高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试习题，共17页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
易错点1 对空间向量的相关概念理解不清
1.(2020江西抚州临川一中高二上月考,)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2AB·CA B.2AC·FG
C.2AD·DC D.2EF·DB
2.()已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则向量a与b之间的夹角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
3.()空间中的三个向量若有两个向量共线,则这三个向量 共面.(填“一定”或“不一定”)
4.(2020海南海口海南中学高二上期中,)若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为 .
易错点2 忽略向量中的特殊情况
5.(2020湖南长沙长郡中学高二上检测,)下列命题正确的是( )
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a、b、c共面,即它们所在的直线共面
C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
D.零向量是模为0,方向任意的向量
6.(2020湖南师范大学附属中学高二期末,)已知a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
易错点3 混淆向量夹角范围与空间角范围
7.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB与向量C1A1的夹角是( )
A.150° B.135° C.45° D.30°
8.(2020天津武清高三上期中,)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值.
易错点4 不能正确地建立空间直角坐标系解决立体几何问题
9.(2020山东泰安高二期末,)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.
(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;
(2)求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值.
思想方法练
一、函数与方程思想在立体几何中的应用
1.(2020安徽芜湖高二期末,)已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是( )
A.6 B.342
C.3 D.172
2.(2020北京石景山高二期末,)如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAE;
(2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出BHBG的值;若不存在,说明理由.
二、转化与化归思想在立体几何中的应用
3.(2019云南师大附中高三月考,)如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.取AD的中点F,连接BF,CF,EF,BE,如图②.
(1)求证:BC⊥平面DEC;
(2)求二面角C-BF-E的余弦值.
三、数形结合思想在立体几何中的应用
4.(2020北京东城高三一模,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,AB=AC=1,PD=1.
(1)求证:AD∥平面PBC;
(2)求二面角D-PC-B的余弦值.
答案全解全析
易混易错练
1.B 由题意易得AB与CA、AD与DC的夹角均为π-π3=2π3,EF与DB的夹角为π,AC与FG的夹角为0,故2AB·CA=-a2,2AD·DC=-a2,2EF·DB=-a2,2AC·FG=a2,故选B.
2.D ∵a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,
∴这三个向量首尾相连组成△ABC.
令AB=c,CA=b,BC=a,
则BC=2,CA=3,AB=4.
由余弦定理,得cs∠BCA=BC2+CA2-AB22BC·CA=22+32-422×2×3=-14,
又向量BC和CA首尾相连,
∴这两个向量的夹角是180°-∠BCA,
∴cs=14,
即向量a与b之间的夹角不是特殊角.
故选D.
易错警示
由于向量具有方向,因此其夹角的概念不同于两直线夹角的概念.如向量BC和CA的夹角不是∠BCA,而是180°-∠BCA.
3.答案 一定
解析 空间向量均是自由向量,若三个向量中的两个向量共线,则三个向量一定能平移到同一平面内,所以这三个向量一定共面.
4.答案 AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE
解析 由AB=λCD+μCE(λ,μ∈R)及共面向量定理可知向量AB与向量CD、CE共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
易错警示
在解题时易忽略空间向量是自由向量而弄错向量与平面的位置关系.
5.D 由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错;向量共面时,它们所在的直线不一定共面,B错;共线向量定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,C错;D显然正确.
易错警示
本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为A、C正确.
6.解析 由已知得a·b=5×(-2)+3t-25=3t-525.
因为a与b的夹角为钝角,所以a·b