新教材(辅导班)高一数学寒假讲义15《6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义15《6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例》出门测(含解析)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5eq \r(19) m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30 m B．eq \f(15\r(3),2) m C．15eq \r(3) m D．45 m
答案 B
解析 在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5eq \r(19) m，BC＝10 m，由余弦定理，
得cs∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq \f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq \f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2).
又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2).在Rt△ADC中，
AD＝ACsin∠ACD＝15×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),2) (m)．故选B．
2．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )
A．10 km B．eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
答案 D
解析 在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，
得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcs∠ABC＝100＋400－2×10×20cs120°
＝100＋400－2×10×20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝700，
∴AC＝10eq \r(7)，即A，C两地的距离为10eq \r(7) km.
3．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<αA．eq \f(asinα－βsinβ,sinα) B．eq \f(asinαsinβ,sinα－β) C．eq \f(asinα－βsinα,sinβ) D．eq \f(asinα,sinα－βsinβ)
答案 B
解析 如图，在△ABD中，
∠ADB＝α－β，由正弦定理，得eq \f(AD,sinβ)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，即AD＝eq \f(asinβ,sinα－β)，
在Rt△ACD中，CD＝ADsinα＝eq \f(asinαsinβ,sinα－β).
4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A．eq \f(150,7) min B．eq \f(15,7) h C．21.5 min D．2.15 h
答案 A
解析 当时间t<2.5 h时，如图．
∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.
在△BCD中，利用余弦定理，得
CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cs120°＝28t2－20t＋100.
当t＝eq \f(20,2×28)＝eq \f(5,14)(h)，即eq \f(150,7) min时，CD2最小，即CD最小为 eq \r(\f(675,7)).
当t＝2.5 h时，CF＝15×eq \f(\r(3),2)，CF2＝eq \f(675,4)，
当t>2.5 h时，甲、乙两船之间的距离总大于eq \f(675,4).
故距离最近时，t<2.5 h，即t＝eq \f(150,7) min.
二、填空题
5．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km(精确到0.1 km)．
答案 5.2
解析 作出示意图如图．
由题意，知AB＝24×eq \f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，
由正弦定理，得eq \f(6,sin35°)＝eq \f(BS,sin30°)，解得BS≈5.2(km)．
6．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝______.
答案 30°
解析 如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，
∵∠DBC＝30°，∴BC＝10eq \r(3).
由余弦定理，得cs∠ACB＝eq \f(102＋10\r(3)2－102,2×10×10\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴∠ACB＝30°.
7．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10eq \r(3) m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________．
答案 15°
解析 如图，由题意知CA＝BC＝30，DA＝CD＝10eq \r(3)，
设AE＝h，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h＝30sin2θ，,h＝10\r(3)sin4θ，))所以30sin2θ＝10eq \r(3)sin4θ＝20eq \r(3)sin2θcs2θ，
所以2cs2θ＝eq \r(3)，cs2θ＝eq \f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，θ＝15°.
三、解答题
8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．
若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
解 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq \f(\r(3),2).
在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得
BC＝eq \f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq \f(\r(6),4).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcs45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).
∴AB＝eq \f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
9．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解 在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.
由正弦定理，得SB＝eq \f(ABsin20°,sin45°)＝eq \f(16.1sin20°,sin45°)≈7.787(n mile)．
设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(n mile)．
∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．
B级：“四能”提升训练
1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10eq \r(7) n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船．
答案 eq \f(40,3)
解析 如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，
海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10eq \r(7)，AD＝20，CD＝30，
由余弦定理，得cs∠ADC＝eq \f(AD2＋CD2－AC2,2AD×CD)＝eq \f(400＋900－700,2×20×30)＝eq \f(1,2).
∴∠ADC＝60°.
在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，eq \f(20,90)×60＝eq \f(40,3)(min)．
2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
解 如图，设台风中心经过t h到达B点，
由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，
∠SAB＝60°，
由余弦定理，得
SB2＝SA2＋AB2－2SA×ABcs∠SAB
＝3002＋(30t)2－2×300×30tcs60°.
若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，
化简整理，得t2－10t＋19≤0，解得5－eq \r(6)≤t≤5＋eq \r(6).
所以从现在起，经过(5－eq \r(6)) h，S岛开始受到影响，(5＋eq \r(6)) h后影响结束，持续时间：(5＋eq \r(6))－(5－eq \r(6))＝2eq \r(6)(h)．