新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》出门测(含解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)
B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)
C．a＝(3,5)，b＝(6,10)
D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)
答案 B
解析 A中，a＝(0,0)与b＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中a＝(3,5)与b＝(6,10)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中a＝(2，－3)与b＝(4，－6)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．故选B.
2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与eq \(AB,\s\up16(→))平行且方向相反的向量a可能是( )
A．(1，－2) B．(9,3) C．(－1,2) D．(－4，－8)
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up16(→))＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，
d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)
＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
4．若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，sinα))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinα，\f(1,3)))，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案 B
解析 由a∥b，得eq \f(3,2)×eq \f(1,3)－sinαsinα＝0，∴sin2α＝eq \f(1,2)，
∴sinα＝±eq \f(\r(2),2)，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.
5．若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5,7)，(－3,4)，则第4个顶点的坐标不可能是( )
A．(12,5) B．(－2,9) C．(3,7) D．(－4，－1)
答案 C
解析 解法一(估算法)：画草图可知符合条件且在第一象限的点只有一个，且位于点(5,7)的右侧，则该点的横坐标要大于5，所以C不可能．
解法二(向量法)：设第4个顶点坐标为D(m，n)，记A(4，2)，B(5,7)，C(－3,4)．∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→))或eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(CD,\s\up16(→))或eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(DB,\s\up16(→))，∴(1,5)＝(－3－m，4－n)或(1,5)＝(3＋m，n－4)或(－7，2)＝(5－m，7－n)，∴点D为(－4，－1)或(－2,9)或(12,5)，故第4个点坐标不可能为(3,7)．故选C.
二、填空题
6．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
答案 2
解析 ∵a∥b，∴n2－4＝0，∴n＝2或n＝－2，又a与b方向相同，∴n＝2.
7．在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up16(→))＝2eq \(PC,\s\up16(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up16(→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up16(→))＝(1,5)，则eq \(BC,\s\up16(→))＝________.
答案 (－6,21)
解析 eq \(PQ,\s\up16(→))－eq \(PA,\s\up16(→))＝eq \(AQ,\s\up16(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，
所以eq \(AQ,\s\up16(→))＝eq \(QC,\s\up16(→))，所以eq \(PC,\s\up16(→))＝eq \(PQ,\s\up16(→))＋eq \(QC,\s\up16(→))＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．
因为eq \(BP,\s\up16(→))＝2eq \(PC,\s\up16(→))，所以eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(BP,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝3eq \(PC,\s\up16(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2eq \r(2)，且∠AOC＝eq \f(π,4).
设eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))(λ∈R)，则λ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝eq \f(π,4)知，|OE|＝|CE|＝2，所以eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))，即eq \(OE,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝eq \f(2,3).
三、解答题
9. 如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解 设P(x，y)，则eq \(DP,\s\up16(→))＝(x－1，y)，eq \(DB,\s\up16(→))＝(5,4)，eq \(CA,\s\up16(→))＝(－3,6)，eq \(DC,\s\up16(→))＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得eq \(DP,\s\up16(→))＝λeq \(DB,\s\up16(→))＝(5λ，4λ)．
又eq \(CP,\s\up16(→))＝eq \(DP,\s\up16(→))－eq \(DC,\s\up16(→))＝(5λ－4,4λ)，由eq \(CP,\s\up16(→))与eq \(CA,\s\up16(→))共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝eq \f(4,7)，∴eq \(DP,\s\up16(→))＝eq \f(4,7)eq \(DB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,7)，\f(16,7)))，∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,7)，\f(16,7))).
B级：“四能”提升训练
1．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))，连接DC，点E在CD上，且eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(ED,\s\up16(→))，则E点的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,5)，－\f(11,5)))
解析 因为eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))，所以2eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，所以2eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→)).所以eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(BA,\s\up16(→)).
设C点坐标为(x，y)，则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)．所以x＝－5，y＝－2.
所以C(－5，－2)．因为eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(ED,\s\up16(→))，所以4eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \(ED,\s\up16(→)).所以4eq \(CE,\s\up16(→))＋4eq \(ED,\s\up16(→))＝5eq \(ED,\s\up16(→)).所以4eq \(CD,\s\up16(→))＝5eq \(ED,\s\up16(→)).
设E点坐标为(x′，y′)，则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20－5x′＝36，,－15－5y′＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝－\f(16,5)，,y′＝－\f(11,5).))所以E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,5)，－\f(11,5))).
2．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(AB,\s\up16(→))，试问：
(1)t满足什么条件时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解 (1)eq \(AB,\s\up16(→))＝(3,3)，eq \(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，
eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(AB,\s\up16(→))＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－eq \f(2,3).
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－eq \f(1,3).
若点P在第二象限内，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))解得－eq \f(2,3)所以当t＝－eq \f(2,3)时，点P在x轴上；当t＝－eq \f(1,3)时，点P在y轴上；
当－eq \f(2,3)(2)eq \(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，eq \(PB,\s\up16(→))＝eq \(PO,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＝(3－3t,3－3t)，
若四边形OABP为平行四边形，
则eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \(PB,\s\up16(→))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－3t＝1，,3－3t＝2))无解，
所以四边形OABP不能成为平行四边形．