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2021学年第一章 空间几何体综合与测试同步训练题
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这是一份2021学年第一章 空间几何体综合与测试同步训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.关于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图,下列说法不正确的是 ( )
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.90°角的直观图会变为45°角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.原来平行的线段仍然平行
2.某个圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )
A.1πSB.πS
C.2πSD.4πS
3.把3个半径为R的实心铁球熔成一个底面半径为R的实心圆柱,则圆柱的高为( )
A.RB.2R
C.3RD.4R
4.如图,△O'A'B'是用斜二测画法画出的水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6B.32
C.62D.12
5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )
A.4B.6C.8D.12
6.圆木长为2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长 尺?(注:1丈等于10尺) ( )
A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
A
B
C
D
8.如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称中圆)的半圆弧组成,两个中圆与大圆均内切,与两个中圆同圆心有两个小圆(即图中两个黑白点).若一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,则小圆半径与大圆半径的比值为( )
A.14B.12C.13D.15
9.如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,且球的表面积为16π,点P在球面上,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )
A.8B.83C.16D.163
10.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点,则这两个正四面体公共部分的体积是( )
A.516B.14C.524D.16
11.若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了等底等高圆锥的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到圆面及圆环两截面,可以证明S圆=S环总成立.则短轴长为4 cm,长轴长为6 cm的椭球体的体积为( )
A.14π cm3B.16π cm3
C.18π cm3D.20π cm3
12.已知某长方体的三视图如图所示,在该长方体的一组相对侧面α,β上取三点A,B,P,其中P为侧面α的对角线上一点(与对角线端点不重合),A,B为侧面β的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P,则m的最小值为( )
A.4B.43C.2D.23
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知圆锥的侧面展开图的面积为4π,且为半圆,则底面半径为 .
14.将半径为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的高为 .
15.钻石,又称金刚石,它的化学成分是碳,是唯一一种由单一元素组成的宝石,属等轴晶系.宝石级的钻石晶体大部分是由八个等边三角形的面所组成,从中心到各面的晶轴长短相同(如图).已知1克拉=0.2克,且钻石的密度大约是3.52 g/cm3,设某颗17.6克拉的钻石的棱长为a cm,则a3= .
16.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形,PA=PB=PC=21,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O1的体积为 ,球O2的表面积为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)如图所示,一个圆柱形玻璃瓶的内底面半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个实心钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,求实心钢球的半径.
18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29,设这条最短路线与CC1的交点为N.求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;
(2)PC和NC的长.
19.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开,可将侧面展开到一个平面上,所得的矩形称为圆柱的侧面展开图,其中矩形相邻两边长分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长),所以圆柱的侧面积S=2πrl,其中r为圆柱底面圆半径,l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大值为多少?
20.(12分)如图所示,一个封闭的圆锥形容器的高为h,当顶点向上时,水平放置的锥体内的水面高度为h1,且水面高是锥体高的13,即h1=13h,若将锥顶倒置,底面水平且向上时,水面高度为h2,求h2的大小.
21.(12分)已知四棱锥P-ABCD的高为2,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形.
(1)求正视图的面积;
(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.
22.(12分)2020年5月,李克强总理在政府工作报告中提到着力抓好农业生产.“14亿中国人的饭碗,我们有能力也务必牢牢端在自己手中.”由于今年粮食再次获得丰收,某农户拟在原家用圆锥形仓库的基础上进行改造升级,以存放更多粮食,若原圆锥形仓库的底面直径为12 m,高4 m,现有人给他提供了两种方案:一是保持原仓库的高不变,将新建的仓库底面直径比原来增加4 m;二是保持原仓库的底面直径不变,将新建的仓库高度增加4 m.
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)请问你将提供哪个方案给该农户?
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一、选择题
1.B A中说法正确,根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形;B中说法不正确,90°角的直观图可以是45°角,也可以是135°角;由斜二测画法规则知C、D中说法正确.
2.B 设圆柱底面半径为r,则S=4r2,所以S圆柱侧=2πr·2r=4πr2=πS.
3.D 设圆柱的高为h,则πR2h=3×43πR3,所以h=4R.
4.D 易知△OAB是直角三角形,OA=6,OB=4,∠AOB=90°,∴S△OAB=12×6×4=12.
