人教版新课标A选修2-12.4抛物线课时作业

这是一份人教版新课标A选修2-12.4抛物线课时作业，共16页。试卷主要包含了已知A为抛物线C，已知F为抛物线C，设抛物线C，过抛物线C，斜率为3的直线过抛物线C，如图,已知椭圆C1，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
考点1 抛物线定义的应用
1.(2020课标全国Ⅰ,4,5分,)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
2.(2020北京,7,4分,)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
考点2 抛物线的方程及应用
3.(2020课标全国Ⅲ,5,5分,)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
考点3 抛物线中的最值问题
4.(2017课标全国Ⅰ,10,5分,)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
考点4 直线与抛物线的位置关系
5.(2018课标全国Ⅰ,8,5分,)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(2017课标全国Ⅱ,12,5分,)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A.5 B.22 C.23 D.33
7.(2020新高考Ⅰ,13,5分,)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
8.(2020浙江,21,15分,)如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A).
(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
9.(2019北京,18,14分,)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
三年模拟练
应用实践
1.(2019河北定州期中,)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合;反之,平行或重合于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( )
A.-43 B.43 C.±43 D.169
2.(2020河南濮阳高三一模,)已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||等于( )
A.82 B.8 C.42 D.4
3.(2020湖北鄂州高二期末,)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+8=0和y轴的距离之和的最小值是( )
A.5 B.5-1 C.25 D.25-1
4.(2019河北定州期中,)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x24-y29=1相交于A,B两点,若△FAB为等边三角形,则p等于 .
5.(2020山东济南外国语学校高三月考,)抛物线C:y2=2x的焦点坐标是 ;经过点P(4,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,F为抛物线的焦点,则|AF|+|BF|= .
6.(2019湖南娄底高三期末,)在平面直角坐标系中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离为32.
(1)求该抛物线的方程;
(2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于N,求点N的横坐标的取值范围.
7.(2020湖北武汉华中师大一附中高二期末,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于A、B两点,且当直线斜率为2时,|AB|=5.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点M(1,-2)作抛物线C的两条弦MP与MQ,问在x轴上是否存在一定点N,使得直线PQ过点N时,kMP+kMQ为定值?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
迁移创新
8.(2020山东潍坊高二期末,)给出下列条件:①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2;④抛物线的准线方程是x=-2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C,从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线C的方程是y2=4x,并说明理由;
(2)过点(4,0)的任意一条直线l与C:y2=4x交于A,B不同两点,试探究是否总有OA⊥OB,并说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.C 设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),
由抛物线的定义得|AF|=x0+p2,
∵点A到y轴距离为9,∴x0=9,
∴9+p2=12,∴p=6.故选C.
2.B 解法一:不妨设抛物线的方程为y2=2px(p>0),P(x0,y0)(x0>0),则Q-p2,y0,Fp2,0,直线FQ的斜率为-y0p,从而线段FQ的垂直平分线的斜率为py0,又线段FQ的中点为0,y02,所以线段FQ的垂直平分线的方程为y-y02=py0(x-0),即2px-2y0y+y02=0,将点P的横坐标代入,得2px0-2y0y+y02=0,又2px0=y02,所以y=y0,所以点P在线段FQ的垂直平分线上,故选B.
解法二:由已知及抛物线的定义得|PQ|=|PF|,所以△PQF是等腰三角形,所以底边FQ的垂直平分线经过顶点P,故选B.
3.B 由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由x=2,y2=2px得D(2,2p),E(2,-2p),∵OD⊥OE,∴OD·OE=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦点坐标为12,0,故选B.
4.A 如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,
则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得|AG||AF|=|AF|-p|AF|=cs θ,
则|AF|=p1-csθ,同理,|BF|=p1+csθ,
则|AB|=|AF|+|BF|=2psin2θ,即|AB|=4sin2θ.
因为l1与l2垂直,所以直线DE的倾斜角为θ+π2或θ-π2,
则|DE|=4cs2θ,则|AB|+|DE|=4sin2θ+4cs2θ=4sin2θcs2θ=412sin2θ2=16sin22θ,
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
5.D 设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=23(x+2),即x=32y-2,由y2=4x,x=32y-2,得y2-6y+8=0.
