高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法综合训练题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法综合训练题，共8页。试卷主要包含了3综合拔高练等内容，欢迎下载使用。

五年高考练
考点1 用数学归纳法证明不等式
1.(2019浙江,20,15分,)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=an2bn,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2n,n∈N*.
考点2 归纳—猜想—证明
2.(湖北高考,22(2),4分,)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n1+1nnan(n∈N*),e为自然对数的底数.计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1·b2·…·bna1·a2·…·an的公式,并给出证明.
三年模拟练
1.(2019东北育才学校高二期中,)用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是 ( )
A.16(42k-1+3k+1)-13×3k+1
B.4×42k+9×3k
C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1
D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
2.(2019辽宁沈阳铁路实验中学高二期中,)设Sk=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k,则Sk+1=( )
A.Sk+12(k+1) B.Sk+12k+1+12(k+1)
C.Sk+12k+1-12(k+1)D.Sk+12(k+1)-12k+1
3.(2020上海静安高三下质检,)设无穷数列{an}的每一项均为正数,对于给定的正整数k,bn=an·an+k(n∈N*),若{bn}是等比数列,则称{an}为B(k)数列.
(1)求证:若{an}是无穷等比数列,则{an}是B(k)数列;
(2)请你写出一个不是等比数列的B(1)数列的通项公式;
(3)设{an}为B(1)数列,且满足a22=a1·a3,请用数学归纳法证明:{an}是等比数列.
答案全解全析
五年高考练
1.解析 (1)设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2,
从而an=2n-2,n∈N*,
所以Sn=n2-n,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得
(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),
解得bn=1d(Sn+12-SnSn+2),
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)证明:(证法一)cn=an2bn=2n-22n(n+1)=n-1n(n+1),n∈N*.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设n=k(k∈N*)时不等式成立,
即c1+c2+…+ck<2k,
那么当n=k+1时,c1+c2+…+ck+ck+1<2k+k(k+1)(k+2)<2k+1k+1<2k+2k+1+k=2k+2(k+1-k)=2k+1,即当n=k+1时不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2n对任意n∈N*成立.
(证法二)cn=an2bn=2n-22n(n+1)=n-1n(n+1),n∈N*.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设n=k(k∈N*)时不等式成立,
即c1+c2+c3+…+ck<2k,
那么当n=k+1时,只需证明c1+c2+…+ck+ck+1<2k+1,
即证2k+k(k+1)(k+2)<2k+1,
即证k(k+1)(k+2)<2(k+1-k)=2k+1+k.
因为(k+1)(k+2)>k(k+1),
所以k(k+1)(k+2)<1k+1,
又1k+1<2k+1+k,
所以k(k+1)(k+2)<2k+1+k,
即当n=k+1时,不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2n对任意n∈N*成立.
2.解析 b1a1=1×1+111=1+1=2;
b1b2a1a2=b1a1·b2a2=2×2×1+122=32;
b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2·b3a3=32×3×1+133=43.
由此推测:b1·b2·…·bna1·a2·…·an=(n+1)n(n∈N*).
用数学归纳法证明该等式成立:
①当n=1时,左边=右边=2,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即b1·b2·…·bka1·a2·…·ak=(k+1)k,
当n=k+1时,bk+1=(k+1)1+1k+1k+1ak+1,由归纳假设可得,
b1·b2·…·bk·bk+1a1·a2·…·ak·ak+1=b1·b2·…·bka1·a2·…·ak·bk+1ak+1=(k+1)k(k+1)1+1k+1k+1=[(k+1)+1]k+1.
所以当n=k+1时,等式也成立.
根据①②可知b1·b2·…·bna1·a2·…·an=(n+1)n对一切n∈N*都成立.
三年模拟练
1.A 假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即42k-1+3k+1能被13整除,当n=k+1时,42k+1+3k+2=16×42k-1+3×3k+1=16(42k-1+3k+1)-13×3k+1,故选A.
2.C 由题意将k替换为k+1,据此可得,
Sk+1=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+12(k+1)
=1k+2+1k+3+1k+4+…+12(k+1)
=1k+2+1k+3+1k+4+…+12k+12k+1+12(k+1)
=1k+1+1k+2+1k+3+1k+4+…+12k+12k+1+12(k+1)-1k+1
=1k+1+1k+2+1k+3+1k+4+…+12k+12k+1-12(k+1)
=Sk+12k+1-12(k+1).
3.解析 (1)证明:设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,对于给定的正整数k,bn=an·an+k(n∈N*),∴bn+1=an+1·an+1+k,∴bn+1bn=an+1·an+1+kan·an+k=q2>0,
又b1=a1·a1+k>0,∴{bn}是以a1a1+k为首项,q2为公比的等比数列,
∴{an}为B(k)数列.
(2)an=a1qk-1,n=2k-1,a2qk-1,n=2k(a22≠a12q,k∈N*)或an=1,n=2k-1,2,n=2k(k∈N*).(答案不唯一)
(3)∵{an}为B(1)数列,∴{bn}是等比数列,其中bn=an·an+1(n∈N*),
∴bn+1bn=an+1·an+2an·an+1=an+2an(n∈N*),
∴an+2an(n∈N*)是常数列,设常数为m2,即an+2an=m2(n∈N*).
以下用数学归纳法证明:
证法一:要证{an}是等比数列,即证an+12=an·an+2(n∈N*),
①由已知a22=a1·a3可得:当n=1时命题成立;
②假设n=k-1(n∈N*,k≥2)时命题成立,即ak2=ak-1·ak+1,
∴当n=k时,由an+2an(n∈N*)是常数列,
得ak+2ak=ak+1ak-1(n∈N*,k≥2),
∴ak·ak+2=ak2·ak+2ak=ak2·ak+1ak-1=ak-1·ak+1·ak+1ak-1=ak+12,
等式也成立.
由①和②知,an+12=an·an+2对任意n∈N*都成立,即{an}是等比数列.
证法二:令cn=an+1an=m(n∈N*),
①∵a22=a1·a3,∴a3a2=a2a1,∴a3a1=a2a12=m2,
∵无穷数列{an}的每一项均为正数,∴a2a1=m,即c1=m,∴当n=1时命题成立;
②假设n=k(k∈N*)时命题成立,
即ck=ak+1ak=m,
∴当n=k+1时,ck+1=ak+2ak+1=ak+2ak·akak+1=m2·1m=m,
等式也成立.
由①和②可知,cn=m对任意n∈N*都成立,即{an}是等比数列.用数学归纳法证明不等式的四个注意点:
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
“归纳—猜想—证明”的一般步骤: