人教版新课标A1.3 空间几何体的表面积与体积当堂检测题

这是一份人教版新课标A1.3 空间几何体的表面积与体积当堂检测题，共8页。试卷主要包含了棱长为2的正四面体的表面积是等内容，欢迎下载使用。

题组一 柱体、锥体、台体的表面积
1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积为( )

A.12+123B.48+123
C.64+63D.72+63
2.(2021四川眉山高二上期末)棱长为2的正四面体的表面积是( )
A.3B.23C.33D.43
3.(2021广西南宁高一上期末)已知圆锥的高为4,母线长为5,则该圆锥的表面积为( )
A.21πB.15πC.12πD.24π
4.(2021陕西高三部分学校联考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是( )
A.45B.35C.125D.512
5.(2021江西景德镇一中高一期末)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为 .
题组二 柱体、锥体、台体的体积
6.如图,三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )
A.13B.12C.23D.34
7.一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )
A.153B.833C.153πD.833π
8.(2021安徽合肥高二月考)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )
A.V1C.V29.(2020天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是 .
题组三 组合体的表面积与体积
10.(2021湖北高三联合数学测评)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=6,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为4的等边三角形,则此几何体的体积为( )
A.3223B.4433C.5623D.6433
11.如图所示,已知直角梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:
(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
能力提升练
一、选择题
1.()已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为( )