由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=32(y1+y2)-4=5,x1x2=(y1y2)216=4, ∵F(1,0),∴FM·FN=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故选D.
6.C 因为直线MF的斜率为3,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.如图,过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,|NM|=4,所以|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|·sin 60°=4×32=23.故选C.
7.答案 163
解析 解法一:在抛物线y2=4x中,2p=4,斜率为3的直线倾斜角θ=π3,
∴过焦点的弦长|AB|=2psin2θ=4sin2π3=434=163.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过点F且斜率k=3的直线方程为y=3(x-1),联立y2=4x,y=3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,
∴x1+x2=103,x1x2=1,
∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+3×1009-4=163.
8.解析 (1)由p=116得C2的焦点坐标是132,0.
(2)由题意可设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),点A(x0,y0).
将直线l的方程代入椭圆C1:x22+y2=1得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-mtm2+2,
将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px得
y2-2pmy-2pt=0,
所以y0yM=-2pt,解得y0=2p(m2+2)m,
因此x0=2p(m2+2)2m2.
由x022+y02=1得1p2=4m+2m2+2m+2m4≥160,
所以当m=2,t=105时,p取到最大值1040.
9.解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
由y=kx-1,x2=-4y,得x2+4kx-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,
直线OM的方程为y=y1x1x.
令y=-1,得点A的横坐标xA=-x1y1.
同理得点B的横坐标xB=-x2y2.
设点D(0,n),则DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,
DA·DB=x1x2y1y2+(n+1)2
=x1x2-x124-x224+(n+1)2
=16x1x2+(n+1)2=-4+(n+1)2.
令DA·DB=0,即-4+(n+1)2=0,解得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
三年模拟练
1.A 将y=1代入y2=4x,得x=14,即A14,1.由抛物线的光学性质可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为1-014-1=-43,故选A.
2.C 由题意得F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1.联立y2=4x,y=x-1,可得x2-6x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.
由抛物线的定义可知|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,
∴||FA|-|FB||=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=36-4=42.
故选C.
3.D 设抛物线的焦点为F,过点P作PA⊥l于点A,垂直于准线于点B,连接PF,如图所示.
点P到y轴的距离为|PB|-1.
由抛物线的定义知|PB|=|PF|,故点P到直线l和y轴的距离之和为|PF|+|PA|-1.
由图知,当A,P,F三点共线时,|PF|+|PA|-1取得最小值,此时|PF|+|PA|为焦点F(1,0)到直线l的距离,为|2-0+8|5=25,
所以点P到直线l:2x-y+8=0和y轴的距离之和的最小值为25-1.故选D.
4.答案 32
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为0,p2,准线方程为y=-p2.
准线方程与双曲线方程联立可得x24-p236=1,解得x=±36+p23.
因为△FAB为等边三角形,且点A、B关于y轴对称,所以p2+x2=2|x|,即p2=3x2,即3p2=36+p2,解得p=32.
5.答案 12,0;9
解析 抛物线C:y2=2x的焦点坐标为12,0.
过A作AM垂直于准线交准线于M,过B作BN垂直于准线交准线于N,过P作PK垂直于准线交准线于K,设抛物线的焦点为F,
则由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.
∵P为线段AB的中点,
∴(|AM|+|BN|)=2|PK|=2×4+12=9,
∴|AF|+|BF|=9.
6.解析 (1)由题意知Fp2,0,双曲线x2-y23=1的一条渐近线方程为y=3x,即3x-y=0,则32p2=32,又p>0,所以p=2.
故该抛物线的方程为y2=4x.
(2)易知M(-1,0),则直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),
联立y=k(x+1),y2=4x,消去y并整理,
得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
令Δ=4(k2-2)2-4k4>0,又k≠0,
所以00恒成立,y1+y2=4t,y1y2=-16,
则x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16=-16t2+16t2+16=16,
所以OA·OB=x1x2+y1y2=16-16=0,
所以OA⊥OB.
所以无论l如何变化,总有OA⊥OB.