人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步达标检测题

这是一份人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 给角求值
1.cs 24°cs 36°-sin 24°sin 36°的值为( )
A.0 B.12 C.32 D.-12
2.(2021山东枣庄一中高一月考)计算:sin 8°cs 38°-sin 82°sin 38°=( )
A.12 B.22 C.-12 D.-32
3.1−tan15°1+tan15°=( )
A.33 B.3 C.1 D.12
4.tan10°+tan50°+tan120°tan10°tan50°=( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
5.(2020广东惠州高一期末)计算sin68°−cs60°sin8°cs68°+sin60°sin8°的值是 .
6.(2019湖南师大附中高一期中)tan57°−tan12°+tan135°tan57°tan12°= .
题组二 给值求角
7.已知α,β为锐角,且cs α=1010,cs β=55,则α+β的值是( )
A.2π3 B.3π4 C.π4 D.π3
8.已知tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈π2,3π2,则α+β的值为( )
A.4π3 B.7π3
C.4π3或7π3 D.5π3或7π3
9.(2021甘肃兰州一中高一期末)定义运算a bc d=ad-bc.若
cs α=17,sinα sinβcsα csβ=3314,0<β<α<π2,求β的值.
10.(2019吉林省实验中学高三月考(理))已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根分别为tan α、tan β,且α,β∈-π2,π2,求α+β的值.
题组三 给值求值
11.若cs α=-45,α是第三象限角,则sinα+π4=( )
A.-7210 B.7210 C.-210 D.210
12.(2019湖南师大附中高二期中)在△ABC中,已知cs A=513,cs B=45,则cs(A+B)的值为( )
A.-1665 B.-5665
C.1665或5665 D.1665
13.(2021湖北黄冈中学高一月考)若tan 28°tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=( )
A.3m B.3(1-m)
C.3(m-1) D.3(m+1)
14.(2021安徽安庆第三中学高一月考)若sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则lg 5tanαtanβ2=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
15.(2021广西桂林高一期中)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,则下列结论中正确的是( )
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-3
C.tan A=tan B D.sin B=3sin A
16.已知α为钝角,且sinα+π12=13,求csα+5π12的值.
17.(2021山东泰安高一期末)已知sin(α-β)cs α-cs(β-α)sin α=45,β是第三象限角,求sinβ+π4的值.
18.(2020重庆一中高一上期末)已知sinα+π6=35,α∈π2,π,求tanα-π12的值.
19.(2021湖北恩施州高一期末)已知α,β均为锐角,且tan β=csα-sinαcsα+sinα,求tan(α+β)的值.
能力提升练
一、选择题
1.(2020湖南宁乡一中高一开学考试,)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED等于( )
A.31010 B.1010 C.510 D.515
2.()在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O按逆时针方向旋转3π4后得到向量OQ,则点Q的坐标是( )
A.(-72,-2) B.(-72,2)
C.(-46,-2) D.(-46,2)
二、填空题
3.(2020上海交通大学附中高一月考,)小瑗在解试题:“已知锐角α与β的值,求α+β的正弦值”时,误将两角和的正弦公式错记成了“sin(α+β)=cs αcs β+sin αsin β”,解得的结果为6+24,发现与标准答案一致,那么原题中的锐角α的值为 (写出所有可能的值).
4.()(1+tan 20°)·(1+tan 25°)= .
三、解答题
5.(2021江西南昌高一期末,)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为210,255.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
(2019上海七宝中学高一下期中,)已知π<α<3π2,π<β<3π2,sin α=-55,
cs β=-1010.求:
(1)α-β的值;
(2)tan(2α-β)的值.
7.(2020湖南长沙高一期末,)已知△ABC中,tan B+tan C-3tan Btan C=-3,且33tan A+33tan B+1=tan Atan B,判断△ABC的形状.
8.()已知△ABC中,B=60°,且1csA+1csC=-2csB,若A>C,求A的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B cs 24°cs 36°-sin 24°sin 36°
=cs(24°+36°)=cs 60°=12.故选B.
C sin 8°cs 38°-sin 82°sin 38°=sin 8°·cs 38°-cs 8°·
sin 38°=sin(8°-38°)=sin(-30°)=-12.
