高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积随堂练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积随堂练习题，共13页。

题组一 柱体、锥体、台体的体积
1.(2020天津南开附中高二下期中)如图,几何体ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是 ( )

2.(2020河北石家庄高一上期末)如图,一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )
πD.833π
3.(2020山西太原一中高二期中)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )
A.63 cmB.6 cm
C.2318 cmD.3312 cm
4.(2020天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是 .
5.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积V= .
题组二 球的体积
6.(2020湖南长沙长郡中学高一期中)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心O到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为( )
A.100π3B.208π3C.500π3D.4163π3
7.若三个球的表面积之比为1∶4∶9,则这三个球的体积之比为 .
题组三 组合体的体积
8.(2021河南新乡高一月考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.2π+433B.2π+1233
C.4π+433D.4π+1233
9.(2020四川广元一中高二下期中)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
10.(2020辽宁东北育才实验学校高一下期末)如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=32,∠ABC=120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是 .
11.如图所示的几何体,上面是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm,现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱,求此几何体的体积.
能力提升练
题组一 柱体、锥体、台体的体积
1.(2020山东济宁曲阜实验学校高一下期末,)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积( )

A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置都有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
2.(2020江苏宿豫中学期中,)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,则V1∶V2=( )
A.7∶5B.5∶7C.3∶2D.4∶7
3.(2019江苏无锡高三一模,)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于 .
4.(2020江苏镇江第一中学阶段测试,)在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设四棱锥E-ABCD的体积为V,那么三棱锥M-EBC的体积为多少?
题组二 球的体积
5.(2020江西抚州高一期末,)如图,用一边长为2的正方形硬纸,沿各边中点连线所在直线垂直折起4个小直角三角形,做成一个蛋巢,将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ( )
A.62++32D.32+32
6.(2020湖南长沙雅礼中学高一期中,)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为( )
A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶1
7.()圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
题组三 体积的综合问题
8.()设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
9.(2020江苏南通高二调研,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=13,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为 .
10.(2020山东青岛二中高一下期中,)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h= .
11.(2020吉林长春一中高一下期末,)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
答案全解全析
基础过关练
1.C ∵VC-A'B'C'=13VABC-A'B'C'=13,
∴VC-AA'B'B=1-13=23.故选C.
2.C 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,圆锥的侧面积S侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h=l2-r2=15,故圆锥的体积V=13πr2h=153π,故选C.
3.B 设倒圆锥形器皿中水面的高度为h cm,水面半径为r cm,则母线(水面以下部分)l=2r cm,
∴h=3r,即r=3h3,
∴13πr2×h=π×22×6,
∴13π×3h32×h=24π,
∴h3=216,解得h=6.
4.答案 4π或8π
解析 当母线长为4时,圆柱的底面半径为1π,此时圆柱的体积为π×1π2×4=4π;
当母线长为2时,圆柱的底面半径为2π,此时圆柱的体积为π×2π2×2=8π.
综上,所求圆柱的体积为4π或8π.
5.答案 733π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,∴r=1,R=2.
又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,
∴h=22-(2-1)2=3,