5.A 由三视图得该几何体为四棱锥,如图,其中SA为底面ABCD上的高,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,
∴这个几何体的体积V=13SA×12(AB+CD)·AD=13×2×12×(2+4)×2=4,故选A.
6.C 由题意可知,圆木的侧面展开图是矩形,其中一条边长(即圆木的高)为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长最少为242+(5×2)2=26(尺).故选C.
7.A 由题意可知,M,N两点在平面ADD1A1上的正投影分别是线段AA1,AD的中点,故选A.
8.A 设小圆、中圆、大圆的半径分别为r1,r2,r3,则r3=2r2,
由一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,可得2πr1=πr2,
即2r1=r2,所以r3=4r1,故小圆半径与大圆半径的比值为14.
9.D 设球的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以4πR2=16π,解得R=2.
设四棱锥P-ABCD底面矩形的长、宽分别为x,y,
则x2+y2=(2R)2=(x-y)2+2xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.
又点P在球面上,
所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即hmax=R=2,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为163.故选D.
10.D 如图所示,以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体,它的体积V=13×222×1=16.
11.B 椭圆的长半轴长为3 cm,短半轴长为2 cm,现构造一个底面半径为2 cm,高为3 cm,且挖去了等底等高圆锥的圆柱体,根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等原理,得出椭球的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2π×22×3-13×π×22×3=16π(cm3).
故选B.
12.D 根据长方体的三视图知,该长方体的底面是边长为2的正方形,且高为m,如图所示.
取AB的中点O,
由题意知,AB为圆O的直径,则AB的最小值为2OP=4,
又△ABC为直角三角形,所以m的最小值为42-22=23.故选D.
二、填空题
13.答案 2
解析 设圆锥底面半径为r,母线长为l,则πrl=4π,2πr=12×2πl,所以r=2,l=22.
14.答案 22
解析 设圆锥底面圆的半径为r.以半径长为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的母线长为3,则2πr=120°360°×2π×3,所以r=1,所以该圆锥的高为32-12=22.
15.答案 322
解析 因为该钻石的棱长为a cm,则正四棱锥的高为22a cm,
则正四棱锥的体积为13×a2×22a=26a3(cm3),则钻石的体积为2×26a3=23a3(cm3),
所以23a3×3.52=17.6×0.2,所以a3=322.
16.答案 4π3;4π9
解析 设O为△ABC的中心,
因为ABC是边长为6的等边三角形,
所以OA=32×6×23=23.
易知OP2+OA2=PA2,所以OP=3,
设球O1的半径为r,球O2的半径为R,
由等体积法可得,
VP-ABC=VO1-PAB+VO1-PAC+VO1-PBC+VO1-ABC
=13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r+13S△ABC·r
=13r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)
=13rS表,
所以r=3VP-ABCS表
=3×13×12×6×6×32×312×6×23×3+12×6×6×32
=1,
所以球O1的体积V=43πr3=4π3.
作截面图如图所示,
可知O1O=O1N=1,
则PN=1,PO1=2,PO2=1-R,
因为△PO2E∽△PO1F,所以PO2PO1=O2EO1F,即1-R2=R1,解得R=13,
所以球O2的表面积S=4πR2=4π·132=4π9.
故答案为4π3;4π9.
三、解答题
17.解析 设钢球的半径为r cm,则钢球的体积V=43πr3(cm3).(2分)
由题意知,实心钢球未浸入水中时水的体积为π×32×8=72π(cm3),(4分)
实心钢球及水的体积之和为π×32×8.5=1532π(cm3).(6分)
所以43πr3=1532π-72π,(8分)
所以r=32.(9分)
故实心钢球的半径为32 cm.(10分)
18.解析 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,(3分)
其对角线的长为92+42=97.(6分)
(2)如图所示,将平面BB1C1C绕棱CC1所在的直线旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.(9分)
设PC=x,则P1C=x.
在Rt△MAP1中,(3+x)2+22=29,
解得x=2(负值舍去),∴PC=P1C=2.(10分)
∵NCMA=P1CP1A,即NC2=25,∴NC=45.(12分)
19.解析 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示).
