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2020-2021学年第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试同步训练题
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这是一份2020-2021学年第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试同步训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列命题正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,那么它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③B.②③
C.②③④D.④
2.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无数条直线都与β平行
B.直线a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α
C.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
D.平面α内两条不平行的直线都平行于平面β
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CD上的动点,则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.异面D.相交或平行
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,底面边长为23.若点M是线段A1C1的中点,则直线BM与底面ABC所成角的正切值为( )
A.53B.43
C.34D.45
5.已知E,F,G,H分别为四面体A-BCD的棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是( )
A.AC∥平面EFH
B.EF∥GH
C.直线EG,FH,BD相交于同一点
D.BD∥平面EFG
6.如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将△ABF沿BF所在的直线进行翻折,将△CDE沿DE所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误的是( )
A.无论翻折到什么位置,A、C两点都不可能重合
B.存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C.存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D.存在某个位置,使得直线AB与直线CD所成的角为90°
7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.334B.233
C.324D.32
8.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,则下列结论错误的是( )
A.若PA=PB=PC,∠ACB=90°,则点O是AB的中点
B.若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心
C.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的垂心
D.若PA=BC=2,PB=AC=3,PC=AB=4,则四面体P-ABC外接球的表面积为29π
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是A1B1,BB1的中点,点P在该直三棱柱表面运动,且满足EP⊥BD,∠BAC=90°,AB=AA1=AC=2,则点P的轨迹形成的曲线的长等于( )
A.4+22B.2+5+22
C.5+5D.25+22
10.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列结论中不正确的是( )
A.BC⊥平面PACB.AE⊥EF
C.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC
11.在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=1,D是BC的中点,且△ADC是边长为2的正三角形,点Q是棱AB上的动点,则PQ与平面ABC所成角的最大正弦值为( )
A.12B.55
C.32D.255
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 ( )
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②B1D1∥平面EFG;
③BD1⊥平面ACB1;
④二面角D1-AC-D的正切值为22;
⑤四面体A-CB1D1的体积为12a3.
A.①④B.①③C.③④D.③⑤
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是 .
14.如图,若邻边长分别为4和3与邻边长分别为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cs α∶cs β= .
15.如图所示,已知空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,则BC与AD所成的角为 .
16.在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=4,M为PC上一点,VP-AMBVA-PBC=13,过点M作三棱锥的一个截面α,PB∥α,AC∥α,则截面的周长为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC=1,AB⊥BC,E,F分别为AC,B1C1的中点.
(1)求证:直线EF∥平面ABB1A1;
(2)求三棱锥F-ABA1的体积.
19.(12分)已知四棱锥A-BCDE中,BCDE为等腰梯形,且BC∥DE,△ADE为等边三角形,平面ADE⊥平面BCDE,M,N分别是线段DE,BC的中点.
(1)求证:DE⊥平面AMN;
(2)若AE+EB=BC=a,∠EBC=60°,则当AB的长度最小时,求四棱锥A-BCDE的体积.
20.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,△ABC为直角三角形,D是边BC的中点,E是PD的中点,F是线段AB上一动点,PA=AC=CB=2.
(1)当F为AB的中点时,求证:平面CEF⊥平面PAB;
(2)当EF∥平面PAC时,求三棱锥P-CDF的体积.
21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)若点D是线段BC的中点,请问在线段AB1上是否存在点E,使得DE∥面AA1C1C?若存在,请说明点E的位置,若不存在,请说明理由;
(3)求二面角C-A1B1-C1的大小.
22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E在线段BC上,且EC=14BC,在棱PC上是否存在一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求四面体D-CEG的体积;若不存在,请说明理由.
本章达标检测
一、选择题
1.B A中说法正确,根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形;B中说法不正确,90°角的直观图可以是45°角,也可以是135°角;由斜二测画法规则知C、D中说法正确.
2.B 设圆柱底面半径为r,则S=4r2,所以S圆柱侧=2πr·2r=4πr2=πS.
3.D 设圆柱的高为h,则πR2h=3×43πR3,所以h=4R.
4.D 易知△OAB是直角三角形,OA=6,OB=4,∠AOB=90°,∴S△OAB=12×6×4=12.
