的是( )
A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C.两人的产品质量一样好
D.无法判断谁的产品质量更好一些
12.(2020北京首都师范大学附属中学高二下期中)现有甲、乙两个投资项目,对甲项目投资十万元,根据对市场120份样本数据的统计,甲项目年利润分布如下表:
对乙项目投资十万元,年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中,产品合格的概率均为13,在一年之内要进行2次独立的抽查,在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表:
记随机变量X,Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润,将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率.
(1)求X>Y的概率;
(2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元,判断哪个项目更具有投资价值,并说明理由.
13.(2021山东淄博高三一模)某商场在“双十二”进行促销活动,现有甲、乙两个盒子,甲盒中有3红2白共5个小球,乙盒中有1红4白共5个小球,这些小球除颜色外完全相同.有两种活动规则:
规则一:顾客先从甲盒中随机摸取一个小球,从第二次摸球起,若前一次摸到红球,则还从该盒中摸取一个球,若前一次摸到白球,则从另一个盒中摸取一个球,每摸出1个红球奖励100元,每个顾客只有3次摸球机会(每次摸球都不放回);
规则二:顾客先从甲盒中随机摸取一个小球,从第二次摸球起,若前一次摸到红球,则要从甲盒中摸球一次,若前一次摸到白球,则要从乙盒中摸球一次,每摸出1个红球奖励100元,每个顾客只有3次摸球机会(每次摸球都不放回).
(1)按照“规则一”,求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望;
(2)请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利?并说明理由.
能力提升练
题组一 离散型随机变量的均值
1.(2020百校联盟高二下期中,)在一次射击训练中,每位士兵最多可射击3次,一旦命中目标,则停止射击,否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为p(074,则p的取值范围是( )

A.25,12B.15,12
C.0,12D.12,1
2.()已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=|a-b|,则ξ的数学期望E(ξ)为( )
A.89B.35C.25D.13
3.(多选)()已知随机变量X的概率分布如下表:
记“函数f(x)=3sinx+X2π(x∈R)是偶函数”为事件A,则 ( )
A.P(A)=23B.E(X)=23
C.E(X)=23-2aD.E(X2)=23
4.(2021江苏镇江高三期中,)已知随机变量X的概率分布如表所示,其中a,b,c成等比数列,当b取最大值时,E(X)= .
5.(2020天津和平第一中学高三上月考,)已知甲盒中仅有一个球且为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放在甲盒中,放入i个球后,甲盒中含有红球的个数为Xi(i=1,2),则E(X1)+E(X2)的值为 .
6.(2021江苏南通高二期中,)为抗击疫情,中国人民心连心,向世界展示了中华民族的团结和伟大,特别是医护工作者被人们称为“最美逆行者”,各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院.
(1)求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率;
(2)若要求每家医院至少一人,设X,Y分别表示分配到“雷神山”与“火神山”两家医院的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
7.(2021江苏南京高一期中,)某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的总成本C与产量q的函数关系式为C=q33-3q2+20q+10(q>0),该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情形,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:
设L1,L2,L3分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润.
(1)分别求利润L1,L2,L3与产量q的函数关系式;
(2)当产量q确定时,求期望E(ξq);
(3)试问产量q取何值时,E(ξq)取得最大值?
题组二 均值的实际应用
8.(2021江苏江阴青阳中学高三月考,)某市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全,采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式,全面加强食品安全检测.据了解,某市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检,组织抽检400批次,抽检种类涵盖8大类31个品种,全市各快检室快检60 209批次,其中不合格53批次.某快检室在对乳制品进行抽检中,发现某品牌乳制品质量不合格,现随机抽取其中5个批次的乳制品进行质量检测,已知其中有1个批次的乳制品质量不合格,下面有两种检测方案:
方案甲:逐批次进行检测,直到确定质量不合格乳制品的批次;
方案乙:先任取3个批次的乳制品,将它们混合在一起检测.若结果不合格,则表明不合格批次就在这3个批次中,然后逐个检测,直到能确定不合格乳制品的批次;若结果合格,则在另外2个批次中任取1个批次检测.
(1)方案乙中,任取3个批次检测,求其中含有不合格乳制品批次的概率;
(2)求方案甲检测次数X的概率分布;
(3)判断哪一种方案的效率更高,并说明理由.
