高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构精练

这是一份高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构精练，共15页。试卷主要包含了1　空间几何体的结构，下列命题正确的是，下列说法中正确的是，下列说法正确的是　　　　，下列说法正确的个数为　　　　，有下列三个说法，下列几何体中,不是旋转体的是等内容，欢迎下载使用。

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
基础过关练
题组一 棱柱的结构特征
1.(2020北京丰台高一下期末)如图所示,下列四个几何体中,不是棱柱的序号是( )

A.①B.②C.③D.④
2.(2020安徽蚌埠高一上期末)下列命题正确的是( )
A.棱柱的每个面都是平行四边形
B.一个棱柱至少有五个面
C.棱柱有且只有两个面互相平行
D.棱柱的侧面都是矩形
3.(2020湖北孝感高一期末)下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.四棱柱的底面一定是平行四边形
C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱
D.棱柱的各条棱长都相等
题组二 棱锥的结构特征
4.(2019福建泉州泉港第一中学高一期中)用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能是 ( )
A.四边形B.三角形C.五边形D.六边形
5.(2020安徽合肥高一数学质检)下列说法正确的是 .(填序号)
①一个棱锥至少有四个面;
②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;
③五棱锥只有五条棱;
④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.
6.下列说法正确的个数为 .
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
②正棱锥的侧面是等边三角形;
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
题组三 棱台的结构特征
7.(2020黑龙江哈师大青冈实验中学高一月考)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分是( )
A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.五棱锥
8.有下列三个说法:
①两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台;
②有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指出它的底面与侧面.
题组四 旋转体的结构特征
10.(2020陕西铜川一中高一期末)下列几何体中,不是旋转体的是( )
A
B
C
D
11.下列说法中正确的是( )
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
12.(多选)下列说法中正确的有( )
A.圆柱的侧面展开图是一个矩形
B.圆锥的侧面展开图是一个扇形
C.圆台的侧面展开图是一个梯形
D.棱锥的侧面为三角形
13.(2020河南开封高一期中)下列说法中正确的个数是( )
①空间中到定点的距离等于定长的点构成球;
②空间中到定点的距离等于定长的点构成球面;
③一个圆绕其一条直径所在直线旋转所形成的曲面围成的几何体是球;
④用平面截球,随着角度的不同,截面可能不是圆面.
A.1B.2C.3D.4
14.给出下列说法:
(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;
(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;
(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;
(4)圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.
其中正确说法的序号是 .
题组五 旋转体中的计算问题
15.(2021广西南宁高一联考)若圆柱的轴截面是面积为S的正方形,则圆柱的底面面积为( )
A.πS4B.πS2C.2πSD.4πS
16.(2020河北衡水中学高三临考模拟)定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的轴截面是四边形ABCD,点P在母线BC上,且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P,则这只蚂蚁行走的最短路程为( )
A.213B.9π2+4
C.9π2+16D.29π2+4
17.用一个平面去截半径为25 cm的球,截面的面积是225π cm2,则球心到截面的距离是( )
A.5 cmB.10 cmC.15 cmD.20 cm
18.(2019江苏启东中学高一期中)如果用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高为 .
19.(2021河南九师联盟高一上期末)某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别是4和3的矩形,则该圆柱的底面面积为 .
20.(2020黑龙江鹤岗一中高三月考)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”用现在的数学语言表述是:“如图所示,一圆柱埋在墙壁中,AB=1尺,CD=1寸,D为AB的中点,AB⊥CD,则圆柱底面的直径长是 寸.”(注:1尺=10寸)
21.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和.
能力提升练
一、选择题
1.(2020浙江杭州二中高一期中,)已知圆锥的顶点为S,底面圆心为O,用过SO的平面截该圆锥,所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面展开图的面积为( )

A.42πB.82πC.8πD.16π
2.(2020山东泰安高三一模,)一个封闭的棱长为2的正方体容器,如图,当水平放置时,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条边所在直线任意旋转,则容器里水面的最大高度为( )
A.1B.2C.3D.22
3.(2020北京平谷高三一模,)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示:上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果该塔形的最上层的正方体的棱长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是( )
A.8B.7C.6D.4
4.(2020北京朝阳高一下期末,)连接空间几何体上的某两点的直线,如果把该几何体绕此直线旋转角α(0°<α<360°),使该几何体与自身重合,那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内,则这个八面体的旋转轴共有( )
A.7条B.9条C.13条D.14条
二、填空题
5.(2020江苏南大附中高一下段考,)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何体(或图形)的4个顶点,这些几何体(或图形)是 .(写出所有正确结论的序号)
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
6.(2021河南三市高三联考,)已知△ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为32R,AB=BC=AC=23,则球O的半径R= .
