高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时训练，共13页。试卷主要包含了过三点A,B,C的圆的方程为等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆的一般方程
1.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为( )
A.3 B.5 C.3 D.4
2.(2019北京丰台高一期末)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为( )
A.x2+y2-7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x+3y+2=0
3.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( )
A.(x+3)2+(y-2)2=12 B.(x-3)2+(y+2)2=12
C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2
4.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为 .易错
5.(2021山东新泰中学高二上月考)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.
(1)求顶点A和B的坐标;
(2)求△ABC外接圆的一般方程.
题组二 圆与二元二次方程
6.(2021重庆八中高二上月考)已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为( )
A.(-∞,20) B.(-∞,5) C.(5,+∞) D.(20,+∞)
7.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )
A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆
C.一个点 D.a,b不全为0时,才能表示一个圆
8.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,写出圆心和半径.
(1)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;(3)x2+y2+x+2=0.
题组三 与圆有关的动点的轨迹问题
10.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为( )
A.直线B.线段C.圆D.半圆
11.已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
能力提升练
题组一 圆的一般方程
1.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为( )
A.4π B.2π C.π D.π2
2.()设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为( )
A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆
B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆
C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,285
D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,285
3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为( )
A.-2 B.0 C.1 D.3
4.()设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是 .
5.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出轨迹方程.
题组二 圆的方程的应用
6.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A.5 B.6 C.5-1 D.5+1
7.(2021重庆八中高二上月考,)若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足|PB|=2|PA|,则tan∠ABP的最大值为( )
A.22 B.1 C.2 D.3
8.(2020浙江杭州高二上期末,)在平面直角坐标系中,Q是圆O:x2+y2=9上的动点,满足条件|MO|=2|MQ|的动点M构成集合D,则集合D中任意两点间的距离d的最大值为( )
A.4 B.42 C.6 D.12
9.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)过点P(-5,0)作直线（1+2m）x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是 .
10.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,AP·AQ的最大值为 .
11.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 将一般方程x2+y2+2x-4y=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,
∴圆的半径为5.故选B.
2.A 设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
依题意得D-E+F+2=0,D+4E+F+17=0,4D-2E+F+20=0,解得D=-7,E=-3,F=2.
因此,所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.
3.C 由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,所以(x-1)2+y2=2的圆心O1的坐标为(1,0),半径为2,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.
4.答案 2,94
解析 因为点A(a,2)在圆的外部,所以
a2+22-2a2-3×2+a2+a>0,(-2a)2+(-3)2-4(a2+a)>0,
解得2易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
5.解析 (1)联立y=-2x+11,x+3y+2=0,解得x=7,y=-3,所以顶点B(7,-3),
因为AC⊥BH,所以kAC·kBH=-1,已知kBH=-13,所以kAC=3,
所以设直线AC的方程为y=3x+b,
将C(2,-8)代入得b=-14,所以直线AC的方程为y=3x-14.
由y=-2x+11,y=3x-14,可得顶点A(5,1).
(2)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将A(5,1)、B(7,-3)和C(2,-8)三点的坐标分别代入,得5D+E+F+26=0,7D-3E+F+58=0,2D-8E+F+68=0,
解得D=-4,E=6,F=-12,
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.
6.B 由于方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线为圆,所以22+42-4m>0,解得m<5.
因此,实数m的取值范围是(-∞,5).
故选B.
7.D (2a)2+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a≠0或b≠0时,方程表示一个圆.
8.D 方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,
方程表示的图形为圆,则-34a2-3a>0,解得-4又圆心坐标为-a2,a,所以该圆的圆心在第四象限.
9.解析 (1)原方程配方得x+522+y-322=152,故该方程表示以-52,32为圆心,302为半径的圆.
(2)原方程配方得(x+2)2+y2=0,故该方程表示点(-2,0).
(3)原方程配方得x+122+y2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形.
10.C 设点P的坐标为(x,y),
∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],
即(x-2)2+y2=4.
∴P的轨迹为圆.故选C.
