高中数学人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试练习，共27页。试卷主要包含了如图,圆E，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.()在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-13,则动点P的轨迹方程为 .
2.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.(2020陕西西安铁一中检测,)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
4.()已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
5.()若动点P到定点F(1,1)的距离与到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
易错点3 忽略椭圆或双曲线的焦点位置而致错
6.(2020重庆质检,)已知椭圆的标准方程为x225+y2m2=1(m>0),焦距为6,则实数m的值为 .
7.()已知双曲线x2m+2-y2m+1=1的离心率为72,则m= .
易错点4 忽视判别式对参数的限制而致错
8.(2020山西大同学情调研,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率e=63.
(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程;
(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中所求的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上的截距的范围;若不存在,请说明理由.
易错点5 忽视直线的斜率不存在的情况而致错
9.(2020江西红色七校第二次联考,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,且椭圆过点63,63.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A为椭圆C的下顶点,D,E为椭圆C上与A不重合的两点,若直线AD与直线AE的斜率之和为2,试判断是否存在定点G,使得直线DE恒过定点G,若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.(2020陕西西安高三月考,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )
A.外切或外离 B.相交或内切
C.内含或外离 D.内切或外切
2.(2020福建厦门外国语学校高三月考,)点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-2的距离的和的最小值是( )
A.5 B.2
C.2-1 D.2+1
3.()设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
4.()若点O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为( )
A.[3-23,+∞) B.[3+23,+∞)
C.-74,+∞ D.74,+∞
5.(2020北京东城高三一模,)设O为坐标原点,点A(1,0),动点P在抛物线y2=2x上,且位于第一象限,M是线段PA的中点,则直线OM的斜率的范围为( )
A.(0,1] B.0,22
C.0,22 D.22,+∞
6.(2020湖北黄冈黄州第一中学高二月考,)双曲线C的渐近线方程为y=±33x,一个焦点为F(0,-8),则该双曲线的标准方程为 .
7.(2020山东济南历城二中高二期中,)已知点F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=π2.若△PF1F2的面积为9,则b= .
8.(2020安徽阜阳高二期末,)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A,设离心率为e,且满足1|OF|+1|OA|=3e|AF|,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(0,1)的直线l与椭圆C交于M,N两点,求△OMN面积的最大值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
9.(2020福建莆田高三一模,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为C上一点,且|AF|=5,O为坐标原点,则△OAF的面积为( )
A.2 B.5 C.23 D.4
10.(2020山东滨州博兴第三中学高三月考,)已知水平地面上有一半径为4的球,球心为O',在平行光线的照射下,其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图,椭圆中心为O,球与地面的接触点为E,OE=3,若光线与地面所成角为θ,则sin θ= ,椭圆的离心率e= .
11.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
12.(2020湖北荆州高二期末,)已知O是坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,点M在椭圆上运动,当∠F1MF2=120°时,△MF1F2的面积取得最大值23.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:x=2与椭圆C在第一象限交于点N,过N作两条关于直线l对称的直线l1,l2,分别交椭圆于不同于N的两点A,B.求证:ON∥AB.
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
13.()已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点之间的距离为4,则实数n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)
14.()已知三个数1,a,9成等比数列,则曲线x2a+y22=1的离心率为( )
A.5 B.33
C.5或102 D.33或102
15.(2020山东烟台高二期末,)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)短轴长等于23,离心率等于12的椭圆;
(2)与椭圆x216+y225=1共焦点,且过点(4,5)的双曲线.
16.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
答案全解全析
易混易错练
1.答案 x2+3y2=4(x≠±1)
解析 因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),易知直线AP与BP的斜率均存在,所以x≠±1.由题意得y-1x+1·y+1x-1=-13,化简得x2+3y2=4(x≠±1).
此处易忽略x≠±1.
2.解析 由已知,得圆E的半径为2.设圆P的半径为R,则|PF|=|PM|=R,|ME|=2,
|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.
又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支.