5.A 由三视图得该几何体为四棱锥,如图,其中SA为底面ABCD上的高,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,
∴这个几何体的体积V=13SA×12(AB+CD)·AD=13×2×12×(2+4)×2=4,故选A.
6.C 由题意可知,圆木的侧面展开图是矩形,其中一条边长(即圆木的高)为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长最少为242+(5×2)2=26(尺).故选C.
7.A 由题意可知,M,N两点在平面ADD1A1上的正投影分别是线段AA1,AD的中点,故选A.
8.A 设小圆、中圆、大圆的半径分别为r1,r2,r3,则r3=2r2,
由一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,可得2πr1=πr2,
即2r1=r2,所以r3=4r1,故小圆半径与大圆半径的比值为14.
9.D 设球的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以4πR2=16π,解得R=2.
设四棱锥P-ABCD底面矩形的长、宽分别为x,y,
则x2+y2=(2R)2=(x-y)2+2xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.
又点P在球面上,
所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即hmax=R=2,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为163.故选D.
10.D 如图所示,以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体,它的体积V=13×222×1=16.
11.B 椭圆的长半轴长为3 cm,短半轴长为2 cm,现构造一个底面半径为2 cm,高为3 cm,且挖去了等底等高圆锥的圆柱体,根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等原理,得出椭球的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2π×22×3-13×π×22×3=16π(cm3).
故选B.
12.D 根据长方体的三视图知,该长方体的底面是边长为2的正方形,且高为m,如图所示.
取AB的中点O,
由题意知,AB为圆O的直径,则AB的最小值为2OP=4,
又△ABC为直角三角形,所以m的最小值为42-22=23.故选D.
二、填空题
13.答案 2
解析 设圆锥底面半径为r,母线长为l,则πrl=4π,2πr=12×2πl,所以r=2,l=22.
14.答案 22
解析 设圆锥底面圆的半径为r.以半径长为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的母线长为3,则2πr=120°360°×2π×3,所以r=1,所以该圆锥的高为32-12=22.
15.答案 322
解析 因为该钻石的棱长为a cm,则正四棱锥的高为22a cm,
则正四棱锥的体积为13×a2×22a=26a3(cm3),则钻石的体积为2×26a3=23a3(cm3),
所以23a3×3.52=17.6×0.2,所以a3=322.
16.答案 4π3;4π9
解析 设O为△ABC的中心,
因为ABC是边长为6的等边三角形,
所以OA=32×6×23=23.
易知OP2+OA2=PA2,所以OP=3,
设球O1的半径为r,球O2的半径为R,
由等体积法可得,
VP-ABC=VO1-PAB+VO1-PAC+VO1-PBC+VO1-ABC
=13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r+13S△ABC·r
=13r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)
=13rS表,
所以r=3VP-ABCS表
=3×13×12×6×6×32×312×6×23×3+12×6×6×32
=1,
所以球O1的体积V=43πr3=4π3.
作截面图如图所示,
可知O1O=O1N=1,
则PN=1,PO1=2,PO2=1-R,
因为△PO2E∽△PO1F,所以PO2PO1=O2EO1F,即1-R2=R1,解得R=13,
所以球O2的表面积S=4πR2=4π·132=4π9.
故答案为4π3;4π9.
三、解答题
17.解析 设钢球的半径为r cm,则钢球的体积V=43πr3(cm3).(2分)
由题意知,实心钢球未浸入水中时水的体积为π×32×8=72π(cm3),(4分)
实心钢球及水的体积之和为π×32×8.5=1532π(cm3).(6分)
所以43πr3=1532π-72π,(8分)
所以r=32.(9分)
故实心钢球的半径为32 cm.(10分)
18.解析 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,(3分)
其对角线的长为92+42=97.(6分)
(2)如图所示,将平面BB1C1C绕棱CC1所在的直线旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.(9分)
设PC=x,则P1C=x.
在Rt△MAP1中,(3+x)2+22=29,
解得x=2(负值舍去),∴PC=P1C=2.(10分)
∵NCMA=P1CP1A,即NC2=25,∴NC=45.(12分)
19.解析 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示).