A.14B.12
C.36D.34
2.()已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )
A.7B.6C.5D.3
3.(2021河南名校联盟高一上期末,)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体表面积的最大值为( )
A.(4+3+27)πB.(2+3+27)π
C.(4+23+7)πD.(2+23+7)π
二、填空题
4.(2021山东烟台高三上期末,)水晶是一种石英结晶体矿物,因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2 cm的正方体水晶一块,将其裁去八个相同的四面体后,打磨成某饰品,则该饰品的表面积为 cm2.
5.()一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 .
6.()如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为 .
三、解答题
7.()已知四面体A-BCD中,AB=CD=13,BC=AD=25,BD=AC=5,求四面体A-BCD的体积.
8.(2020云南师大附中高三质检,)如图,圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1A2B2B1,A1A2∥B1B2,A1A2=2B1B2,A1B1=2,圆台O1O2的侧面积为6π.
(1)求圆台O1O2的体积;
(2)若点C,D分别为圆O1,O2上的动点,且点C,D在平面A1A2B2B1的同侧,求三棱锥C-A1DA2的体积的最大值.
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础过关练
1.B 由题意知该六棱柱为正六棱柱,侧面积为4×2×6=48,上、下底面面积之和为2×34×22×6=123,所以其表面积为48+123,故选B.
2.D 正四面体的表面积S=4×12×2×22-12=43.
3.D 由已知得底面半径为52-42=3,则底面周长为6π,则侧面积为12×6π×5=15π,又底面积为9π,所以圆锥的表面积为15π+9π=24π.故选D.
4.B 设该四棱锥的底面边长为2a,高为h,斜高为h1,则ℎℎ1=45,ℎ2+a2=ℎ12,解得a=35h1,从而该四棱锥的底面面积为4a2=3625ℎ12,侧面面积为4×12×2ah1=4ah1=125ℎ12,故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是3625ℎ12125ℎ12=35.故选B.
5.答案 5+315
解析 如图:
设截面四边形为A1B1C1D1,由题意可知,截面四边形A1B1C1D1与底面四边形ABCD相似且面积之比为1∶4,即有PA1PA=A1B1AB=12,由PA1=2可得PA=PB=4,又BC=2,所以B1C1=1.取BC的中点E,连接PE,交B1C1于点E1,则EE1为正四棱台的斜高,可得EE1=22-(12) 2=152.故此棱台的表面积为1×1+2×2+4×12×(1+2)×152=5+315.
6.C ∵VC-A'B'C'=13VABC-A'B'C'=13,
∴VC-AA'B'B=1-13=23.故选C.
7.C 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,S圆锥侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h=l2-r2=15,故圆锥的体积V=13πr2h=153π,故选C.
8.C 由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台、圆柱、四棱柱、四棱台,
所以V1=13×(4π+π+2π)×1=7π3,V2=2π,
V3=23=8,V4=13×(16+4+8)×1=283.
故V29.答案 4π或8π
解析 当母线长为4时,圆柱的底面半径为1π,此时圆柱的体积为π×1π2×4=4π;
当母线长为2时,圆柱的底面半径为2π,此时圆柱的体积为π×2π2×2=8π.
综上,所求圆柱的体积为4π或8π.
10.C 如图,过F作面ABCD的高FO,垂足为O,取BC的中点P,连接OP,PF,过O作BC的平行线QH,交AB于Q,交CD于H.
∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,
∴OP=QB=12(AB-EF)=2,PF=42-22=23,OQ=12BC=2,OF=PF2-OP2=22.
过点E作EN∥FH,EM∥FQ,MN∥HQ,则该几何体包含一个三棱柱EMN-FQH,两个全等的四棱锥:E-AMND,F-QBCH,
∴这个几何体的体积V=VEMN-FQH+2VF-QBCH=S△QFH×MQ+2×13S矩形QBCH×FO=12×4×22×2+2×13×2×4×22=5623.
故选C.
方法技巧
利用分割的方法,把几何体分割成三部分,可得一个三棱柱和两个四棱锥,其中两个四棱锥的体积相等,再由已知求得答案.
11.解析 (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,高是5 cm,母线长是52+(16-4)2=13(cm).
∴该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线长为13 cm,又圆柱的母线长为4 cm,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
能力提升练
一、选择题
1.D 设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则h=3,则VB-AB1C=VB1-ABC=13S△ABC·h=13×34×3=34.故选D.
2.A 设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.
由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
故选A.
3.A 根据三视图可知,此几何体为一个圆锥挖去一个圆柱的剩余部分,要使几何体的表面积最大,则需要挖去的圆柱的侧面积最大,易得圆锥的母线长为22+(3)2=7.设圆柱的高为h,底面半径为r,则3-ℎ3=r2,所以h=3-3r2,故有S圆柱侧=2πrh=2πr3-3r2=3π[-(r-1)2+1],所以当r=1时,S圆柱侧有最大值,最大值为3π.故该几何体表面积的最大值为3π+22π+2×7π=(3+4+27)π.故选A.
二、填空题
4.答案 12+43
解析 由题意得该饰品是由6个边长为2 cm的正方形和8个边长为2 cm的正三角形围成的,则该饰品的表面积S=6×(2)2+8×34×(2)2=(12+43)cm2.
5.答案 160
解析 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
则a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,∴AB=8.
∴该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
6.答案 273
解析 如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',过点S作SE⊥AB,与AB交于点E,连接OE,则SE=h'.
∵S侧=2S底,∴3×12ah'=2×34a2.
∴a=3h'.
∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2,
即32+36×3ℎ'2=h'2,
∴h'=23,∴a=3h'=6,
∴S底=34a2=34×62=93,
S侧=2S底=183,
∴S表=S侧+S底=183+93=273.
三、解答题
7.解析 以四面体的各棱为长方体的面对角线作出该四面体,如图所示.
设BE=x,BF=y,CF=z,
则x2+y2=(13)2,y2+z2=(25)2,x2+z2=52,∴x=3,y=2,z=4.
易知VD-ABE=13S△ABE·DE=16V长方体.
同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=16V长方体.
∴V四面体A-BCD=V长方体-4×16V长方体=13V长方体.
而V长方体=2×3×4=24,∴V四面体A-BCD=8.
8.解析 (1)设圆O1的半径为r,则圆O2的半径为2r,
因为圆台的侧面积为6π,
所以S侧=π(r+2r)×2=6πr=6π,解得r=1.
在等腰梯形A1A2B2B1中,O1B2=1,O2A2=2,所以O1O2=22-12=3,
则圆台O1O2的体积V=13π(r2+r·2r+4r2)×3=733π.
(2)由题意可知,三棱锥C-A1DA2的体积V'=13O1O2·S△A1DA2=36A1D·A2D,
因为(A1D-A2D)2≥0,所以A1D·A2D≤A1D2+A2D22=A1A222=8,当且仅当A1D=A2D=22,即D为弧A1A2的中点时,等号成立,所以V'=36A1D·A2D≤36×8=433.所以三棱锥C-A1DA2的体积的最大值为433.
1.B
2.D
3.D
4.B
6.C
7.C
8.C
10.C
1.D
2.A
3.A