江西省2022届高考数学一轮复习7.4数列求和课件

这是一份江西省2022届高考数学一轮复习7.4数列求和课件，共52页。PPT课件主要包含了an＝1＋2n－1，ABCD，因为an＝n·2n，基本数列求和公式，三种常见的拆项公式，又b1＝a1＝2，解若选①，解得a1＝192，an＝2n－1，由题设得a1＝2等内容，欢迎下载使用。
2．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
3．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝Sn Sn＋1，
3．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则( 　 　)
4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________．
S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17
＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7) ＋ … ＋(－14＋15) ＋(－16＋17)
＝ 1＋1＋1＋…＋1
5．(易错题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝______________．
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
所以Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
所以2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
(n－1)2n＋1＋2
(2)等比数列求和公式：Sn＝
na1, q=1
2．数列求和的五种常用方法
一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(－1)nf(n)类型，可考虑利用并项法求和．
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
1．在应用错位相减法求和时，要注意观察未合并项的正负号．2．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项．
所以bn＝2＋2(n－1)＝2n.
所以{bn}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
又nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
所以n(n＋1)bn＋1－(n＋1)nbn＝2n(n＋1)，
即bn＋1－bn＝2，
由(1)及题设得，cn＝22n－n＝4n－n，
所以数列{cn}的前n项和Sn＝(41－1)＋(42－2)＋…＋(4n－n)
＝(41＋42＋…＋4n)－(1＋2＋…＋n)
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，
数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，
2．(2020·昆明市三诊一模)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，已知a1＝b1＝1，b4＝64，q ＝2d.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn.
bn＝b1qn－1＝4n－1.
(1)因为b4＝64，所以b1q3＝64，
又b1＝1，所以q＝4.
又q＝2d，所以d＝2.
因为a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
cn＝a2n－1＋b2n＝4n－3＋42n－1.
所以Sn＝(1＋5＋9＋…＋4n－3)＋(4＋43＋…＋42n－1)
[例2] (2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
[例2] (2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；
设{an}的公比为q，
由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
[例2] (2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
记Sn为{nan}的前n项和．
由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.
可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．　
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn
设公比为q(q＞0)，因为数列{bn}是首项为1的等比数列，且bn＞0，b2＋b3＝12，所以q2＋q－12＝0，解得q＝3(q＝－4不合题意，舍去)，所以bn＝3n－1.
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．　
裂项相消法的注意事项　
2．在①数列{an}为递增的等比数列，S3＝7，且3a2是a1＋3和a3＋4的等差中项；②Sn＝2n－1，n∈N*，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
设数列{an}的公比为q，则a1q＝2，
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2020＝(　　)A．22020－1 B．3×21010－3C．3×22021－1 D．3×21009－2
所以a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里．
4．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，则{an}的通项公式为________；设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前n项和为Sn＝________．
设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，
bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1.
即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
则an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
5．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
所以{an}的通项公式为an＝2n.
解：(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2 ＝8.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
解： (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m