9.(2020安徽舒城中学高二期末,)某地经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400个,对其尺寸x(单位:mm)进行统计整理的频率分布直方图.
根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足|x-12|≤1为一级品,满足1<|x-12|≤2为二级品,满足|x-12|>2为三级品.
(1)根据频率分布直方图中的分组,用分层随机抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从这40个部件中抽取2个尺寸在[12,15]范围内的部件,记ξ为这2个部件中尺寸在[14,15]范围内的个数,求ξ的概率分布和数学期望;
(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品,则需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,则厂家需向买家为每个三级品支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行逐一检验?请说明理由;
(3)为加大升级力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,应选购哪种设备?请说明理由.
第8章 概率
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
基础过关练
1.D 由题意得 E(X)=0×19+1×16+2×718+3×19+4×16+5×118=209,故选D.
2.A 依题意可得X的概率分布为
则a+b+2a+b+3a+b+4a+b=1,(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,
解得a=110,b=0,故a+b=110.故选A.
3.D 记射击次数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)=0.8,
P(X=2)=0.2×0.8=0.16,
P(X=3)=0.2×0.2=0.04,
∴E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.
故选D.
4.A 依题意得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3,
P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,
P(X=2)=0.4×0.5=0.2.
可得X的概率分布如表所示.
∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
5.答案 2
解析 由题意知ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=C41C22C63=15,P(ξ=2)=C42C21C63=35,P(ξ=3)=C43C63=15.
故ξ的概率分布为
故E(ξ)=15×1+35×2+15×3=2.
6.解析 正四面体底面上的数字可能是1,2,3,4,则(xi-3)2(i=1,2)的可能取值为0,1,4.
(1)当x1=x2=1时,X最大,所以P(X=8)=116.
(2)X的可能取值为0,1,2,4,5,8.
P(X=0)=116,P(X=1)=416=14,
P(X=2)=416=14,P(X=4)=216=18,
P(X=5)=416=14,P(X=8)=116.
所以X的概率分布为
故E(X)=0×116+1×14+2×14+4×18+5×14+8×116=3.
7.解析 (1)“至少抽到2位”包括“抽到2位”或“抽到3位”,所以至少抽到2位使用支付宝的市民的概率为C102C21+C103C123=2122.
(2)X的可能取值为0.2,0.3,0.4,0.5,0.6.
P(X=0.2)=12×12=14,
P(X=0.3)=12×13+13×12=13,
P(X=0.4)=13×13+12×16+16×12=518,
P(X=0.5)=13×16+16×13=19,
P(X=0.6)=16×16=136.
所以X的概率分布如下:
∴E(X)=0.2×14+0.3×13+0.4×518+0.5×19+0.6×136=13.
8.B 根据分布列的性质可得0.4+2k+k=1,解得k=0.2,所以E(ξ)=0×0.4+1×0.4+2×0.2=0.8,所以E(η)=E(3ξ+1)=3E(ξ)+1=3×0.8+1=3.4.
9.答案 -3
解析 ∵Y=aX+3,∴E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=53a+3=-2,∴a=-3.
10.答案 1715
解析 由题意可得14+13+15+m+120=1,解得m=16,∴E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730.由Y=-2X,得E(Y)=E(-2X)=-2E(X)=-2×-1730=1715.
11.B 由题知,甲生产废品数的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,
乙生产废品数的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,
所以甲生产废品数的期望大于乙生产废品数的期望,故乙的产品质量比甲的产品质量好一些.
故选B.
12.解析 (1)X>Y的所有情况有:
P(X=1.2,Y=1.1)=16×2×13×23=227,
P(Y=0.6)=232=49,
所以P(X>Y)=227+49=1427.
(2)随机变量X的概率分布为
所以E(X)=1 万元.
P(Y=1.3)=13×13=19,
P(Y=1.1)=13×23+23×13=49,
P(Y=0.6)=23×23=49,
所以随机变量Y的概率分布为
所以E(Y)=0.9 万元.
因为E(X)>E(Y),且X>Y的概率比X所以从长期投资来看,甲项目更具有投资价值.