设所求圆柱的底面半径为r,
易知rR=H-xH,所以r=R-RHx.(4分)
所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-2πRHx2.(7分)
(2)由(1)得S圆柱侧=-2πRHx2+2πRx=-2πRH(x2-Hx)=-2πRHx-H22+πRH2,(10分)
所以当x=H2时,圆柱的侧面积最大,最大值为πRH2.(12分)
20.解析 设圆锥底面半径为r.当顶点向上时,水面圆半径为23r,所以水的体积V=13πr2h-13π23r2·23h=1981πr2h.(4分)
当底面向上时,设水面圆半径为r',
则r'=ℎ2rℎ,(6分)
此时水的体积V=13π·ℎ22r2ℎ2·h2=πℎ23r23ℎ2,(8分)
∴πℎ23r23ℎ2=1981πr2h,(10分)
∴h2=3193h.(12分)
21.解析 (1)将所给三视图还原成直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD,其高为PA,
∴PA=2.(2分)
∴正视图的面积S=12×2×2=2.(4分)
(2)如图所示,过点A作AE∥CD交BC于点E,连接PE,AC.
根据三视图可知,AD=EC=BE=12BC=1,∴E是BC的中点,(5分)
又AE=CD=1,PA=2,且BC⊥AE,PA⊥AD,PA⊥AE,
∴AB=AC=2,PD=3,PE=3,(7分)
∴PC2=PA2+AC2=4=PD2+CD2=PE2+EC2,∴PE⊥BC,PD⊥CD,(9分)
∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=12×2×2+12×2×1+12×1×3+12×2×3=2+2+332.(12分)
22.解析 (1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,那么仓库的体积
V1=13×π×1622×4=256π3(m3);(2分)
如果按方案二,仓库的高变为8 m,那么仓库的体积
V2=13×π×1222×8=288π3(m3).(4分)
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,则半径为8 m.
圆锥的母线长l1=82+42=45(m),
那么仓库的表面积S1=π×8×45+π×82=(325π+64π)m2.7分
如果按方案二,仓库的高变为8 m.
圆锥的母线长l2=82+62=10(m),
那么仓库的表面积S2=π×6×10+π×62=60π+36π=96π(m2).(10分)
(3)由(1)(2)可知V2>V1且S2所以方案二比方案一更加经济,建议农户采用第二种方案.(12分)
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.D
10.D
11.B
12.D
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列命题正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,那么它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③B.②③
C.②③④D.④
2.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无数条直线都与β平行
B.直线a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α
C.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
D.平面α内两条不平行的直线都平行于平面β
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CD上的动点,则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.异面D.相交或平行
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,底面边长为23.若点M是线段A1C1的中点,则直线BM与底面ABC所成角的正切值为( )
A.53B.43
C.34D.45
5.已知E,F,G,H分别为四面体A-BCD的棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是( )
A.AC∥平面EFH
B.EF∥GH
C.直线EG,FH,BD相交于同一点
D.BD∥平面EFG
6.如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将△ABF沿BF所在的直线进行翻折,将△CDE沿DE所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误的是( )
A.无论翻折到什么位置,A、C两点都不可能重合
B.存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C.存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D.存在某个位置,使得直线AB与直线CD所成的角为90°
7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.334B.233
C.324D.32
8.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,则下列结论错误的是( )
A.若PA=PB=PC,∠ACB=90°,则点O是AB的中点
B.若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心
C.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的垂心
D.若PA=BC=2,PB=AC=3,PC=AB=4,则四面体P-ABC外接球的表面积为29π
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是A1B1,BB1的中点,点P在该直三棱柱表面运动,且满足EP⊥BD,∠BAC=90°,AB=AA1=AC=2,则点P的轨迹形成的曲线的长等于( )
A.4+22B.2+5+22
C.5+5D.25+22
10.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列结论中不正确的是( )
A.BC⊥平面PACB.AE⊥EF
C.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC
11.在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=1,D是BC的中点,且△ADC是边长为2的正三角形,点Q是棱AB上的动点,则PQ与平面ABC所成角的最大正弦值为( )
A.12B.55
C.32D.255
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 ( )
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②B1D1∥平面EFG;
③BD1⊥平面ACB1;
④二面角D1-AC-D的正切值为22;
⑤四面体A-CB1D1的体积为12a3.
A.①④B.①③C.③④D.③⑤
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是 .
14.如图,若邻边长分别为4和3与邻边长分别为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cs α∶cs β= .