设所求圆柱的底面半径为r,
易知rR=H-xH,所以r=R-RHx.(4分)
所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-2πRHx2.(7分)
(2)由(1)得S圆柱侧=-2πRHx2+2πRx=-2πRH(x2-Hx)=-2πRHx-H22+πRH2,(10分)
所以当x=H2时,圆柱的侧面积最大,最大值为πRH2.(12分)
20.解析 设圆锥底面半径为r.当顶点向上时,水面圆半径为23r,所以水的体积V=13πr2h-13π23r2·23h=1981πr2h.(4分)
当底面向上时,设水面圆半径为r',
则r'=ℎ2rℎ,(6分)
此时水的体积V=13π·ℎ22r2ℎ2·h2=πℎ23r23ℎ2,(8分)
∴πℎ23r23ℎ2=1981πr2h,(10分)
∴h2=3193h.(12分)
21.解析 (1)将所给三视图还原成直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD,其高为PA,
∴PA=2.(2分)
∴正视图的面积S=12×2×2=2.(4分)
(2)如图所示,过点A作AE∥CD交BC于点E,连接PE,AC.
根据三视图可知,AD=EC=BE=12BC=1,∴E是BC的中点,(5分)
又AE=CD=1,PA=2,且BC⊥AE,PA⊥AD,PA⊥AE,
∴AB=AC=2,PD=3,PE=3,(7分)
∴PC2=PA2+AC2=4=PD2+CD2=PE2+EC2,∴PE⊥BC,PD⊥CD,(9分)
∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=12×2×2+12×2×1+12×1×3+12×2×3=2+2+332.(12分)
22.解析 (1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,那么仓库的体积
V1=13×π×1622×4=256π3(m3);(2分)
如果按方案二,仓库的高变为8 m,那么仓库的体积
V2=13×π×1222×8=288π3(m3).(4分)
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,则半径为8 m.
圆锥的母线长l1=82+42=45(m),
那么仓库的表面积S1=π×8×45+π×82=(325π+64π)m2.7分
如果按方案二,仓库的高变为8 m.
圆锥的母线长l2=82+62=10(m),
那么仓库的表面积S2=π×6×10+π×62=60π+36π=96π(m2).(10分)
(3)由(1)(2)可知V2>V1且S2所以方案二比方案一更加经济,建议农户采用第二种方案.(12分)
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.D
10.D
11.B
12.D
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.关于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图,下列说法不正确的是 ( )
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.90°角的直观图会变为45°角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.原来平行的线段仍然平行
2.某个圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( )
A.1πSB.πS
C.2πSD.4πS
3.把3个半径为R的实心铁球熔成一个底面半径为R的实心圆柱,则圆柱的高为( )
A.RB.2R
C.3RD.4R
4.如图,△O'A'B'是用斜二测画法画出的水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6B.32
C.62D.12
5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )
A.4B.6C.8D.12
6.圆木长为2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长 尺?(注:1丈等于10尺) ( )
A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
A
B
C
D
8.如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称中圆)的半圆弧组成,两个中圆与大圆均内切,与两个中圆同圆心有两个小圆(即图中两个黑白点).若一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,则小圆半径与大圆半径的比值为( )
A.14B.12C.13D.15
9.如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,且球的表面积为16π,点P在球面上,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )
A.8B.83C.16D.163
10.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点,则这两个正四面体公共部分的体积是( )
A.516B.14C.524D.16
11.若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了等底等高圆锥的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到圆面及圆环两截面,可以证明S圆=S环总成立.则短轴长为4 cm,长轴长为6 cm的椭球体的体积为( )
A.14π cm3B.16π cm3
C.18π cm3D.20π cm3
12.已知某长方体的三视图如图所示,在该长方体的一组相对侧面α,β上取三点A,B,P,其中P为侧面α的对角线上一点(与对角线端点不重合),A,B为侧面β的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P,则m的最小值为( )
A.4B.43C.2D.23
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知圆锥的侧面展开图的面积为4π,且为半圆,则底面半径为 .
14.将半径为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的高为 .
15.钻石,又称金刚石,它的化学成分是碳,是唯一一种由单一元素组成的宝石,属等轴晶系.宝石级的钻石晶体大部分是由八个等边三角形的面所组成,从中心到各面的晶轴长短相同(如图).已知1克拉=0.2克,且钻石的密度大约是3.52 g/cm3,设某颗17.6克拉的钻石的棱长为a cm,则a3= .