三、解答题
7.()已知四棱台的上、下底面分别是边长为4、8的正方形,各侧棱长均为17,求四棱台的高.
8.()如图所示,正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24,H是BC的中点,O为底面中心,∠SHO=60°,求:
(1)正六棱锥的高;
(2)正六棱锥的斜高;
(3)正六棱锥的侧棱长.
答案全解全析
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
基础过关练
1.B 根据棱柱的定义,知①是三棱柱,③④是四棱柱.
2.B 对于A,棱柱的底面可以是三角形或梯形等,故A错误;对于B,面最少的棱柱是三棱柱,共有五个面,故B正确;对于C,正方体是正四棱柱,每组对面都相互平行,故C错误;对于D,平行六面体的侧面为平行四边形,故D错误.
3.C 棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;四棱柱的底面是四边形,不一定是平行四边形,所以B不正确;面最少的棱柱为三棱柱,有六个顶点、九条棱,所以C正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确.
4.D 一般情况下,截面与几何体的几个面相交能得到几条交线,截面就是几边形,而四棱锥有5个面,所以截面形状不可能是六边形,故选D.
5.答案 ①④
解析 ①正确,面最少的棱锥是三棱锥,共有四个面.②不正确,四棱锥的底面是正方形,它的侧棱也不一定相等.③不正确,五棱锥共有十条棱.易知④正确.故填①④.
6.答案 0
解析 ①错误.如图所示的几何体满足此说法,但它不是棱锥.
②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.
③错误.如图所示,在三棱锥A-BCD中,有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面BCD为等边三角形,侧面ABD,侧面ABC和侧面ACD都是等腰三角形,但AC的长度不确定,所以三个侧面不一定全等.
7.B 由题图可知,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分是四棱锥A1-BB1C1C.
8.A ①当两个平行的正方形全等时,不是棱台,故①错;②③可用反例去检验,如图(1)、(2)所示,故②③错.
9.解析 ∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,
∴A1EAB=A1FAC=EFBC=12.
∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.
又面A1B1C1与面ABC平行,
∴面A1EF与面ABC平行,
∴几何体A1EF-ABC是三棱台.
其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.
10.D 根据旋转体和多面体的定义,知A、B、C中几何体均为旋转体,D中几何体为多面体.
11.C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;易知C正确;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.故选C.
12.ABD A.圆柱的侧面展开图是一个矩形,正确;B.圆锥的侧面展开图是一个扇形,正确;C.圆台的侧面展开图是一个扇环,所以不正确;D.棱锥的侧面为三角形,符合棱锥的结构特征,正确.故选ABD.
13.B 空间中到定点的距离等于定长的点构成球面,故①错误,②正确;由球的结构特征,可知③正确;不管角度如何,用平面截球,所得截面都是圆面,故④错误.
14.答案 (2)(3)(4)
解析 (1)不正确,因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;
(2)正确;
(3)正确,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;
(4)正确,圆锥的轴截面为等腰三角形,腰长为圆锥的母线长,底边长为圆锥底面圆的直径,在此三角形中,腰长有可能大于底边长.
15.A 设圆柱底面圆的半径为R,由题意知圆柱的母线长等于底面圆的直径2R,则2R×2R=S,得R2=S4,故圆柱的底面面积为πR2=πS4.
16.C 将该圆柱沿母线AD剪开,得到其侧面展开图,如图所示,其中BP=4,PC=2.
由图可知,这只蚂蚁行走的最短路程为AP的长.设圆柱底面圆的半径为r,则2r=BC=6,∴r=3,∴AB=πr=3π,
在Rt△ABP中,AP=AB2+BP2=9π2+16.
故选C.
17.D 设截面圆的半径为r cm,
∵截面的面积是225π cm2,
∴πr2=225π,解得r=15.
又∵球的半径为25 cm,
∴球心到截面的距离d=252-152=20(cm).
18.答案 32r
解析 半径为r的半圆的弧长为πr,则圆锥底面圆的周长为πr,
所以圆锥的底面半径为r2,
所以圆锥的高为r2-r22=32r.
19.答案 4π或94π
解析 设圆柱底面圆的半径为r.
若2πr=4,则r=2π,则圆柱的底面面积为πr2=π2π2=4π;
若2πr=3,则r=32π,则圆柱的底面面积为πr2=π32π2=94π.
综上,该圆柱的底面面积为4π或94π.
20.答案 26
教你审题 “求圆柱底面的直径长”,列出符合条件的等式是解决问题的关键,跳出题中文言文语言的限制,将圆柱与长方体的镶嵌问题转化为圆与直线的问题,利用“AB⊥CD”这一信息,可以构建等式.
解题关键 ①三维空间到二维空间的转换.②垂径定理.
