2021学年2.3双曲线同步练习题

这是一份2021学年2.3双曲线同步练习题，共16页。试卷主要包含了设F1,F2是双曲线C，双曲线C，已知双曲线C，设F为双曲线C，设双曲线C，已知F为双曲线C，故选D等内容，欢迎下载使用。

考点1 双曲线的定义与方程的应用
1.(2020课标全国Ⅰ文,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3 C.52 D.2
2.(2019课标全国Ⅲ,10,5分,)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A.324 B.322 C.22 D.32
考点2 求双曲线的标准方程
3.(2017课标全国Ⅲ,5,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.x28-y210=1 B.x24-y25=1
C.x25-y24=1 D.x24-y23=1
4.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
考点3 求双曲线的离心率
5.(2019课标全国Ⅱ,11,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
6.(2018课标全国Ⅲ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为( )
A.5 B.2 C.3 D.2
7.(2020课标全国Ⅲ,14,5分,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为 .
8.(2019课标全国Ⅰ,16,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 .
9.(2020课标全国Ⅰ理,15,5分,)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
10.(2017课标全国Ⅰ,15,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若
∠MAN=60°,则C的离心率为 .
考点4 双曲线的渐近线
11.(2018课标全国Ⅱ,5,5分,)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±32x
12.(2020课标全国Ⅱ理,8,5分,)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
13.(2020北京,12,5分,)已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离是 .
三年模拟练
应用实践
1.(2019安徽宣城高二期末,)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,焦距为25,C的一条渐近线被以F为圆心,OF为半径的圆F所截得的弦长为2,则C的方程是( )
A.x2-y24=1 B.x24-y216=1
C.x24-y2=1 D.x2-y219=1
2.(2020重庆南开中学高一期末,)如图,F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1向一条渐近线作垂线,分别交C的左右两支于A,B两点,且|AB|=|BF2|,则ba=( )
A.3 B.22 C.3+3 D.3+1
3.(2020山东潍坊高三三模,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切,且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为 .
4.(2020湖南师大附中高三月考,)过双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的下焦点F1作y轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心率为 .
5.(2020福建泉州高二期末,)我们知道:双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数.若P是双曲线E:x2-y23=1上一点,过P作E的两渐近线的垂线,垂足分别为A、B,若|PA|=12,则|PB|= ,|AB|= .
6.(2020上海七宝中学高三月考,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若l过原点,P为双曲线上异于A、B的一点,且直线PA、PB的斜率kPA、kPB均存在,求证:kPA·kPB为定值;
(3)若l过双曲线的右焦点F1,在x轴上是否存在点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有MA·MB=0成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2019河北衡水模拟,)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验.如图,内陆海湾的入口处有暗礁,其中线段AA1,B1B,CC1,D1D关于坐标轴或原点对称,线段B1B的方程为y=x,x∈[a,b],过O有一条航道.有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾,在点M-52a,0处测得该船发出汽笛声的时刻总比在点N52a,0处晚1 s(设海面上声速为a m/s).若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积).
(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么?
(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.B 解法一:由题易知a=1,b=3,∴c=2,
又∵|OP|=2,∴△PF1F2为直角三角形,
易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,
∴|PF1|·|PF2|=16-42=6,
∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=3,故选B.
解法二:不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=4,x02-y023=1,解得y0=32,又|F1F2|=4,
∴S△PF1F2=12×4×32=3,故选B.
2.A 由双曲线的方程为x24-y22=1,知a=2,b=2,故c=a2+b2=6,渐近线的方程为y=±22x.
不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,
∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,
∴|OQ|=62.
令∠POF=θ,由tan θ=22得|PQ|=|OQ|·tan θ=62×22=32.
∴△PFO的面积S=12|OF|·|PQ|=12×6×32=324.故选A.
3.B 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24-y25=k(k>0),即x24k-y25k=1,∵双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为x24-y25=1.故选B.
4.C ∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+b2a2=4,∴b2a2=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2.
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵b2a2=3,∴渐近线方程为y=±3x,
则点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又∵d1+d2=6,
∴23-32a+23+32a=6,解得a=3,∴b2=9.∴双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
方法归纳
求双曲线标准方程的方法:
(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
5.A 如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点c2,0.∴Pc2,c2.
又∵|OP|=a,∴a2=c22+c22=c22,
∴ca2=2,∴e=ca=2.故选A.
C 点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=bca-01+ba2=b(b>0),而|OF2|=c,所以在
Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.
在Rt△OPF2中,cs∠PF2O=|PF2||OF2|=bc,
在△F1F2P中,
cs∠PF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=b2+4c2-6a22b·2c,
所以bc=b2+4c2-6a24bc⇒3b2=4c2-6a2,
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.
7.答案 3
解析 ∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,∴ba=2,
∴双曲线C的离心率为ca=1+b2a2=3.
8.答案 2
解析 解法一:双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,
∵F1B·F2B=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,
不妨设点B在第一象限,由y=bax,x2+y2=c2,a2+b2=c2,x>0得点B(a,b),
∵F1A=AB,∴点A为线段F1B的中点,
∴Aa-c2,b2,将其代入y=-bax得b2=-ba×a-c2.解得c=2a,故e=ca=2.
解法二:如图,由F1A=AB知A为线段F1B的中点,
∵O为线段F1F2的中点,∴OA∥F2B,
∵F1B·F2B=0,∴F1B⊥F2B,
∴OA⊥F1A且∠F1OA=∠OF2B,
∵∠BOF2=∠AOF1,∴∠BOF2=∠OF2B,
又易知|OB|=|OF2|=c,∴△OBF2为正三角形,可知ba=tan 60°=3,∴e=ca=1+b2a2=2.