易知a=1,c=2,所以b=3,
故所求轨迹方程为x2-y23=1(x≤-1).
此处易忽略x≤-1.
易错警示
求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件作出补充;“去点”是指求轨迹方程时,一些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
3.D 虽然动点M到两个定点F1,F2的距离之和为常数8,但由于这个常数等于|F1F2|,故动点M的轨迹是线段F1F2.
易错警示
用椭圆的定义求轨迹方程时容易忽略“常数大于|F1F2|”这一条件而致误,因此在做此类题目时,如果看到动点到两定点的距离之和是常数,那么要先判断常数与两定点间的距离的大小关系再求解.
4.D 依题意得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6<|F1F2|,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.
易错警示
在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能正确解题.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)时,点P的轨迹是双曲线,其中取正号时对应双曲线的右支,取负号时对应双曲线的左支;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|(a>0)时,点P的轨迹是分别以点F1,F2为端点的两条射线;当||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,点P的轨迹不存在.
5.D 设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得(x-1)2+(y-1)2=|3x+y-4|10,化简并整理,得x-3y+2=0.所以动点P的轨迹为直线.
易错警示
抛物线的定义中要求定点在定直线外,当题中已知条件只说明动点P到定点F的距离与其到定直线l的距离相等时,不能盲目套用抛物线的定义,需从已知条件出发,正确列式求解.
6.答案 4或34
解析 由题意知2c=6,∴c=3.
当椭圆的焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知a2=25,b2=m2.由a2=b2+c2,得25=m2+9,∴m2=16,又m>0,故m=4.
当椭圆的焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知a2=m2,b2=25.由a2=b2+c2,得m2=25+9=34,又m>0,故m=34.
综上可知,实数m的值为4或34.
7.答案 2或-5
解析 当双曲线的焦点在x轴上时,a2=m+2,b2=m+1,可得c2=a2+b2=3+2m,又双曲线的离心率为72,所以3+2mm+2=74,所以m=2.
当双曲线的焦点在y轴上时,a2=-m-1,b2=-m-2,可得c2=a2+b2=-3-2m,又双曲线的离心率为72,所以-3-2m-m-1=74,所以m=-5.
综上,m=2或m=-5.
易错警示
涉及圆锥曲线的标准方程的问题,如果没有明确指出圆锥曲线焦点的位置,一般要分情况进行讨论,不能想当然地认为焦点在x轴上或y轴上.
8.解析 (1)因为e=63,所以b2a2=13,即a=3b,所以椭圆的方程可化为x23b2+y2b2=1.
由y=x+2,x23b2+y2b2=1,消去y并整理,得4x2+12x+12-3b2=0.
由Δ=122-16(12-3b2)≥0,解得b2≥1,即b≥1.
所以|EF1|+|EF2|=2a=23b≥23,当且仅当b=1时,|EF1|+|EF2|取得最小值23,此时椭圆的方程为x23+y2=1.
(2)设直线l在y轴上的截距为t,则直线l的方程为y=kx+t.
由y=kx+t,x23+y2=1,消去y并整理,
得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.
因为直线l与椭圆交于不同的两点,所以Δ=(6kt)2-12(t2-1)(1+3k2)>0,即t2<1+3k2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q,
则x1+x2=-6kt1+3k2,x1x2=3t2-31+3k2,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t1+3k2,
所以Q-3kt1+3k2,t1+3k2.
当k≠0时,t1+3k2-1-3kt1+3k2=-1k,化简得1+3k2=-2t,代入t2<1+3k2,得-21,则t<-12,所以-2当k=0时,-1综上可知,当k≠0时,直线l在y轴上的截距的范围为-2,-12;当k=0时,直线l在y轴上的截距的范围为(-1,1).
易错警示
在直线和圆锥曲线的位置关系问题中,有一类是利用直线与圆锥曲线相交去探求参数的取值范围问题,如本题(2),因为直线y=kx+t与椭圆有两个交点,所以在求解过程中,将直线的方程与椭圆的方程联立得到一元二次方程后,需要由Δ>0这个条件来制约参数k,t之间的关系.