思路导图
“圆材埋壁”垂径定理→结果.
解析 连接AO,CO,则点D在CO上.
∵AD=BD,AB=10寸,
∴AD=5寸,
在Rt△AOD中,∵OA2=OD2+AD2,
∴OA2=(OA-1)2+52,
∴OA=13寸,∴2OA=26寸.
∴圆柱底面的直径长是26寸.
21.解析 设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥,如图,则有∠ABO=30°.
在Rt△BO'A'中,rBA'=sin 30°=12,
∴BA'=2r.
在Rt△BOA中,2rBA=sin 30°=12,
∴BA=4r.
又BA-BA'=AA',即4r-2r=2a,∴r=a.
∴两底面面积之和S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.
∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.
能力提升练
一、选择题
1.A 如图所示,圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形,即12×SA×SB=12×SA2=4,解得SA=22(负值舍去),所以AO=SA·sin 45°=22×22=2,所以该圆锥的侧面展开图的面积为12×2π×AO×SA=12×2π×2×22=42π.故选A.
2.B 正方体的面对角线长为22,又水的体积正好是正方体体积的一半,所以当正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条边所在直线旋转45°时,容器里水面的高度最大,此时最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为2,故选B.
3.A 最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为42+42=42,第三层正方体的棱长为(22)2+(22)2=4,第四层正方体的棱长为22+22=22,第五层正方体的棱长为(2)2+(2)2=2,第六层正方体的棱长为12+12=2,第七层正方体的棱长为222+222=1,第八层正方体的棱长为122+122=22,∴当该塔形的最上层正方体的棱长小于1时,该塔形中正方体的个数至少是8.故选A.
4.答案 C
教你审题 结合八面体的对称性,旋转轴可以分为三类:1.以顶点连线所在直线为旋转轴;2.以正方形对边中点的连线所在直线为旋转轴;3.以八面体相对面的中心的连线所在直线为旋转轴.
解题关键 正确理解旋转轴的概念,对旋转轴所在的位置正确的分类是解决此题的关键.
解析 由对称性结合题意可知,以EF,AC,BD所在直线为旋转轴,此时旋转角α最小为90°;以正方形ABCD,AECF,BEDF对边中点所在直线为旋转轴,共6条,此时旋转角α最小为180°;以八面体相对面的中心所在直线为旋转轴,共4条,此时旋转角α最小为120°.
综上,这个八面体的旋转轴共有13条.
二、填空题
5.答案 ①③④⑤
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是:①矩形,如四边形ACC1A1;③有三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC.故填①③④⑤.
6.答案 4
解析 因为AB=BC=AC=23,所以△ABC的外接圆的半径r=23×33=2,又球心O到平面ABC的距离为32R,所以R2-32R2=22,解得R=4(负值舍去).
三、解答题
7.解析 解法一:如图,设O1、O分别为正方形A1B1C1D1、正方形ABCD的中心,各侧棱的延长线交于点P,连接PO,A1C1,AC,则P、O1、O三点共线.
易知A1O1=12A1C1=12×42=22,
AO=12AC=12×82=42.
又△PA1O1∽△PAO,
所以A1O1AO=PA1PA=12,所以PA=2PA1.
又因为PA=PA1+A1A=2PA1,
所以PA1=A1A=17.
在Rt△PO1A1中,PO1=PA12-A1O12=(17)2-(22)2=3.
又因为PO1PO=A1O1AO=12,所以PO=6,
所以OO1=3.
所以四棱台的高为3.
解法二:如图,在截面ACC1A1中,A1A=CC1=17,A1C1=42,AC=82,过A1作A1E⊥AC,交AC于点E,则A1E就是四棱台的高.
在Rt△A1EA中,AE=12×(82-42)=22,
所以A1E=A1A2-AE2=(17)2-(22)2=3,
即四棱台的高为3.
8.解析 ∵正六棱锥的底面周长为24,
∴正六棱锥的底面边长为4.
在正六棱锥S-ABCDEF中,SB=SC,H为BC的中点,∴SH⊥BC.
∵O是正六边形ABCDEF的中心,
∴SO为正六棱锥的高.
(1)在Rt△SOH中,OH=32BC=23,
∠SHO=60°,∴SO=OH·tan 60°=6.
故正六棱锥的高为6.
(2)在Rt△SOH中,SH=SO2+OH2=4 3.
故正六棱锥的斜高为43.
(3)在Rt△SHB中,SH=43,BH=2,
∴SB=SH2+BH2=213.
故正六棱锥的侧棱长为213.
1.B
2.B
3.C
4.D
7.B
8.A
10.D
11.C
12.ABD
13.B
15.A
16.C
17.D
1.A
2.B
3.A
4.C