15.如图所示,已知空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,则BC与AD所成的角为 .
16.在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=4,M为PC上一点,VP-AMBVA-PBC=13,过点M作三棱锥的一个截面α,PB∥α,AC∥α,则截面的周长为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC=1,AB⊥BC,E,F分别为AC,B1C1的中点.
(1)求证:直线EF∥平面ABB1A1;
(2)求三棱锥F-ABA1的体积.
19.(12分)已知四棱锥A-BCDE中,BCDE为等腰梯形,且BC∥DE,△ADE为等边三角形,平面ADE⊥平面BCDE,M,N分别是线段DE,BC的中点.
(1)求证:DE⊥平面AMN;
(2)若AE+EB=BC=a,∠EBC=60°,则当AB的长度最小时,求四棱锥A-BCDE的体积.
20.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,△ABC为直角三角形,D是边BC的中点,E是PD的中点,F是线段AB上一动点,PA=AC=CB=2.
(1)当F为AB的中点时,求证:平面CEF⊥平面PAB;
(2)当EF∥平面PAC时,求三棱锥P-CDF的体积.
21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)若点D是线段BC的中点,请问在线段AB1上是否存在点E,使得DE∥面AA1C1C?若存在,请说明点E的位置,若不存在,请说明理由;
(3)求二面角C-A1B1-C1的大小.
22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E在线段BC上,且EC=14BC,在棱PC上是否存在一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求四面体D-CEG的体积;若不存在,请说明理由.
本章达标检测
一、选择题
1.B A中说法正确,根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形;B中说法不正确,90°角的直观图可以是45°角,也可以是135°角;由斜二测画法规则知C、D中说法正确.
2.B 设圆柱底面半径为r,则S=4r2,所以S圆柱侧=2πr·2r=4πr2=πS.
3.D 设圆柱的高为h,则πR2h=3×43πR3,所以h=4R.
4.D 易知△OAB是直角三角形,OA=6,OB=4,∠AOB=90°,∴S△OAB=12×6×4=12.
5.A 由三视图得该几何体为四棱锥,如图,其中SA为底面ABCD上的高,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,
∴这个几何体的体积V=13SA×12(AB+CD)·AD=13×2×12×(2+4)×2=4,故选A.
6.C 由题意可知,圆木的侧面展开图是矩形,其中一条边长(即圆木的高)为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长最少为242+(5×2)2=26(尺).故选C.
7.A 由题意可知,M,N两点在平面ADD1A1上的正投影分别是线段AA1,AD的中点,故选A.
8.A 设小圆、中圆、大圆的半径分别为r1,r2,r3,则r3=2r2,
由一个圆锥刚好以小圆为底,中圆的半圆面为侧面,可得2πr1=πr2,
即2r1=r2,所以r3=4r1,故小圆半径与大圆半径的比值为14.
9.D 设球的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以4πR2=16π,解得R=2.
设四棱锥P-ABCD底面矩形的长、宽分别为x,y,
则x2+y2=(2R)2=(x-y)2+2xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.
又点P在球面上,
所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即hmax=R=2,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为163.故选D.
10.D 如图所示,以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体,它的体积V=13×222×1=16.
11.B 椭圆的长半轴长为3 cm,短半轴长为2 cm,现构造一个底面半径为2 cm,高为3 cm,且挖去了等底等高圆锥的圆柱体,根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等原理,得出椭球的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2π×22×3-13×π×22×3=16π(cm3).
故选B.
12.D 根据长方体的三视图知,该长方体的底面是边长为2的正方形,且高为m,如图所示.
取AB的中点O,
由题意知,AB为圆O的直径,则AB的最小值为2OP=4,
又△ABC为直角三角形,所以m的最小值为42-22=23.故选D.
二、填空题
13.答案 2
解析 设圆锥底面半径为r,母线长为l,则πrl=4π,2πr=12×2πl,所以r=2,l=22.
14.答案 22
解析 设圆锥底面圆的半径为r.以半径长为3,圆心角为120°的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的母线长为3,则2πr=120°360°×2π×3,所以r=1,所以该圆锥的高为32-12=22.
15.答案 322
解析 因为该钻石的棱长为a cm,则正四棱锥的高为22a cm,
则正四棱锥的体积为13×a2×22a=26a3(cm3),则钻石的体积为2×26a3=23a3(cm3),
所以23a3×3.52=17.6×0.2,所以a3=322.
