人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试课时练习

这是一份人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试课时练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设在一次试验中事件A出现的概率为p,在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk,则( )
A.p1+p2+…+pn=1B.p0+p1+p2+…+pn=1
C.p0+p1+p2+…+pn=0D.p1+p2+…+pn=0
2.抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能取值为( )
A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
3.甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教育咨询、交通宣传、文娱活动五个项目,每人限报其中一项且报各个项目的概率均相同,记事件A为“5名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则P(A|B)=( )
A.332B.532C.29D.59
4.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为1、2、3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人租车费用相同的概率为( )
B.0.3
5.在2020年高中学生信息技术测试中,经统计,某校高二学生的测试成绩X服从正态分布N(86,σ2),若已知P(806.下表为离散型随机变量X的概率分布列,则P[X≥D(X)]=( )
A.910B.45C.710D.25
7.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的7个问题中,选手若能连续正确回答2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.7,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率等于( )
8.三百六十行,行行出状元.假设甲、乙、丙三人中,每一人在三百六十行的每个行业中胜过孔圣人的概率均为1%,那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一个行业中胜过孔圣人的概率为( )
(参考数据:0.99360≈0.03,0.01360≈0,0.973=0.912673)
%%
C.0%
9.已知n是一个三位正整数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为三位递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成三位正整数”,事件B为“由a,b,c组成三位递增数”,则P(B|A)=( )
A.35B.110C.225D.1225
10.已知随机变量ξ的分布列如下,则D(ξ)的取值范围是( )
A.0,34B.(0,3]
C.34,32D.34,3
11.已知随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>12)=m,P(8≤X≤10)=n,且m,n均大于0,则1m+2n的最小值为( )
A.3+42B.6+22
C.3+22D.6+42
12.现有一条零件生产线,其生产的每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若D(X)=8,P(X=20)B.0.2
C.0.8
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.甲、乙两人玩一个游戏,在一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球,两人有放回地依次交替在袋子中随机摸出一个球,每次摸球摸到白球甲获胜,否则乙胜.两人玩了10次游戏,乙获胜的次数为随机变量X,则随机变量X的方差D(X)= .
14.已知随机变量ξ~B(6,p),且E(ξ)=2,则D(3ξ+2)= .
15.下列命题中,正确命题的序号为 .
①已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=23;
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变;
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=12-p;
④某人在10次射击中,击中目标的次数为X,且X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大.
16.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率是 (用数字作答).
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)某单位有8名青年志愿者,其中男青年志愿者有5名,分别记为a1,a2,a3,a4,a5,女青年志愿者有3名,分别记为b1,b2,b3.现从这8名志愿者中选4名参加某项公益活动.
(1)求男青年志愿者a1或女青年志愿者b1被选中的概率;
(2)求在男青年志愿者a1被选中的情况下,女青年志愿者b1也被选中的概率.
18.(本小题满分12分)某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想,扶贫工作小组经过多方调研,综合该地区的气候、地质、地理位置等特点,决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A,B,C三种景观树苗,经引种试验后发现,引种树苗A的自然成活率为0.8,引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.
(1)若引种树苗A,B,C各一棵,求至少自然成活2棵的概率;
(2)已知引种一棵树苗B需花费100元,引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理,每棵需花费50元,处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期(成活后至长成可出售的小树)的培养过程中每棵均需再花费200元,记引种一棵树苗B的总花费为X元,求随机变量X的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒,其中只有A到过疫区.
(1)如果B、C、D受到A感染的概率均为12,那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少?
(2)若B肯定受A感染,对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是12,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是13,在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量,求随机变量X的均值和方差.
20.(本小题满分12分)医院为筛查某种疾病,需要血检,现有n(n∈N*)份血液样本,有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,把每个人的血样分成两份,取k(k≥2)个人的血样各一份混在一起进行检验,如果结果是阴性,那么对这k个人只做一次检验就够了;如果结果是阳性,那么再对这k个人的另一份血样逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.