9.解析 (1)由椭圆C的离心率e=22,得a2-b2a=22,即a2=2b2.
因为点63,63在椭圆C上,所以23a2+23b2=1.
由a2=2b2,23a2+23b2=1,解得a2=2,b2=1,
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由(1)知A(0,-1).
当直线DE的斜率存在时,设直线DE的方程为y=kx+t(t≠±1).
联立y=kx+t,x22+y2=1,消去y并整理,得(1+2k2)·x2+4ktx+2t2-2=0,
则Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,即t2-2k2<1.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.
因为直线AD与直线AE的斜率之和为2,
所以kAD+kAE=y1+1x1+y2+1x2=kx1+t+1x1+kx2+t+1x2=2k+(t+1)(x1+x2)x1x2=2k-(t+1)·4kt2t2-2=2,整理,得t=1-k,
将其代入t2-2k2<1中,解得k<-2或k>0,
所以直线DE的方程为y=kx+1-k=k(x-1)+1(k<-2或k>0),此时直线恒过定点(1,1).
当直线DE的斜率不存在时,设直线DE的方程为x=m.
所以设D(m,n),则E(m,-n),
因为直线AD与直线AE的斜率之和为2,
所以kAD+kAE=n+1m+-n+1m=2m=2,解得m=1,此时直线DE的方程为x=1,过点(1,1).
综上,存在定点G(1,1),使得直线DE恒过定点.
易错警示
一般地,解有关直线与圆锥曲线位置关系的问题时,只要题设条件没有给定直线的斜率,都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.当直线的斜率存在时,按照常规研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解;当直线的斜率不存在时,可以借助几何图形直观地去判断,并得出结论,也可设直线方程为x=m,从而进行求解.
思想方法练
1.D 设线段PF1的中点为A,|PF1|=2r.
①当P在双曲线的左支时,连接OA,PF2,如图1所示.
图1
|OA|=12|PF2|=a+r,∴两圆外切.
②当P在双曲线的右支时,连接OA,PF2,如图2所示.
图2
|OA|=12|PF2|=r-a,∴两圆内切.故选D.
先根据题中条件画出相应的图形,然后观察图形分析圆心距与两圆半径的关系,从而得出结论.
2.D 设抛物线的焦点为F.由y2=4x得焦点为F(1,0),准线为x=-1.
设过点P与直线x=-2垂直的直线交直线x=-1于点N,连接PF,AF.
根据抛物线的定义,得|PN|=|PF|,又|FA|≤|PA|+|PF|,所以P为AF与抛物线的交点时,点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离的和的值最小,为|FA|=2.
所以点P到点A(0,-1)的距离与P到直线x=-2的距离的和的最小值是2+1.故选D.
结合图形和抛物线的定义,转化距离和的最值为两点间的距离问题,利用两点间的距离公式即可求解.
3.答案 15
解析 如图所示.
由x225+y216=1,可得a=5,b=4,c=a2-b2=3,所以F1(-3,0),F2(3,0).
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以|PM|+|PF1|=|PM|+2a-|PF2|=10+(|PM|-|PF2|)≤10+|MF2|=10+32+42=15,当且仅当P、M、F2三点共线,且P、M在F2异侧时取等号.
故|PM|+|PF1|的最大值为15.
画出相应图形,结合椭圆的定义求线段差的最值.
思想方法
圆锥曲线是数形结合思想应用最广泛的载体,几乎每一个题目都体现着数形结合的数学思想,特别是椭圆、双曲线、抛物线的定义以及几何性质的应用.离心率、渐近线以及最值问题中要充分结合平面几何中三角形、四边形的有关性质求解.
4.B 因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),
所以c=2.
又c2=a2+b2,
所以4=a2+1,解得a=3.
设P(x,y),x≥3,则OP·FP=x(x+2)+y2.
因为点P在双曲线x23-y2=1上,
所以OP·FP=43x2+2x-1=43x+342-74.
