2020-2021学年第三章 三角恒等变换综合与测试课后练习题

这是一份2020-2021学年第三章 三角恒等变换综合与测试课后练习题，共14页。

易混易错练
易错点1 不能灵活运用公式变形致错
1.()计算cs 70°cs 335°+sin 110°sin 25°的结果是( )
A.22 B.1 C.32 D.12
2.()已知sin x-sin y=-23,cs x-cs y=23,且x,y为锐角,则tan(x-y)的值是( )
A.2145 B.-2145
C.±2145 D.-1414
易错点2 忽略角的范围致错
3.()已知sin α=-45,π<α<3π2,求csα2的值.
4.()已知0<α<π2,-π2<β<0,csπ4+α=13,csπ4-β2=33.
(1)求cs α的值;
(2)求csα+β2的值.
5.()已知函数f(x)=2cs x(sin x-cs x)+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间π8,3π4上的最小值和最大值.
易错点3 忽略角的特殊关系致错
6.()若sinπ3-α=13,则csπ3+2α=( )
A.-79 B.23 C.-23 D.79
7.()若csπ4-α=35,sinπ4+β=1213,α∈π4,3π4,β∈0,π4,则cs(α+β)=( )
A.1665 B.-5665 C.-3365 D.6365
8.()已知α,β为锐角,sin α=13,cs(α+β)=45.
(1)求csα-π3的值;
(2)求sin β的值.
思想方法练
一、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
1.()已知α为锐角,且tanα+π8=2,则sin 2α=( )
A.210 B.3210
C.7210 D.324
2.()已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cs2θ=( )
A.-1 B.-45
C.45 D.-34
3.()已知cs α+cs β=12,sin α+sin β=32,则cs(α-β)= .
4.(2020四川泸州泸化中学高一月考,)已知函数f(x)=cs2x+3sin x·
cs x+1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最值;
(2)设α∈π12,π3,且f α+π12=2110,求cs2α+π12的值.
二、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用
5.(2020安徽合肥高一上期末,)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则cs 2θ=( )
A.-45 B.-35
C.35 D.45
6.(2021江苏江阴高级中学高一月考,)若sin α2=1+sinα-1−sinα,0≤α≤π,则tan α的值是 .
7.()已知函数f(x)=a+2cs2x2cs(x+θ)为奇函数,且 f π2=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若α∈π2,π,f α2+π8+25csα+π4cs 2α=0,求cs α-sin α的值.
三、函数与方程思想在三角恒等变换中的应用
8.(2021重庆八中高一期末,)已知α,β∈0,π2,α+2β=2π3,tanα2+tan β=3-3,则α-β= .
9.(2020山西大学附中高一月考,)已知函数f(x)=cs2x-π3+2sinx-π4csx-π4,x∈-π12,π2.
(1)若f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)令g(x)=[f(x)]2+2mf(x)+2m+1,求g(x)的最小值h(m)的表达式.
答案全解全析
易混易错练
1.A cs 70°cs 335°+sin 110°sin 25°
=cs 70°cs 25°+sin 70°sin 25°
=cs(70°-25°)=cs 45°=22.故选A.
2.B ∵sin x-sin y=-23,cs x-cs y=23,∴(sin x-sin y)2=49,(cs x-cs y)2=49,两式左、右两边分别相加并化简,得2-2sin xsin y-2cs xcs y=89,∴cs(x-y)=59.
∵x,y为锐角,sin x-sin y<0,∴x∴sin(x-y)=-1−cs2(x-y)=-2149,
∴tan(x-y)=sin(x-y)cs(x-y)=-214959 =-2145.
故选B.
易错警示 牢记两角和与差的正弦、余弦公式的形式,才能正确求解三角代数式的结果,要特别注意公式中符号的差异.
3.解析 ∵π<α<3π2,sin α=-45,
∴cs α=-35,π2<α2<3π4,
∴cs α2=-1+csα2=-55.
4.解析 (1)∵0<α<π2,
∴π4<π4+α<3π4.
∵csπ4+α=13,
∴sinπ4+α=223,
∴cs α=csπ4+α-π4
=csπ4+αcs π4+sinπ4+αsin π4
=13×22+223×22=2+46.
(2)∵-π2<β<0,∴π4<π4-β2<π2.
∵csπ4-β2=33,
∴sinπ4-β2=63.
∴csα+β2=csπ4+α-π4-β2=csπ4+αcsπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2
=13×33+223×63=539.
