第四章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=的定义域是 (　　)A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2)  D.[-1,2)∪(2,+∞)2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 (　　)A.b>a>c  B.a>b>cC.b>c>a  D.a>c>b3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是              (　　)x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2 000 mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为              (　　)A.2 000(1-0.2x) mg B.2 000·0.8x mgC.2 000(1-0.2x) mg    D.2 000·0.2x mg5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<<x2,则实数m的取值范围为              (　　)A.m<4    B.-<m<4C.<m<4 D.-<m<6.函数y=的图象大致为 (　　)7.已知函数f(x)=若f(m)+2f(-m)>0,则实数m的取值范围为 (　　)A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-e)∪(0,e)  D.(-∞,-1)∪(0,1)8.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有 >0成立,则实数a的取值范围是　              (　　)A.(1,+∞)  B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若0<m<n<1,则 (　　)A.log4m<log4n B.3n<3mC.logm3<logn3 D.>10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 (　　)A. f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B. f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.>0D. f<11.设函数y=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是 (　　)A.函数的定义域为RB.函数是增函数C.函数的值域为RD.函数的图象关于直线x=对称12.已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有              (　　)A.y=x2  B.y=C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.log2×log32=　　　　. 14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099)  15.已知x,y∈R,在实数集R中定义一种运算x⊕y=xy+x+y-1,则2⊕4=　　　　,函数f(x)=2x⊕的最小值为　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 16.已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,则实数a的取值范围是　　　　. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算下列各式的值.(1)+(-2 020)0-4×+;(2)log23×log34×log45×log254.           18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x+.(1)求实数m的值,并简要说明函数g(x)的单调性;(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0恒成立,求实数t的取值范围.      19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;(2)若不等式m·[1-f(x)]>+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m的取值范围.       20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 千克.(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?             21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;(2)若∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.       22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=,且函数y=f(x-2)是偶函数.(1)求g(x)的解析式;(2)若不等式g(ln x)-nln x≥0在上恒成立,求n的取值范围;(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k·-9恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.     答案全解全析一、单项选择题1.B　由题意得所以x>-1且x≠2,即f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞),故选B.2.A　c=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故选A.3.C　设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.4.B　由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2 000 mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2 000· (1-20%)x=2 000·0.8x (mg),故选B.5.D　设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f<0,即-(2m-8)×+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-<m<.故选D.6.B　易得函数y=为奇函数,选项C错误;当x>0时,y>0,选项D错误;当x=4时,y=≈=8,选项A错误,故选B.7.D　当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0,即-ln m>0,解得0<m<1.当m<0时,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选D.8.D　∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有>0成立,∴函数f(x)=在R上单调递增,∴解得a∈[4,8),故选D.二、多项选择题9.AD　因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正确;因为y=3x在R上单调递增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B错;取m=,n=,知logm3>logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.故选AD.10.ACD　f(x1+x2)=, f(x1)·f(x2)=·==f(x1+x2),所以A成立; f(x1·x2)=, f(x1)+f(x2)=+≠=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,则 >0,所以C成立;f<说明函数图象是下凹的,而函数f(x)=2x图象是下凹的,所以D成立.故选ACD.11.AD　A正确,∵x2-x+1=+>0恒成立,∴函数的定义域为R;B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数,在x<时是减函数;C错误,由x2-x+1=+≥可得y=ln(x2-x+1)≥ln,∴函数的值域为;D正确,函数的图象关于直线x=对称.故选AD.12.BD　依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.三、填空题13.答案　解析　log2×log32=log23×log32=.14.答案　4.58解析　由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=,∴-0.24t=ln=-ln 3,∴0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.15.答案　13;7解析　由已知得2⊕4=2×4+2+4-1=13.函数f(x)=2x⊕=4+2x+-1=3+2x+≥3+2=7,当且仅当x=1时取等号,所以函数f(x)=2x⊕的最小值为7.16.答案　解析　f(x)=x2-2x+loga 在内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)对于x∈恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略),得解得≤a<1.四、解答题17.解析　(1)+(-2 020)0-4×+=108+1-7+π-3 (4分)=99+π. (5分)(2)原式=log23×(2log32)××log52(9分)=×××=1. (10分)18.解析　(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2. (2分)又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以-2m-1>0,即m<-,所以m=-1,则g(x)=2x-. (4分)因为y=2x与y=-均在R上单调递增,所以函数g(x)在R上单调递增. (5分)(2)易知g(x)的定义域为R.因为g(-x)=2-x-=-=-g(x),所以g(x)是奇函数, (7分)所以不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0可变为g(1-3t)≥-g(1+t)=g(-1-t).              (10分)由(1)知g(x)在R上单调递增,所以1-3t≥-1-t,解得t≤1. (12分)19.解析　(1)依题意得b=1, (2分)由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)因此f(x)=-+1,其定义域为R,且f(-x)=-+1=-+1= f(x),故函数f(x)是偶函数. (6分)(2)不等式m·[1-f(x)]>+1可化为m>,依题意知m>对任意的x∈[-2,2]恒成立. (8分)令y=,x∈[-2,2],则m>ymax, (9分)令t=,当x∈[0,2]时,t∈,y==t+,当t=时,y取得最大值,最大值为; (10分)当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y==t3+t,当t=4时,y取得最大值,最大值为68.  (11分)综上,m的取值范围为m>68. (12分)20.解析　(1)设日销售量q=(25≤x≤40,k为常数),则=100,∴k=100e30, (2分)∴日销售量q=(25≤x≤40), (4分)∴y=(25≤x≤40). (6分)(2)当t=5时,y=, (7分)令y=100e4,则x-25=ex-26, (8分)画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26, (11分)∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元.              (12分)21.解析　(1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则g(x2)-g(x1)=-2a·+9-(-2a·+9)=--2a(-)=(-)(+)-2a(-)=(-)(+-2a), (2分)∵函数y=2x在R上单调递增,∴>,即->0,又+>0,a≤0,∴+-2a>0,∴(-)(+-2a)>0,∴g(x2)>g(x1),∴函数g(x)在R上单调递增. (4分)(2)设t=2x(1≤x≤2),则2≤t≤4,∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,即2a≥t+(t∈[2,4]),令h(t)=t+(t∈[2,4]), (6分)易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,又h(2)=,h(4)=,∴h(t)的最大值为,∴2a≥,即a≥,∴实数a的取值范围为. (8分)(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,∴ (10分)解得3<a<5.∴实数a的取值范围为(3,5). (12分)22.解析　(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,∴g(x)=x-+4(x≠0). (4分)(2)令ln x=t,∵x∈,∴t∈[-2,0),∵不等式g(ln x)-nln x≥0在上恒成立, ∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (6分)∴n≥=-++1(t∈[-2,0)).令z=-++1,=s,则s≤-,z=-6s2+4s+1=-6+≤-,∴n≥-. (8分)(3)令log2(x2+4)=p,则p≥2,方程g(log2(x2+4))+k·-9=0可化为g(p)+k·-9=0,即p-+4+-9=0,即=0.              (10分) ∵函数y=g(log2(x2+4))+k·-9恰好有三个零点,∴方程g(log2(x2+4))+k·-9=0有三个实数根,∴=0有一个根为2,∴k=6,∴p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.由log2(x2+4)=2,得x=0,由log2(x2+4)=3,得x=±2,∴该函数的零点为0,-2,2. (12分)