16.答案 4π3;4π9
解析 设O为△ABC的中心,
因为ABC是边长为6的等边三角形,
所以OA=32×6×23=23.
易知OP2+OA2=PA2,所以OP=3,
设球O1的半径为r,球O2的半径为R,
由等体积法可得,
VP-ABC=VO1-PAB+VO1-PAC+VO1-PBC+VO1-ABC
=13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r+13S△ABC·r
=13r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)
=13rS表,
所以r=3VP-ABCS表
=3×13×12×6×6×32×312×6×23×3+12×6×6×32
=1,
所以球O1的体积V=43πr3=4π3.
作截面图如图所示,
可知O1O=O1N=1,
则PN=1,PO1=2,PO2=1-R,
因为△PO2E∽△PO1F,所以PO2PO1=O2EO1F,即1-R2=R1,解得R=13,
所以球O2的表面积S=4πR2=4π·132=4π9.
故答案为4π3;4π9.
三、解答题
17.解析 设钢球的半径为r cm,则钢球的体积V=43πr3(cm3).(2分)
由题意知,实心钢球未浸入水中时水的体积为π×32×8=72π(cm3),(4分)
实心钢球及水的体积之和为π×32×8.5=1532π(cm3).(6分)
所以43πr3=1532π-72π,(8分)
所以r=32.(9分)
故实心钢球的半径为32 cm.(10分)
18.解析 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,(3分)
其对角线的长为92+42=97.(6分)
(2)如图所示,将平面BB1C1C绕棱CC1所在的直线旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.(9分)
设PC=x,则P1C=x.
在Rt△MAP1中,(3+x)2+22=29,
解得x=2(负值舍去),∴PC=P1C=2.(10分)
∵NCMA=P1CP1A,即NC2=25,∴NC=45.(12分)
19.解析 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示).
设所求圆柱的底面半径为r,
易知rR=H-xH,所以r=R-RHx.(4分)
所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-2πRHx2.(7分)
(2)由(1)得S圆柱侧=-2πRHx2+2πRx=-2πRH(x2-Hx)=-2πRHx-H22+πRH2,(10分)
所以当x=H2时,圆柱的侧面积最大,最大值为πRH2.(12分)
20.解析 设圆锥底面半径为r.当顶点向上时,水面圆半径为23r,所以水的体积V=13πr2h-13π23r2·23h=1981πr2h.(4分)
当底面向上时,设水面圆半径为r',
则r'=ℎ2rℎ,(6分)
此时水的体积V=13π·ℎ22r2ℎ2·h2=πℎ23r23ℎ2,(8分)
∴πℎ23r23ℎ2=1981πr2h,(10分)
∴h2=3193h.(12分)
21.解析 (1)将所给三视图还原成直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD,其高为PA,
∴PA=2.(2分)
∴正视图的面积S=12×2×2=2.(4分)
(2)如图所示,过点A作AE∥CD交BC于点E,连接PE,AC.
根据三视图可知,AD=EC=BE=12BC=1,∴E是BC的中点,(5分)
又AE=CD=1,PA=2,且BC⊥AE,PA⊥AD,PA⊥AE,
∴AB=AC=2,PD=3,PE=3,(7分)
∴PC2=PA2+AC2=4=PD2+CD2=PE2+EC2,∴PE⊥BC,PD⊥CD,(9分)
∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=12×2×2+12×2×1+12×1×3+12×2×3=2+2+332.(12分)
22.解析 (1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,那么仓库的体积
V1=13×π×1622×4=256π3(m3);(2分)
如果按方案二,仓库的高变为8 m,那么仓库的体积
V2=13×π×1222×8=288π3(m3).(4分)
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,则半径为8 m.
圆锥的母线长l1=82+42=45(m),
那么仓库的表面积S1=π×8×45+π×82=(325π+64π)m2.7分
如果按方案二,仓库的高变为8 m.
圆锥的母线长l2=82+62=10(m),
那么仓库的表面积S2=π×6×10+π×62=60π+36π=96π(m2).(10分)
(3)由(1)(2)可知V2>V1且S2
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.D
10.D
11.B
12.D
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