数学人教版新课标A2.2直接证明与间接证明达标测试

这是一份数学人教版新课标A2.2直接证明与间接证明达标测试，共6页。试卷主要包含了2　直接证明与间接证明，伟大的数学家高斯说过，已知a,b,c均为正实数等内容，欢迎下载使用。

2.2.1综合拔高练
五年高考练
考点1 综合法的应用
1.(2016天津,18,13分,)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.
(1)设cn=bn+12-bn2,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;
(2)设a1=d,Tn=∑k=12n(-1)kbk2,n∈N*,求证:∑k=1n1Tk<12d2.
考点2 分析法的应用
2.(2016课标全国Ⅱ,24改编,10分,)已知a、b∈(-1,1),求证:|a+b|<|1+ab|.
三年模拟练

1.()若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则( )
A.f(x)=g(x)
B.f(x)>g(x)
C.f(x)D.f(x),g(x)的大小与x的取值有关
2.()命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),那么数列{an}一定是等差数列”( )
A.不成立 B.成立
C.不能判断 D.不一定成立
3.()分析法又称执果索因法,在证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”中,索的因应是 ( )
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-c)(a-b)>0D.(a-c)(a-b)<0
4.(2019江西南昌七校期末联考,)伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形,按以下步骤给出了不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)·(c2+d2)的一种“图形证明”.
证明思路:
(1)图1中白色区域的面积等于图2中白色区域的面积;
(2)图1中阴影区域的面积为ac+bd,图2中,设∠BAD=θ,则图2中阴影区域的面积可表示为 (用含a,b,c,d,θ 的式子表示);
(3)由图中阴影区域的面积相等,即可导出不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).当且仅当a,b,c,d满足条件 时,等号成立.
5.(2019安徽马鞍山二中高二期中,)已知a,b,c均为正实数.
(1)用分析法证明:a+b2≤a2+b22;
(2)用综合法证明:若abc=1,则(a+1)(b+1)(c+1)≥8.
答案全解全析
五年高考练
1.证明 (1)由题意得bn2=anan+1(n∈N*),则cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d·(an+2-an+1)=2d2,所以数列{cn}是等差数列.
(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+…+a2n)=2d·n(a2+a2n)2=2d2n(n+1),
所以∑k=1n1Tk=12d2∑k=1n1k(k+1)=12d2∑k=1n1k-1k+1=12d2·1-1n+1<12d2.
2.证明 要证|a+b|<|1+ab|,
只需证(a+b)2<(1+ab)2,即证a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,即证(a2-1)(b2-1)>0.
∵-1∴a2-1<0,b2-1<0,∴(a2-1)(b2-1)>0,
∴|a+b|<|1+ab|成立.
三年模拟练
1.B 由题意结合函数的解析式有f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).
2.B ∵Sn=2n2-3n(n∈N*),
∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2,n∈N*),
∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n≥2,n∈N*),
又n=1时,a1=S1=-1,符合上式,
∴an=4n-5(n∈N*),
∴an+1-an=4,
∴数列{an}是等差数列.
3.C 由题意知b2-ac<3a⇐b2-ac<3a2⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.
4.答案 (2)a2+b2·c2+d2·sin θ (3)ad=bc
解析 (2)连结BD,根据勾股定理,可得AB=CD=c2+d2,AD=BC=a2+b2,所以△ABD≌△CDB,所以S△ABD=S△CDB=12·a2+b2·c2+d2·sin θ,可得题中图2阴影部分的面积是S△ABD+S△CDB=a2+b2·c2+d2·sin θ.
(3)由(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)可得a2c2+2acbd+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即a2d2-2acbd+b2c2=(ad-bc)2=0,所以ad=bc,所以当且仅当a,b,c,d满足条件ad=bc时,等号成立.
5.证明 (1)因为a,b均为正实数,所以a+b2>0.
要证a+b2≤a2+b22,
即证a+b22≤a2+b22,
即证(a+b)2≤2(a2+b2),
即证a2+b2-2ab≥0,
即证(a-b)2≥0.
因为不等式(a-b)2≥0显然成立,
所以原不等式成立.
(2)因为a,b,c均为正实数,所以由基本不等式,得a+1≥2a,b+1≥2b,c+1≥2c,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,所以(a+1)(b+1)(c+1)≥8abc,
因为abc=1,所以(a+1)(b+1)(c+1)≥8.
分析法证明不等式的依据及思路:
(1)依据:不等式的基本性质、重要不等式和基本不等式等;
(2)思路:从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.