易错警示 针对给定的三角函数值,对角的范围进行精确“压缩”,可以减少对增根的不必要讨论,提高解题的正确率.
解析 (1)由题意得f(x)=2cs x(sin x-cs x)+1=sin 2x-
cs 2x=2sin2x-π4,
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)解法一:∵π8≤x≤3π4,
∴0≤2x-π4≤5π4,
∴当0≤2x-π4≤π2,即π8≤x≤3π8时,f(x)单调递增;
当π2≤2x-π4≤5π4,即3π8≤x≤3π4时,f(x)单调递减.
∴当x=3π8时,f(x)取得最大值,且最大值为f3π8=2.
又fπ8=0,f3π4=2sin3π2-π4=-2csπ4=-1,
∴函数f(x)在区间π8,3π4上的最小值为-1.
解法二:作出函数f(x)=2sin2x-π4在区间π8,3π4上的图象,如图所示.
由图象得函数f(x)在区间π8,3π4上的最大值为f3π8=2,最小值为f3π4=-1.
易错警示 研究三角恒等变换后的正弦型函数的值域,要注意变量角给定的取值范围,通过对整体角的讨论,准确求解函数的值域.
6.A ∵sinπ3-α=csπ2-π3-α=csπ6+α=13,
∴csπ3+2α=cs2π6+α
=2cs2π6+α-1=2×132-1=-79.
故选A.
7.C 因为α∈π4,3π4,
所以π4-α∈-π2,0,
所以sinπ4-α=-1−352=-45.
因为β∈0,π4,
所以π4+β∈π4,π2,
所以csπ4+β=1−12132=513,
所以cs(α+β)=csπ4+β-π4-α=csπ4+βcsπ4-α+sinπ4+βsinπ4-α=513×35+1213×-45=-3365,故选C.
8.解析 (1)∵α为锐角,sin α=13,
∴cs α=1−sin2α=223.
∴csα-π3=cs αcsπ3+sin αsinπ3
=223×12+13×32=22+36.
(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),
∵cs(α+β)=45,
∴sin(α+β)=1−cs2(α+β)=35,
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α
=35×223-45×13=62-415.
易错警示 三角恒等变换中角的变换占据着重要的地位,特别是对角采取整体变换的处理,解题过程中应注意观察特殊的互余、互补等关系.
思想方法练
1.C tan2α+π8=2tanα+π81−tan2α+π8=2×21−4=-43,
又tan2α+π8=tan2α+π4
=1+tan2α1−tan2α=-43,∴tan 2α=7,
根据角的变换求出tan 2α的值.
∴sin22α=tan22α1+tan22α=491+49=4950.
将sin 2α平方,然后将其看成分母为1的式子,转化为齐次式问题求解.
∵α是锐角,∴0<2α<π,
∴sin 2α=7210,故选C.
2.B ∵tanπ4+θ=1+tanθ1−tanθ=3,
∴tan θ=12,
∴sin 2θ-2cs2θ=sin2θ-2cs2θ1
=2sinθcsθ-2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.
将待求式看成分母为1的式子,转化为齐次式问题求解.
故选B.
3.答案 -12
解析 将cs α+cs β=12,sin α+sin β=32
两边分别平方并相加得cs2α+cs2β+2cs αcs β+sin2α+sin2β+2sin α·
sin β=1,
借助平方运算,得到两角差的余弦.
整理得cs αcs β+sin αsin β=cs(α-β)=-12.
4.解析 (1)f(x)=cs2x+12+32sin 2x+1
=12cs 2x+32sin 2x+32
=sin2x+π6+32,
应用二倍角公式及两角和的正弦公式,使三角函数名称统一,将原函数转化为正弦型函数.
∴函数f(x)的最小正周期是π,最大值为52,最小值为12.
(2)∵f α+π12=2110,
∴sin2α+π12+π6+32=2110,
∴sin2α+π3=35.
∵α∈π12,π3,∴2α+π3∈π2,π,
∴cs2α+π3=-45.
∴cs2α+π12=cs2α+π3-π4
=cs2α+π3csπ4+sin2α+π3·sinπ4=-45+35×22=-210.
思想方法 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用主要体现在将异名三角函数转化为同名三角函数,将待求式转化为含已知式的齐次式等.
5.A 当θ的终边在第一象限时,取直线y=3x上的点(1,3),则r=10,
故cs θ=110=1010,
同理,当θ的终边在第三象限时,cs θ=-1010,
角的终边在直线y=3x上,要分终边在第一象限或第三象限.