11.解析 以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),
则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点为D(x0,y0),连接AD,
∴2+x2=x0,0+y2=y0.①
∵|AD|=3,∴[x0-(-2)]2+(y0-0)2=9.②
将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.
∵点C不能在x轴上,
∴y≠0.
综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).
能力提升练
1.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m2(m≠0),其圆心为(m,2m+1).
依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2,
∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.
2.C 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,
线段MN的中点坐标为x0-32,y0+42.
由于平行四边形的对角线互相平分,
所以x2=x0-32,y2=y0+42,从而x0=x+3,y0=y-4.
又点N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.
当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=-215,y=285.
因此所求轨迹为以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,125和点-215,285.故选C.
3.AB 由(3a)2+a2-452a2+a-1>0,得a<1,所以满足条件的为-2和0.故选AB.
4.答案 (x-1)2+y2=2
解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),设为B,半径r=1,
则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.
∴点P的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
5.解析 (1)由两点式可知,对角线AC所在直线的方程为y-2-2-2=x-40-4,整理得x-y-2=0.
(2)设G为外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G0+42,-2+22,即(2,0),
设r为外接圆的半径,则r=12|AC|,
而|AC|=(4-0)2+(2+2)2=42,
∴r=22.
∴外接圆方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P点坐标为(x0,y0),线段PN的中点M的坐标为(x,y),则x=x0-22,y=y02,
∴x0=2x+2,y0=2y,①
∵点P为外接圆上一点,
∴(x0-2)2+y02=8,将①代入并整理,得x2+y2=2,
∴轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
6.D 由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圆心为C(-1,m),半径r=m2+4m+5=(m+2)2+1≥1,
当且仅当m=-2时,半径最小,则面积也最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,
因此圆心到坐标原点的距离d=(-1-0)2+(-2-0)2=5>r,
即原点在圆C外,
所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=5+1.故选D.
7.B 以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵|PB|=2|PA|,
∴(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2,
整理得x2+6x+y2+1=0⇒(x+3)2+y2=8,
即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,22为半径的圆,
当点P在如图所示的P1,P2位置时,tan∠ABP的值最大,
tan∠ABP=22|PB|=2242-8=1.故选B.
8.D 设Q(x0,y0),可得x02+y02=9.设M(x,y),由|MO|=2|MQ|,可得|MO|2=4|MQ|2,即x2+y2=4[(x-x0)2+(y-y0)2],
化简可得x2+y2-8x03x-8y03y+12=0,可得M的轨迹是以43x0,43y0为圆心,2为半径的圆.由圆的对称性可得,当集合D中任意两点间的距离d最大时,该两点关于原点对称,此时dmax=2×43×3+2=12,故选D.
9.答案 [13-10,13+10]
解析 由直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,
令2x-y-4=0,x-y-3=0,解得x=1,y=-2,所以直线过定点(1,-2),设为Q.因为M为垂足,所以△PQM为直角三角形,斜边为PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动,由点P(-5,0)可知以PQ为直径的圆的圆心坐标为(-2,-1),设为C,半径r=(-5-1)2+(0+2)22=10,
则|MN|的取值范围为|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,又因为|CN|=(-2-3)2+(-1-11)2=13,
所以|MN|的取值范围是[13-10,13+10].
10.答案 2
解析 连接OQ,OP.设∠BOQ=α,则∠AOP=2α,且α∈[0,π].
依题意得Q(cs α,sin α),P(-cs 2α,-sin 2α),
∴AP·AQ
=(-cs 2α+1,-sin 2α)·(cs α+1,sin α)
=(-cs 2α+1)(cs α+1)-sin 2αsin α
=1-cs 2α=2sin2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.
11.解析 易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由y=-x+3,x+3y-15=0,解得x=-3,y=6,即圆心C为(-3,6),则半径r=(-3+1)2+62=210.又|AB|=(3+1)2+42=42,
所以圆心C到AB的距离d=(210)2-(22)2=42.
所以点P到AB的距离的最大值为42+210.
所以△PAB的面积的最大值为12×42×(42+210)=16+85.