13.解析 (1)按照规则一,设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为X,则X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=25×45×14=225,
P(X=1)=35×24×45+25×15×44+25×45×34=1425,
P(X=2)=35×24×23+35×24×15=1350,
P(X=3)=35×24×13=110.
故X的概率分布为
按照规则一,顾客摸球获奖励金额的数学期望为E(100X)=100×0×225+1×1425+2×1350+3×110=138(元).
(2)若选规则二,设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=25×45×34=625,
P(Y=1)=35×24×45+25×15×14+25×45×14=1750,
P(Y=2)=35×24×23+35×24×15+25×15×34=825,
P(Y=3)=35×24×13=110.
故Y的概率分布为
按照规则二,顾客摸球获奖励金额的数学期望为E(100Y)=100×0×625+1×1750+2×825+3×110=128(元).
因为E(100X)>E(100Y),所以选择规则一进行抽奖更有利.
能力提升练
1.C 依题意得X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,
∴E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>74,且02.A 由于抛物线的对称轴在y轴的左侧,故-b2a<0,即a,b同号,故抛物线共有3×3×7×2=126(条).易知ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=6×7126=13,P(ξ=1)=8×7126=49,P(ξ=2)=4×7126=29.故E(ξ)=0×13+1×49+2×29=89.故选A.
3.ACD 因为函数f(x)=3sinx+X2π(x∈R)是偶函数,所以X2π=π2+kπ,k∈Z,
解得X=2k+1,k∈Z,又因为X=-1,0,1,
所以事件A表示X=±1,
所以P(A)=a+b=1-13=23,
E(X)=(-1)×a+0×13+1×b=b-a=23-2a,
随机变量X2的可能取值为0,1,
P(X2=0)=13,P(X2=1)=23,
所以E(X2)=0×13+1×23=23.
故选ACD.
4.答案 0
解析 根据题意可得a+b+c=1,b2=ac,又a+c=1-b≥2ac,即ac≤1-b22,当且仅当a=c时取等号,所以b2=ac≤1-b22,即3b2+2b-1≤0,所以05.答案 237
解析 当甲盒中含有红球的个数为X1时,X1的可能取值为1,2,
P(X1=1)=C41C71=47,P(X1=2)=C31C71=37.
所以E(X1)=1×47+2×37=107.
当甲盒中含有红球的个数为X2时,X2的可能取值为1,2,3,
P(X2=1)=C42C72=27,
P(X2=2)=C31C41C72=47,
P(X2=3)=C32C72=17.
所以E(X2)=1×27+2×47+3×17=137.
所以E(X1)+E(X2)=107+137=237.
6.解析 (1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A,
7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院,共有27=128种等可能的情况,
其中事件A包含C72=21种情况,
所以P(A)=21128.
故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为21128.
(2)若要求每家医院至少1人,则共有27-2=126种等可能的情况,
随机变量ξ的可能取值为1,3,5,
P(ξ=1)=C73+C74126=70126=59,
P(ξ=3)=C72+C75126=42126=13,
P(ξ=5)=C71+C76126=14126=19.
所以随机变量ξ的概率分布为
所以E(ξ)=1×59+3×13+5×19=199.X
0
1
2
3
4
5
P
19
16
718
19
16
118
ξ
0
1
2
P
0.4
2k
k
X
-2
-1
0
1
2
P
14
13
15
m
120
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
年利润
1.2万元
1.0万元
0.9万元
频数
20
60
40
合格次数
2
1
0
年利润
1.3万元
1.1万元
0.6万元
X
-1
0
1
P
a
13
b
X
-1
0
1
P
a
b
c
市场情形
概率
价格p与产量q的函数关系式
好
0.4
p=164-3q
中
0.4
p=101-3q
差
0.2
p=70-3q
X
1
2
3
4
P
a+b
2a+b
3a+b
4a+b
X
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
ξ
1
2
3
P
15
35
15
X
0
1
2
4
5
8
P
116
14
14
18
14
116
X
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
P
14
13
518
19
136
X
1.2
1.0
0.9
P
16
12
13
Y
1.3
1.1
0.6
P
19
49
49
X
0
1
2
3
P
225
1425
1350
110
Y
0
1
2
3
P
625
1750
825
110
ξ
1
3
5
P
59
13
19