所以cs 2θ=2cs2θ-1=2±10102-1=-45.故选A.
6.答案 0或-43
解析 将sinα2=1+sinα-1−sinα的两边平方并化简,得sin2α2=2-21−sin2α,
∴1−csα2=2-2|cs α|.
结合0≤α≤π对cs α的值的正负进行分类讨论,即分0≤α≤π2和π2<α≤π两种情况讨论.
当0≤α≤π2时,1−csα2=2-2cs α,
∴cs α=1,∴α=0,∴tan α=0.
当π2<α≤π时,1−csα2=2+2cs α,
∴cs α=-35,
∴sin α=45,∴tan α=-43.
综上所述,tan α的值是0或-43.
7.解析 (1)因为f(x)=a+2cs2x2·cs(x+θ)是奇函数,
所以a+2cs2x2cs(x+θ)
=-a+2cs2x2cs(-x+θ),
整理得cs xcs θ=0,所以cs θ=0.
又θ∈(0,π),所以θ=π2,
所以f(x)=-sin xa+2cs2x2,
由fπ2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,
因为fα2+π8+25csα+π4cs 2α=0,
所以sinα+π4=45csα+π4cs 2α.
因为cs 2α=sin2α+π2=sin2α+π4=2sinα+π4csα+π4,
所以sinα+π4=85cs2α+π4·sinα+π4,
又α∈π2,π,所以α+π4∈3π4,5π4,所以sinα+π4=0或cs2α+π4=58.
根据运算过程对求得的结果进行分类讨论.
①由sinα+π4=0,3π4<α+π4<5π4,得α+π4=π,所以α=3π4,
所以cs α-sin α=cs 3π4-sin 3π4=-2.
②由cs2α+π4=58,3π4<α+π4<5π4,
得csα+π4=-104,所以22(cs α-sin α)=-104,
所以cs α-sin α=-52.
综上,cs α-sin α的值为-2或-52.
思想方法 分类讨论思想在三角恒等变换中的应用主要体现在对所求三角函数值及角的范围的讨论,主要是通过对数值和角度的讨论分析取值的可能以及在不同范围下所体现的具体数值.
8.答案 -π12
解析 因为α+2β=2π3,
所以β=2π3-α2=π3-α2,
又tanα2+tan β=3-3,所以tanα2+tanπ3-α2=3-3,
所以tanα2+tanπ3-tanα21+tanπ3·tanα2=3-3,
所以tanα2+3-tanα21+3tanα2=3-3,
化简,得tan2α2+(3-3)·tanα2-3+2=0,
将tanα2看成整体,则原式转化为关于tanα2的一元二次方程,通过解方程求出tanα2的值.
即tanα2-1tanα2-(2-3)=0,
解得tan α2=1或tan α2=2-3,
因为α∈0,π2,所以α2∈0,π4,
所以tanα2≠1,所以tanα2=2-3.
故tan β=3-3-tanα2=3-3-(2-3)=1,
因为β∈0,π2,所以β=π4,
所以α=2π3-2×π4=π6,
所以α-β=π6-π4=2π12-3π12=-π12.
解析 (1)f(x)=cs2x-π3+2sinx-π4csx-π4=cs2x-π3+sin2x-π2=
12cs 2x+32sin 2x-cs 2x=32sin 2x-12cs 2x=sin2x-π6,
∵f(x)≥a恒成立,∴只需f(x)min≥a即可.
根据函数思想理解恒成立问题.
∵x∈-π12,π2,
∴2x-π6∈-π3,5π6,
∴当2x-π6=-π3,即x=-π12时,f(x)有最小值-32,∴a≤-32.
(2)令f(x)=t,t∈-32,1,
φ(t)=t2+2mt+2m+1=(t+m)2-m2+2m+1,
当-m≤-32,即m≥32时,h(m)=φ-32=(2-3)m+74;
当-32<-m≤1,即-1≤m<32时,h(m)=φ(-m)=-m2+2m+1;
当-m>1,即m<-1时,h(m)=φ(1)=4m+2.
构造二次函数,讨论其在给定区间上的最值.
综上,h(m)=4m+2,m<−1,-m2+2m+1,−1≤m<32,(2-3)m+74,m≥32.
思想方法 函数与方程思想在三角恒等变换中的应用主要体现在利用三角恒等变换求值时,通过列与其相关的方程求解,也体现在利用三角恒等变换化简三角函数解析式,从而研究三角函数的图象与性质.