16.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形,PA=PB=PC=21,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O1的体积为 ,球O2的表面积为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)如图所示,一个圆柱形玻璃瓶的内底面半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个实心钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,求实心钢球的半径.
18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29,设这条最短路线与CC1的交点为N.求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;
(2)PC和NC的长.
19.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开,可将侧面展开到一个平面上,所得的矩形称为圆柱的侧面展开图,其中矩形相邻两边长分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长),所以圆柱的侧面积S=2πrl,其中r为圆柱底面圆半径,l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大值为多少?
20.(12分)如图所示,一个封闭的圆锥形容器的高为h,当顶点向上时,水平放置的锥体内的水面高度为h1,且水面高是锥体高的13,即h1=13h,若将锥顶倒置,底面水平且向上时,水面高度为h2,求h2的大小.
21.(12分)已知四棱锥P-ABCD的高为2,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形.
(1)求正视图的面积;
(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.
22.(12分)2020年5月,李克强总理在政府工作报告中提到着力抓好农业生产.“14亿中国人的饭碗,我们有能力也务必牢牢端在自己手中.”由于今年粮食再次获得丰收,某农户拟在原家用圆锥形仓库的基础上进行改造升级,以存放更多粮食,若原圆锥形仓库的底面直径为12 m,高4 m,现有人给他提供了两种方案:一是保持原仓库的高不变,将新建的仓库底面直径比原来增加4 m;二是保持原仓库的底面直径不变,将新建的仓库高度增加4 m.
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)请问你将提供哪个方案给该农户?
本章达标检测
一、选择题
1.B A中说法正确,根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形;B中说法不正确,90°角的直观图可以是45°角,也可以是135°角;由斜二测画法规则知C、D中说法正确.
2.B 设圆柱底面半径为r,则S=4r2,所以S圆柱侧=2πr·2r=4πr2=πS.
3.D 设圆柱的高为h,则πR2h=3×43πR3,所以h=4R.
4.D 易知△OAB是直角三角形,OA=6,OB=4,∠AOB=90°,∴S△OAB=12×6×4=12.
5.A 由三视图得该几何体为四棱锥,如图,其中SA为底面ABCD上的高,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,
∴这个几何体的体积V=13SA×12(AB+CD)·AD=13×2×12×(2+4)×2=4,故选A.
6.C 由题意可知,圆木的侧面展开图是矩形,其中一条边长(即圆木的高)为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长最少为242+(5×2)2=26(尺).故选C.
7.A 由题意可知,M,N两点在平面ADD1A1上的正投影分别是线段AA1,AD的中点,故选A.
8.A 设小圆、中圆、大圆的半径分别为r1,r2,r3,则r3=2r2,
由一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,可得2πr1=πr2,
即2r1=r2,所以r3=4r1,故小圆半径与大圆半径的比值为14.
9.D 设球的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以4πR2=16π,解得R=2.
设四棱锥P-ABCD底面矩形的长、宽分别为x,y,
则x2+y2=(2R)2=(x-y)2+2xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.
又点P在球面上,
所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即hmax=R=2,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为163.故选D.
10.D 如图所示,以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体,它的体积V=13×222×1=16.
11.B 椭圆的长半轴长为3 cm,短半轴长为2 cm,现构造一个底面半径为2 cm,高为3 cm,且挖去了等底等高圆锥的圆柱体,根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等原理,得出椭球的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2π×22×3-13×π×22×3=16π(cm3).
故选B.
12.D 根据长方体的三视图知,该长方体的底面是边长为2的正方形,且高为m,如图所示.
取AB的中点O,
由题意知,AB为圆O的直径,则AB的最小值为2OP=4,
又△ABC为直角三角形,所以m的最小值为42-22=23.故选D.
二、填空题
13.答案 2
解析 设圆锥底面半径为r,母线长为l,则πrl=4π,2πr=12×2πl,所以r=2,l=22.
14.答案 22
解析 设圆锥底面圆的半径为r.以半径长为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的母线长为3,则2πr=120°360°×2π×3,所以r=1,所以该圆锥的高为32-12=22.
15.答案 322
解析 因为该钻石的棱长为a cm,则正四棱锥的高为22a cm,
则正四棱锥的体积为13×a2×22a=26a3(cm3),则钻石的体积为2×26a3=23a3(cm3),
所以23a3×3.52=17.6×0.2,所以a3=322.