(1)假设有6份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验的方式,求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;
(2)假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0①运用概率统计的知识,若E(X1)=E(X2),试求p关于k的函数关系式p=f(k);
②若p=1-e-15,且采用混合检验方式需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的期望值更少,求k的最大值.
参考数据:ln11≈2.3979,ln12≈2.4849,ln13≈2.5649.
21.(本小题满分12分)2021年,广东省将实施新高考,2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用3+1+2模式,其中“3”是指语文、数学、外语;“1”是指在物理和历史中必选一科(且只能选一科);“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科.为积极推进新高考,某中学将选科分为两个环节,第一环节:学生在物理和历史两科中选择一科;第二环节:学生在化学、生物、政治、地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向,随机选取50名学生进行了一次调查,这50名学生中第一环节的选考科目都已确定,其中有32名选物理,18名选历史;第二环节的选考科目已确定的有30名,待确定的有20名,具体调查结果如下表:
(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少名?
(2)从选考方案确定的12名历史选考学生中随机选出2名,设随机变量X=0,2名学生选考方案不同,1,2名学生选考方案相同,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)在选考方案确定的18名物理选考学生中,有11名学生选考方案为物理、化学、生物,求剩余7名学生中选考方案为物理、政治、地理的人数.(只需写出结果)
22.(本小题满分12分)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了制订提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图估计这50位农民的年平均收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入x,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布解决下列问题:
(i)在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制订的最低年收入标准,则最低年收入标准大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中年收入大于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:6.92≈2.63,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ本章达标检测
一、选择题
1.B 记在n次独立重复试验中事件A出现的次数为ξ.由题意可知ξ~B(n,p),由分布列的性质可知∑k=0npk=1.故选B.
2.D 第一枚骰子点数的最小值为1,第二枚骰子点数的最大值为6,差为-5.第一枚骰子点数的最大值为6,第二枚骰子点数的最小值为1,差为5.故ξ的取值范围是
-5≤ξ≤5,ξ∈Z,故选D.
3.A 由已知得P(B)=4455,P(AB)=A4455,
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=A44554455=A4444=332,故选A.
4.B 由题意可得甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4,
∴甲、乙两人租车费用相同的概率P=0.5×0.2+0.2×0.4+0.3×0.4=0.3.故选B.
5.D 因为X~N(86,σ2),P(80所以P(X>92)=1-P(806.A 由题意得E(X)=0×110+1×15+2×310+3×25=2,
D(X)=(0-2)2×110+(1-2)2×15+(2-2)2×310+(3-2)2×25=1,
故P[X≥D(X)]=1-110=910.故选A.
7.A 由题意知该选手第一和第二个问题一对一错,第三个问题错,第四和第五个问题全对,或前3题全错,第4和第5个问题全对,则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率P=C21×0.7×0.3×0.3×0.72+0.33×0.72=0.07497.故选A.
8.答案 B
信息提取 ①每一人在三百六十行的每个行业中胜过孔圣人的概率均为1%;②求甲、乙、丙三人中至少一人在至少一个行业中胜过孔圣人的概率.
数学建模 以“三百六十行,行行出状元”为情境构建独立重复试验的函数模型,采用正难则反的方法,先求出三个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率,再用1减去此概率即为所求.
解析 一个人三百六十行全都不能胜过孔圣人的概率为0.99360≈0.03,三个人三百六十行都不能胜过孔圣人的概率为0.033=0.000027,所以甲、乙、丙三人中至少一人在至少一个行业中胜过孔圣人的概率为1-0.000027=0.999973=99.9973%.故选B.
9.B 因为a,b,c∈{0,1,2,3,4},
所以由a,b,c组成的三位正整数有4×5×5=100(个),即n(A)=100,
其中满足递增数的有以下三类:
①当百位数字为2时,有1个,
②当百位数字为3时,有C32=3个,
③当百位数字为4时,有C42=6个,
所以n(AB)=1+3+6=10(个),
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=10100=110,故选B.