解法三:如图,设∠AOy=α,则∠BOy=α,
∵F1A=AB,∴A为线段F1B的中点,
又∵O为线段F1F2的中点,∴OA∥BF2,
∴∠OBF2=2α.
过B作BH⊥OF2,垂足为H,
则BH∥y轴,则有∠OBH=α,∴∠HBF2=α,
易得△OBH≌△F2BH,∴|OB|=|BF2|,
∵F2B·F1B=0,∴BF1⊥BF2,又O为F1F2的中点,∴|OB|=|OF2|=c,∴△OBF2为正三角形.
∴∠BOF2=60°,则ba=tan 60°=3,
∴e=ca=1+b2a2=2.
9.答案 2
解析 点B为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为c,b2a,点A的坐标为(a,0),∵AB的斜率为3,
∴b2ac-a=3,即c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,∴e=2.故离心率e=2.
10.答案 233
解析 不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
则A点到渐近线y=bax的距离为32b,又将y=bax变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|ba|a2+b2=|ab|c,所以|ab|c=32b,即ac=32,所以双曲线的离心率e=ca=233.
11.A ∵e=3,∴ba=e2-1=3-1=2,
∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.故选A.
12.B 直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±bax分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=12·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,
所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.
13.答案 (3,0);3
解析 由双曲线的方程x26-y23=1,得a2=6,b2=3,故c2=9,∴C的右焦点的坐标为(3,0),易知渐近线方程为y=±22x,∴双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线22x-y=0的距离d=32212+1=3.
三年模拟练
1.A 由焦距为25,可得c=5.
因为点F到双曲线渐近线的距离为b,一条渐近线被圆F所截得的弦长为2,所以1=c2-b2=5-b2,
又b>0,所以b=2,则a=1.
所以双曲线的方程为x2-y24=1.
2.D 连接AF2.由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,又|AB|=|BF2|,∴|AF1|=2a,|AF2|=4a.
又|F1F2|=2c,
∴cs∠AF1F2=4a2+4c2-16a22×2a×2c=c2-3a22ac.
由题图得,直线AB与双曲线的渐近线y=-bax垂直,
∴直线AB的斜率为tan∠AF1F2=ab,
∴cs∠AF1F2=bc.
∴c2-3a22ac=bc,即c2-3a2=2ab,
∴b2-2a2=2ab,∴ba2-2ba-2=0,
∴ba=1+3或ba=1-3(舍).故选D.
3.答案 x2-y23=1
解析 双曲线的渐近线方程为y=±bax.
由双曲线的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切可得 2ba2+b2=2bc=3.
由双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,得c=2.故b=3,a=1.
所以双曲线的方程为x2-y23=1.
4.答案 1+2
解析 由题意得|AB|=2b2a.由以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,可得b2a=2c.∴c2-a2-2ac=0,即e2-2e-1=0,解得e=1+2或e=1-2(舍去).故答案为1+2.
5.答案 32;72
解析 双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数a2b2c2.
由题意得|PA|·|PB|=a2b2c2=34,|PA|=12,所以|PB|=32.
设PB与另一条渐近线的交点为F,则△APF∽△BOF,所以∠APF=∠BOF.
由双曲线的渐近线可知∠BOF=60°,所以∠APF=60°.
在三角形PAB中,AB2=PA2+PB2-2PA·PBcs∠APB=74,所以|AB|=72.
6.解析 (1)由题意得4a2-9b2=1,ba=3,解得a2=1,b2=3.
∴双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)证明:设A点坐标为(x0,y0),则由对称性知B点坐标为(-x0,-y0).
设P(x,y),则kPA·kPB=y-y0x-x0·y+y0x+x0=y2-y02x2-x02.
将点A、P的坐标代入曲线C的方程,得x02-y023=1,x2-y23=1,∴y2-y02=3(x2-x02),
∴kPA·kPB=y2-y02x2-x02=3.
(3)由(1)得F1(2,0).当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).联立x2-y23=1,y=k(x-2),消去y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3.
假设存在M(m,0),使得MA·MB=0恒成立,
∴MA·MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=(k2+1)(4k2+3)k2-3-4k2(2k2+m)k2-3+m2+4k2
=3(1-m2)+k2(m2-4m-5)k2-3,
∴3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2≠3恒成立,
∴1-m2=0,m2-4m-5=0,解得m=-1.
∴存在M(-1,0)使MA·MB=0恒成立.
当直线l的斜率不存在时,不妨令A(2,3),B(2,-3),易知M(-1,0)也满足题意.
综上,存在M(-1,0),使得MA·MB=0.
7.解析 (1)设轮船所在的位置为P,由题意可得|PM|-|PN|=a.
∵a<|MN|=5a,∴点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.
设所求双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),则m=12a,n=5a24-a24=a.
故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是4x2-y2=a2x≥12a.
(2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾.
设直线l的方程为y=y0(0≤y0≤b).
当0≤y0≤a时,设l与双曲线右支、直线x=a分别交于点Q1,S1,
则Q112y02+a2,y0,S1(a,y0).
∵12y02+a2≤12a2+a2当a则Q212y02+a2,y0,S2(y0,y0).
∵14(y02+a2)-y02=-3y02-a24<0,
∴12y02+a2∴点Q2在点S2的左侧,船不可能进入暗礁区.
综上,在x轴上方,船不可能进入暗礁区,由对称性可知,船能由海上安全驶入内陆海湾.