16.答案 4π3;4π9
解析 设O为△ABC的中心,
因为ABC是边长为6的等边三角形,
所以OA=32×6×23=23.
易知OP2+OA2=PA2,所以OP=3,
设球O1的半径为r,球O2的半径为R,
由等体积法可得,
VP-ABC=VO1-PAB+VO1-PAC+VO1-PBC+VO1-ABC
=13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r+13S△ABC·r
=13r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)
=13rS表,
所以r=3VP-ABCS表
=3×13×12×6×6×32×312×6×23×3+12×6×6×32
=1,
所以球O1的体积V=43πr3=4π3.
作截面图如图所示,
可知O1O=O1N=1,
则PN=1,PO1=2,PO2=1-R,
因为△PO2E∽△PO1F,所以PO2PO1=O2EO1F,即1-R2=R1,解得R=13,
所以球O2的表面积S=4πR2=4π·132=4π9.
故答案为4π3;4π9.
三、解答题
17.解析 设钢球的半径为r cm,则钢球的体积V=43πr3(cm3).(2分)
由题意知,实心钢球未浸入水中时水的体积为π×32×8=72π(cm3),(4分)
实心钢球及水的体积之和为π×32×8.5=1532π(cm3).(6分)
所以43πr3=1532π-72π,(8分)
所以r=32.(9分)
故实心钢球的半径为32 cm.(10分)
18.解析 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,(3分)
其对角线的长为92+42=97.(6分)
(2)如图所示,将平面BB1C1C绕棱CC1所在的直线旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.(9分)
设PC=x,则P1C=x.
在Rt△MAP1中,(3+x)2+22=29,
解得x=2(负值舍去),∴PC=P1C=2.(10分)
∵NCMA=P1CP1A,即NC2=25,∴NC=45.(12分)
19.解析 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示).
设所求圆柱的底面半径为r,
易知rR=H-xH,所以r=R-RHx.(4分)
所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-2πRHx2.(7分)
(2)由(1)得S圆柱侧=-2πRHx2+2πRx=-2πRH(x2-Hx)=-2πRHx-H22+πRH2,(10分)
所以当x=H2时,圆柱的侧面积最大,最大值为πRH2.(12分)
20.解析 设圆锥底面半径为r.当顶点向上时,水面圆半径为23r,所以水的体积V=13πr2h-13π23r2·23h=1981πr2h.(4分)
当底面向上时,设水面圆半径为r',
则r'=ℎ2rℎ,(6分)
此时水的体积V=13π·ℎ22r2ℎ2·h2=πℎ23r23ℎ2,(8分)
∴πℎ23r23ℎ2=1981πr2h,(10分)
∴h2=3193h.(12分)
21.解析 (1)将所给三视图还原成直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD,其高为PA,
∴PA=2.(2分)
∴正视图的面积S=12×2×2=2.(4分)
(2)如图所示,过点A作AE∥CD交BC于点E,连接PE,AC.
根据三视图可知,AD=EC=BE=12BC=1,∴E是BC的中点,(5分)
又AE=CD=1,PA=2,且BC⊥AE,PA⊥AD,PA⊥AE,
∴AB=AC=2,PD=3,PE=3,(7分)
∴PC2=PA2+AC2=4=PD2+CD2=PE2+EC2,∴PE⊥BC,PD⊥CD,(9分)
∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=12×2×2+12×2×1+12×1×3+12×2×3=2+2+332.(12分)
22.解析 (1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,那么仓库的体积
V1=13×π×1622×4=256π3(m3);(2分)
如果按方案二,仓库的高变为8 m,那么仓库的体积
V2=13×π×1222×8=288π3(m3).(4分)
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,则半径为8 m.
圆锥的母线长l1=82+42=45(m),
那么仓库的表面积S1=π×8×45+π×82=(325π+64π)m2.7分
如果按方案二,仓库的高变为8 m.
圆锥的母线长l2=82+62=10(m),
那么仓库的表面积S2=π×6×10+π×62=60π+36π=96π(m2).(10分)
(3)由(1)(2)可知V2>V1且S2
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.D
10.D
11.B
12.D
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