10.D 由分布列可知
14+12-a+14+b=1,12-a≥0,14+b≥0,
解得a=b,-14≤a≤12,
E(ξ)=2×14-2×14+b=-2b,
D(ξ)=(2+2b)2×14+(0+2b)2×12-a+(-2+2b)2×14+b
=-4a2+4a+2,
其图象的对称轴为直线a=12,则D(ξ)在-14,12上单调递增,
当a=-14时,D(ξ)=34,
当a=12时,D(ξ)=3,
所以34≤D(ξ)≤3,故选D.
11.D 由于X~N(10,σ2),故由正态曲线的对称性可知,P(X>12)=P(X<8)=m,
所以P(X<8)+P(8≤X≤10)=12,即m+n=12,∴2m+2n=1,且m,n均大于0,
由不等式的性质可得1m+2n=1m+2n(2m+2n)=4mn+2nm+6≥24mn·2nm+6=42+6,
当且仅当4mn=2nm,即n=2m=1-22时,等号成立,
故1m+2n的最小值为6+42,故选D.
12.C 由题意可得X~B(50,p)
∵P(X=20)0.5,
又D(X)=8=50p(1-p),解得p=0.2或p=0.8,∴p=0.8,故选C.
二、填空题
13.答案 125
解析 根据题意可知X~B10,25,所以D(X)=10×25×35=125.
14.答案 12
解析 因为E(ξ)=6p=2,所以p=13,又因为D(ξ)=6×13×23=43,所以D(3ξ+2)=9D(ξ)=12.
15.答案 ②③④
解析 根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13,所以①错误;
根据数据方差的计算公式可知,将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变,所以②正确;
由正态分布的图象的对称性可得P(-1<ξ≤0)=1-2P(ξ>1)2=1-2p2=12-p,所以③正确;
在10次射击中,击中目标的次数X~B(10,0.8),
所以P(X=k)=C10k0.8k(1-0.8)10-k=C10k·,其中k=0,1,2,…,10.
当1≤k≤10,k∈N时,P(X=k)P(X=k-1)=+1=4(11-k)k,
由P(X=k)P(X=k-1)≥1,即4(11-k)k≥1得1≤k≤445,
所以当k=8时,P(X)取得最大值.故④正确.
所以正确命题的序号为②③④.
16.答案 625
解析 由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式an=10-2n(n=1,2,…,10).
由题意知,三次取数相当于进行了三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为25,取得负数的概率为12,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C32252121=625.
三、解答题
17.解析 (1)设“男青年志愿者a1和女青年志愿者b1都不被选中”为事件C,则P(C)=C64C84=314,(3分)
所以所求概率P=1-P(C)=1-314=1114.(5分)
(2)记“男青年志愿者a1被选中”为事件A,“女青年志愿者b1被选中”为事件B,
所以P(A)=C73C84=12,P(AB)=C62C84=314,(8分)
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=37.
所以在男青年志愿者a1被选中的情况下,女青年志愿者b1也被选中的概率为37.(10分)
18.解析 (1)设事件D为引种树苗A,B,C各一棵,至少自然成活2棵,
则P(D)=0.8×0.75×0.25×2+0.2×0.75×0.75+0.8×0.75×0.75=0.8625.(4分)
(2)X的所有可能取值为100,150,300,350.