3.A 1−tan15°1+tan15°=tan45°−tan15°1+tan45°tan15°=tan 30°=33.
4.D ∵tan 60°=tan(10°+50°)
=tan10°+tan50°1−tan10°tan50°,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°·tan 50°,
∴原式
=tan60°−tan60°tan10°tan50°+tan120°tan10°tan50°
=tan60°−tan60°tan10°tan50°−tan60°tan10°tan50°
=-tan 60°=-3.
5.答案 3
解析 因为sin 68°=sin 60°cs 8°+cs 60°·sin 8°,cs 68°=cs 60°cs 8°-sin 60°sin 8°,所以sin68°−cs60°sin8°cs68°+sin60°sin8°=sin60°cs8°cs60°cs8°=tan 60°=3.
6.答案 1
解析 原式
=tan(45°+12°)−tan12°−tan45°tan(45°+12°)tan12°
=1+tan12°1-tan12°-tan12°-11+tan12°1-tan12°tan12°
=(1+tan12°)-(1-tan212°)(1+tan12°)tan12°=1.
7.B 因为α,β为锐角,且cs α=1010,cs β=55,所以sin α=31010,sin β=255,
所以cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=-22,由α,β为锐角,可得0<α+β<π,故α+β=3π4,故选B.
8.A ∵tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两根,
∴tan α+tan β=-33①,tan αtan β=4②,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=-331−4=3.
由α,β∈π2,3π2及①②可知α,β∈π2,π,则α+β∈(π,2π),
∴α+β=4π3.故选A.
9.解析 由题意得,sin αcs β-cs αsin β=3314,∴sin(α-β)=3314.∵0<β<α<π2,
∴0<α-β<π2,∴cs(α-β)=1−33142=1314.又cs α=17,∴sin α=437,
∴cs β=cs[α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,∴β=π3.
10.解析 ∵方程x2+3ax+3a+1=0的两根分别为tan α、tan β,
∴tan α+tan β=-3a,tan αtan β=3a+1,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1,
又∵α,β∈-π2,π2,a>2,
∴tan α+tan β=-3a<0,tan αtan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈-π2,0,
∴α+β∈(-π,0),又tan(α+β)=1,
∴α+β=-3π4.
11.A 因为cs α=-45,α是第三象限角,所以sin α=-35,由两角和的正弦公式可得sinα+π4=sin αcsπ4+cs αsinπ4=-35×22+-45×22=-7210.
12.A 在△ABC中,cs A=513,cs B=45,
∴sin A=1−5132=1213,
sin B=1−452=35,
∴cs(A+B)=cs Acs B-sin Asin B
=513×45-1213×35=-1665.故选A.
B 由tan 60°=tan(28°+32°)=tan28°+tan32°1−tan28°tan32°,得tan 28°+tan 32°=
tan 60°·(1-tan 28°·tan 32°)=3(1-m).
14.B ∵sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12,
sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=13,
∴sin αcs β=512,cs αsin β=112,
∴sinαcsβcsαsinβ=tanαtanβ=512112=5,
∴lg 5tanαtanβ2=lg 552=4.故选B.
C ∵C=120°,∴A+B=60°,∴A+B=C2,tan(A+B)=3,∴A,B均错误;∵tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=3,∴tan A+tan B=3(1-tan Atan B)=233,
∴tan Atan B=13,
联立tanA+tanB=233,tanAtanB=13,
解得tan A=tan B=33,∴A=B=30°,
∴sin B=12,3sin A=32,∴sin B≠3sin A,∴C正确,D错误.故选C.
16.解析 ∵α为钝角,且sinα+π12=13,
∴csα+π12=-223,
∴csα+5π12=csα+π12+π3
=csα+π12csπ3-sinα+π12·sinπ3=-223×12-13×32=-22+36.
17.解析 ∵sin(α-β)cs α-cs(β-α)sin α=sin(α-β)cs α-cs(α-β)sin α=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=45,
∴sin β=-45,又β是第三象限角,
∴cs β=-1−sin2β=-35,
∴sinβ+π4=sin βcs π4+cs βsin π4=-45×22+-35×22=-7210.
18.解析 因为α∈π2,π,所以α+π6∈2π3,7π6,所以csα+π6<0.