把向量的数量积转化为二次函数,通过求函数的最值求解数量积的范围.
所以当x=3时,OP·FP取得最小值,为3+23,
故OP·FP的取值范围是[3+23,+∞).
5.C 设Py22,y,y>0,则My2+24,y2,所以kOM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y.
把kOM表示为关于y的函数,通过求函数的值域求kOM的范围.
因为y+2y≥22,当且仅当y=2时取等号,所以0<1y+2y≤122=24,所以kOM∈0,22.故选C.
6.答案 y216-x248=1
解析 设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
∵双曲线C的渐近线方程为y=±33x,一个焦点为F(0,-8),
∴a2b2=13,a2+b2=8,
解得a=4,b=43.
利用待定系数法,根据条件列方程组求解待定系数.
∴双曲线的标准方程为y216-x248=1.
7.答案 3
解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=2a,12mn=9,m2+n2=4c2,
先设未知数,再根据条件列方程组求解.
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9=b2,解得b=3.
8.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,则|OF|=c,又|OA|=a,
所以|AF|=a-c.
所以1c+1a=3ea-c.
又b2=3=a2-c2,
联立解得a=2,c=1.
根据条件列出相关未知数的方程.
所以椭圆C的方程是x24+y23=1.
(2)由题意知直线l的斜率存在,
设其斜率为k,那么l的方程为y=kx+1.
联立y=kx+1,x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2+8kx-8=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,
直线方程与椭圆的方程联立,利用一元二次方程根与系数的关系求解问题.
所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=462k2+11+k24k2+3.
又点O到直线l的距离d=11+k2,
所以S△OMN=12d·|MN|=262k2+14k2+3=262k2+1(4k2+3)2.
令t=4k2+3≥3,
则S△OMN=23·t-1t2=23-1t2+1t≤263,当且仅当t=3时取等号.
把△OMN的面积表示为相关未知数的函数,通过求函数的最值求解面积的最大值.
所以△OMN面积的最大值是263.
思想方法
在本章中,方程思想主要是在利用待定系数法求曲线的标准方程、离心率、参数的值以及直线与圆锥曲线的位置关系中联立方程,转化为一元二次方程的根与系数的关系中应用.函数思想主要是在求取值范围、最值中应用,往往利用配方法、基本不等式来解决.
9.A 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1.
设A=(m,n),
则|AF|=m+1=5,
利用抛物线的定义把|AF|转化为A到准线的距离.
∴m=4,∴n=±4,
∴S△AOF=12×1×4=2.
故选A.
方法总结
抛物线的定义可归结为“一动三定”,即一个动点M,一个定点F(抛物线的焦点),一条定直线l(抛物线的准线),一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1).常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的距离问题转化为该点到准线的距离问题.
10.答案 45;35
信息提取 ①球的半径为4;②投影的边缘轨迹为椭圆C;③OE=3;④光线与地面所成角为θ.
数学建模 以球的平行投影为情境,构建椭圆模型,利用椭圆模型解决问题.连接OO',由三角函数可得sin θ=O'EOO'=45.在平行光线照射过程中,椭圆的短半轴长是球的半径,椭圆的长轴长是|AC|,过A作光线的垂线,垂足是B,得到一个直角三角形,进而得到AC的长,从而得出要求的结果.解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下,投影时球的有关量中变与不变的量.
解析 如图1,连接OO',则∠O'OE=θ.因为O'E=4,OE=3,
所以OO'=O'E2+OE2=32+42=5,
所以sin θ=O'EOO'=45.
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
在照射过程中,椭圆的短半轴长是球的半径,
∴b=4.
如图2,椭圆的长轴长是|AC|,过A作光线的垂线,垂足是B.
由题意得AB=8,sin∠ACB=sin θ=45,所以sin θ=ABAC=45,所以AC=10,即2a=10,解得a=5.
所以椭圆的离心率e=ca=a2-b2a=25-165=35.
图1
图2
本题体现了转化与化归思想,立体转化为平面,圆转化为椭圆.