则P(X=100)=(1-0.75)×0.2=0.05,
P(X=150)=(1-0.75)×0.8×0.2=0.04,
P(X=300)=0.75,
P(X=350)=(1-0.75)×0.8×0.8=0.16.(8分)
所以X的分布列为
(10分)
E(X)=100×0.05+150×0.04+300×0.75+350×0.16=292.(12分)
19.解析 (1)概率P=C311211-122=38.(3分)
(2)根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=12×23=13,
P(X=2)=12×23+12×13=12,
P(X=3)=12×13=16.(6分)
故X的分布列为
所以E(X)=1×13+2×12+3×16=116,(10分)
所以D(X)=1-1162×13+2-1162×12+3-1162×16=1736.(12分)
20.解析 (1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则P(A)=C21C41A22A63=215.(2分)
(2)①X1的取值为k,P(X1=k)=1,
所以E(X1)=k,
X2的所有可能取值为1,k+1,
P(X2=1)=(1-p)k,
P(X2=k+1)=1-(1-p)k,
所以E(X2)=(1-p)k+(k+1)[1-(1-p)k]=k+1-k(1-p)k,(6分)
由E(X1)=E(X2),得k=k+1-k(1-p)k,
所以p=1-1k1k(k∈N*,k≥2).(7分)
②因为p=1-e-15,所以E(X2)=k+1-ke-k5,所以k+1-ke-k50.
设f(x)=lnx-x5,则f'(x)=1x-15=5-x5x,x>0,(10分)
当x∈(0,5)时,f'(x)>0,f(x)在(0,5)上单调递增;
当x∈(5,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(5,+∞)上单调递减.
f(12)=ln12-2.4>0,f(13)=ln13-2.6<0,
所以k的最大值为12.(12分)
21.解析 (1)由题表可知,选考方案确定的18名物理选考学生中确定选考政治的有5人,选考方案确定的12名历史选考学生中确定选考政治的有4名,
所以估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有1000×3050×4+530=180(名).(4分)
(2)由题表可知,选考方案确定的12名历史选考学生中有3名选考化学、地理;有5名选考生物、地理;有4名选考政治、地理.
由已知得X的所有可能取值为0,1,则
P(X=0)=C31C51+C31C41+C41C51C122=15+12+2066=4766,
P(X=1)=C32+C52+C42C122=3+10+666=1966.(6分)
所以X的分布列为
(8分)
其数学期望E(X)=0×4766+1×1966=1966.(10分)
(3)剩余7名学生中选考方案为物理、政治、地理的人数为2.(12分)
22.解析 (1)x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元),故估计这50位农民的年平均收入x为17.40千元.(3分)
(2)由题意知X~N(17.40,6.92).
(i)P(X>μ-σ)≈12+0.68272≈0.8414,
所以μ-σ≈17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入标准大约为14.77千元.(6分)
(ii)由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)≈12+0.95452≈0.9773,
可知每位农民的年收入大于12.14千元的概率约为0.9773,
记这1000位农民中年收入大于12.14千元的人数为Y,
则Y~B(1000,p),其中p=0.9773,(8分)
于是恰好有k(k∈N*)位农民的年收入大于12.14千元的概率为P(Y=k)=C103kpk(1-p)103-k,
从而由P(Y=k)P(Y=k-1)=(1001-k)×pk×(1-p)>1,
得k<1001p,而1001p=978.2773,
所以当1≤k≤978且k∈N*时,P(Y=k-1)当979≤k≤1000且k∈N*时,P(Y=k-1)>P(Y=k),
由此可知,在所走访的1000位农民中,年收入大于12.14千元的人数最有可能是978.
(12分)
X
0
1
2
3
P
110
15
310
25
ξ
2
0
-2
P
14
12-a
14+b
选考方案确定情况
化学
生物
政治
地理
物理
选考方案确定的有18名
16
11
5
4
选考方案待确定的有14名
5
5
0
0
历史
选考方案确定的有12名
3
5
4
12
选考方案待确定的有6名
0
0
3
2
1.B
2.D
3.A
4.B
5.D
6.A
7.A
8.B
9.B
10.D
11.D
12.C
X
100
150
300
350
P
0.05
0.04
0.75
0.16
X
1
2
3
P
13
12
16
X
0
1
P
4766
1966