∴V=13(π+π·4π+4π)×3=733π.
6.C 如图,设截面圆的圆心为O',由题意可知,圆面的直径为6,则O'A=3,
又OO'=4,∴球的半径R=OA=5,
∴球的体积V=43πR3=500π3,故选C.
7.答案 1∶8∶27
解析 设三个球的半径分别为R1,R2,R3,体积分别为V1,V2,V3,∵三个球的表面积之比为1∶4∶9,
∴4πR12∶4πR22∶4πR32=1∶4∶9,
即R12∶R22∶R32=1∶4∶9,
∴R1∶R2∶R3=1∶2∶3,
∴R13∶R23∶R33=1∶8∶27,
∴V1∶V2∶V3=43πR13∶43πR23∶43πR33=R13∶R23∶R33=1∶8∶27.
8.A 结合三视图可知该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,上半部分是一个半径为1的半球,
所以该几何体的体积V=23π×13+13×22×3=2π+433,故选A.
9.答案 10π
解析 用一个与截得的几何体完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
10.答案 32π
解析 由题意得所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥,故其体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积.
如图,过点A作AD⊥BC,交BC的反向延长线于点D,易知AD=3,
故所求体积V=13π·AD2·DC-13π·AD2·DB=13π·AD2·BC=13π×(3)2×32=32π.
11.解析 V六棱柱=34×42×6×2=483(cm3),
V圆柱=π·32×3=27π(cm3),
V挖去的圆柱=π·12×(3+2)=5π(cm3),
∴此几何体的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去的圆柱=(483+22π)cm3.
能力提升练
1.D V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=13×12×EF×AA'×A'D'=163,所以其体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.
2.A 如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,连接A2C2,A2B2,B2C2,得到三棱柱A2B2C2-ABC,则VABC-A1B1C1=VA2B2C2-ABC.延长B1E,C1F,则B1E与C1F相交于点A2.
因为A2A∶A2A1=1∶2,
所以VA2-AEF=18VA2-A1B1C1.
又VA2-AEF=14VA2-ABC=14×13VA2B2C2-ABC=112VABC-A1B1C1,
所以V1=7VA2-AEF=712VABC-A1B1C1,
故V1∶V2=7∶5.
3.答案 22π3
解析 如图,设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,则由题意知12×l×120πl180=3π,所以l=3,所以圆锥的底面周长c=120πl180=2π,所以该圆锥的底面半径r=1,高h=22,所以该圆锥的体积V=13πr2h=22π3.
4.解析 设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2.
如图,连接MD,AC.
因为M是AE的中点,
所以VM-ABCD=12V.
所以VE-MBC=12V-VE-MDC.①
而VE-MBC=VB-EMC,VE-MDC=VD-EMC,
所以VE-MBCVE-MDC=VB-EMCVD-EMC=h1h2.
因为B,D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离,而AB∥CD,且2AB=3CD,所以h1h2=32.所以VE-MBC=32VE-MDC.②
由①②得VE-MBC=310V.
5.D 由题意,可得蛋巢的底面是边长为1的正方形,则经过4个小直角三角形的顶点截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的体积为4π3,所以鸡蛋的半径为1,所以球心到截面圆的距离为1-122=32,因为垂直折起的4个小直角三角形的高均为12,所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为32+1+12=32+32.故选D.
6.C 设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r内=36a,正三棱柱的高h=2r内=33a.
设正三角形的外接圆半径为R,易得R=33a,所以外接球的半径r外=h22+R2=36a2+33a2=156a.
所以它的外接球与内切球表面积之比为156a2∶36a2=5∶1.
7.答案 4
解析 设球的半径为r cm,则由题意可得3×43πr3+πr2×8=πr2×6r,所以r=4.故球的半径是4 cm.
8.B 设△ABC的边长为a,则S△ABC=12a·a·sin 60°=93,解得a=6(负值舍去).设△ABC的外接圆半径为r,则2r=6sin60°,得r=23,则球心到平面ABC的距离为42-(23)2=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183,故选B.
9.答案 30
解析 在△ABC中,BC边上的高h=(13)2-32=2,
V三棱柱=12BC×h×BB1=12×6×2×6=36,
∵EF=3,A1A=B1B=6,
∴V三棱锥E-ABC+V三棱锥F-A1B1C1=16V三棱柱=6,
故V多面体BB1C1CEF=36-6=30.
10.答案 32a
解析 设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为13πR2h,
圆柱形容器内的液体体积为πa22h.
根据题意,有13πR2h=πa22h,解得R=32a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得32aa=ha,
所以h=32a.
11.解析 设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S,∴VA1-ABC=13S△ABC·h=13Sh,
VC-A1B1C1=13S△A1B1C1·h=43Sh.
又V台=13(S+4S+2S)h=73Sh,
∴VB-A1B1C=V台-VA1-ABC-VC-A1B1C1
=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh,
∴VA1-ABC∶VB-A1B1C∶VC-A1B1C1=1∶2∶4.