11.解析 (1)由题意得,b2=1,c=1,
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线AP的方程为y=y1-1x1x+1.
令y=0,得点M的横坐标xM=-x1y1-1.
又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=x1kx1+t-1.
同理,|ON|=x2kx2+t-1.
设出P、Q的坐标后,把|OM|、|ON|转化为相应的关系式.
由y=kx+t,x22+y2=1,得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.
所以|OM|·|ON|
=x1kx1+t-1·x2kx2+t-1
=x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=2t2-21+2k2k2·2 t2-21+2k2+k(t-1)·-4kt1+2k2+(t-1)2
=21+t1-t.
又|OM|·|ON|=2,所以21+t1-t=2,解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).
联立方程,根据一元二次方程根与系数的关系转化|OM|·|ON|,把问题化归为恒成立问题.
12.解析 (1)当点M在短轴端点时,△MF1F2的面积取得最大值.
由平面几何知识知,c=3b.又(S△MF1F2)max=12·2c·b=23,a2=b2+c2,
所以c=6,b=2,a=22.
故椭圆C的方程为x28+y22=1.
(2)证明:联立x28+y22=1,x=2,得N(2,1).
易得直线AB的斜率存在,故设其方程为y=kx+m.
联立x28+y22=1,y=kx+m,
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-81+4k2.
由题易得kNA+kNB=0,则y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,
即(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,
整理可得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)+4-4m=0,
即2k(4m2-8)1+4k2+8km(2k-m+1)1+4k2+4-4m=0,
∴2km-m+4k2-4k+1=0⇒(2k-1)(2k+m-1)=0.
∵直线AB必不过点N(2,1),∴2k-1=0,
∴k=12,又kON=12,
∴kAB=kON,∴ON∥AB.
证明ON∥AB 转化为证明kAB=kON,体现了转化与化归思想.
思想方法
转化与化归思想在本章中的应用:一是利用圆锥曲线的定义进行转化;二是将几何问题转化为代数问题来解决.
13.A 若双曲线的焦点在x轴上,
则m2+n>0,3m2-n>0.
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,
∴1+n>0,3-n>0,∴-1若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为y2n-3m2-x2-m2-n=1,
则n-3m2>0,-m2-n>0,即n>3m2,且n<-m2,此时n不存在.
双曲线的焦点位置不定时,对焦点在x轴上和y轴上进行分类讨论.
综上,-114.D ∵三个数1,a,9成等比数列,∴a2=9,则a=±3.分a=3和a=-3两种情况讨论.
当a=3时,曲线方程为x23+y22=1,表示椭圆,其长半轴长为3,半焦距为1,离心率为33;当a=-3时,曲线方程为y22-x23=1,表示双曲线,实半轴长为2,半焦距为5,离心率为52=102.故选D.
15.解析 (1)由题意可知b=3,ca=12,
又a2=b2+c2,所以a=2.
若焦点在x轴上,则椭圆的方程为x24+y23=1.
若焦点在y轴上,则椭圆的方程为y24+x23=1.焦点的位置不定时,需分情况讨论.
(2)椭圆x216+y225=1的焦点为(0,±3),可设双曲线方程为y2m-x29-m=1,
将(4,5)代入可得25m-169-m=1,
整理可得,m2-50m+225=0,解得m=5或m=45(不合题意),
所以双曲线的标准方程为y25-x24=1.
16.解析 (1)由题意得c=5,e=ca=53,
∴a=3,∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1,k2.
按斜率存在与不存两种情况讨论.
过P点的椭圆的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,
由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1,消去y,得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理,得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,
∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴4-y029-x02=-1,
∴x02+y02=13,即此时点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x2+y2=13.
综上所述,P点的轨迹方程为x2+y2=13.
思想方法
分类讨论思想在本章的应用:一是求曲线的标准方程,若焦点的位置不确定,要分类讨论;二是给定的曲线方程的类型不确定时,要分类讨论;三是讨论直线的斜率存在与不存在.