由sinα+π6=35,可得csα+π6=-45,
所以tanα+π6=sinα+π6csα+π6=-34.
所以tanα-π12=tanα+π6-π4
=tanα+π6-tanπ41+tanα+π6×tanπ4
=-34-11+-34×1=-7.
19.解析 ∵tan β=csα-sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα,
∴tan β+tan αtan β=1-tan α,
∴tan α+tan β+tan αtan β=1,
∴tan α+tan β=1-tan αtan β,
∴tanα+tanβ1−tanαtanβ=1,∴tan(α+β)=1.
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意得BE=2,BC=1,∠DEA=π4,则CE=BE2+BC2=5,所以在△BCE中,
sin∠BEC=15,cs∠BEC=25,
又∠CED=∠DEA-∠BEC=π4-∠BEC,
所以sin∠CED=sinπ4-∠BEC
=sin π4cs∠BEC-cs π4sin∠BEC
=22×25-22×15=1010.
A 因为点O(0,0),P(6,8),所以OP=(6,8),设OP=(10cs θ,10sin θ),
则cs θ=35,sin θ=45.设Q(x,y),则x=10csθ+3π4=10csθcs3π4-sinθsin3π4=
-72,y=10sinθ+3π4=10sinθcs3π4+csθ·sin3π4=-2,所以点Q的坐标为
(-72,-2).
二、填空题
3.答案 π3,π4,π6
解析 由题意得sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=cs αcs β+
sin αsin β,
所以sin αcs β-cs αcs β=sin αsin β-cs α·sin β,
所以(sin α-cs α)(sin β-cs β)=0,
又因为α与β为锐角,
所以α=π4或β=π4.
当α=π4时,sinπ4+β=6+24,所以β=π6或β=π3;
当β=π4时,sinα+π4=6+24,所以α=π6或α=π3.
综上可知,锐角α的可能值为π3,π4,π6.
4.答案 2
解析 因为tan 45°=tan(25°+20°)=tan25°+tan20°1−tan20°tan25°=1,
所以tan 25°+tan 20°=1-tan 20°tan 25°,
所以(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=1+tan 25°+tan 20°+tan 20°tan 25°=1+1-tan 20°·tan 25°+tan 20°tan 25°=2.
三、解答题
5.解析 由题意得cs α=210,cs β=255,
∵α,β均为锐角,
∴sin α=7210,sin β=55,
∴tan α=7,tan β=12.
(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=7+121−7×12=-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α+β)+tanβ1−tan(α+β)tanβ=-3+121−(−3)×12=-1.
∵α,β均为锐角,∴0<α+2β<3π2,∴α+2β=3π4.
6.解析 (1)∵π<α<3π2,π<β<3π2,
∴cs α<0,sin β<0,-π2<α-β<π2.
又sin α=-55,cs β=-1010,
∴cs α=-255,sin β=-31010.
∴sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β
=-55×-1010--255×-31010
=210-325=-22.
又-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.
(2)由(1)知tan(α-β)=tan-π4=-1,tan α=sinαcsα=-55-255=12,
∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
=tanα+tan(α-β)1−tanαtan(α-β)=-1232=-13.
解析 由tan B+tan C-3tan Btan C=-3,得tan B+tan C=3tan Btan C-3,又在△ABC中,A+B+C=π,所以tan A=tan[π-(B+C)]=
-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=3tanBtanC-3tanBtanC-1=3.
又0由33tan A+33tan B+1=tan Atan B,得tan C=tan[π-(A+B)]=
-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1=tanA+tanB33tanA+33tanB=3.
又0所以△ABC是等边三角形.
8.解析 由B=60°得A+C=120°.
设A-C2=α,则A=A+C2+A-C2=60°+α,
C=A+C2-A-C2=60°-α,
∴1csA+1csC=1cs(60°+α)+1cs(60°−α)
=112csα-32sinα+112csα+32sinα
=csα14cs2α-34sin2α=csαcs2α-34.
故csαcs2α-34=-2csB=-22,
整理得42cs2α+2cs α-32=0,
即(2cs α-2)(22cs α+3)=0.
∵0°C,
∴0°<α<60°,∴12∴22cs α+3>0,∴2cs α-2=0,
∴cs α=22,∴α=45°,
∴A=60°+45°=105°.