江苏省南京市鼓楼区2021_2022学年上学期九年级期末数学试题（word版 含答案）

这是一份江苏省南京市鼓楼区2021_2022学年上学期九年级期末数学试题（word版 含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为
2．一元二次方程x2＋2x＝－1的根的情况是
3．2
下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点， EQ \F(AD,AB)＝ EQ \F(1,3)，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长等于
5．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h (m)与下落时间t (s)之间的函数表达式为h＝ eq \f(1,2)gt 2．其中g取值为9.8 m／s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4 s后落地，则该建筑物的高度约为
6．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为
C
y
x
O
A
B
A．2 EQ \R(,2) B． EQ \F(5,2) C． EQ \R(,5) D． EQ \F(3,2)
A
B
C
D
E
（第4题）
（第6题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若 eq \f(x,y)＝ eq \f(2,3)，则 eq \f(x+y,y)＝ ▲ ．
8．点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．若AB＝2 cm，则AC ＝ ▲ cm．
9．某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为 ▲ ．
10．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为 ▲ °．
11．将二次函数y＝x2+2x－2的图像向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图像函数的表达式为 ▲ ．
A
B
C
D
O
E
（第13题）
（第12题）
样本1：
样本2：
样本3：
1
3
5
1
3
5
5
7
7
9
9
4
6
12．有3个样本如下图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1．正确的序号为 ▲ ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，则OA长为 ▲ ．
A
B
C
D
F
G
E
（第15题）
A
B
C
（第14题）
14．分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边△ABC的边长为2 cm，则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2．
15．如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长DE＝4 m，在点G处测得自己影长DG＝3 m，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为1.6 m，则灯杆AB的高度为 ▲ m．
16．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝ ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列一元二次方程．
（1）x2＝－3x； （2）x2－4 eq \r(2) x＋8＝0．
18．（8分）已知二次函数y＝x2－(m＋2) x＋2m(m为常数)．
（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点；
（2）若m＝0，当x ▲ 时，y随x的增大而减小．
（第19题）
A
B
C
M
N
19．（8分）如图，AB表示窗户的高，AM和BN表示射入室内的太阳光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1 m．已知同一时刻BC在地面的影长CN＝1.5 m， AC在地面的影长CM＝4.5 m，求窗户的高度．
20．（8分）近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）：
（1）该周到馆人数的平均数为 ▲ 人、众数为 ▲ 人、中位数为 ▲ 人；
（2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？
（3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）．
21．（8分）“三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：
（1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－ EQ \F(b,a)，x1·x2＝ EQ \F(c,a)．
23．（8分）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．
（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式；
y
x
A
O
．P
（第23题）
（2）因降暴雨水位上升1 m，此时水面宽为多少（结果保留根号）？
24．（8分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，AB＝AC，BC交⊙O于点D，E是 eq \(\s\up 5( ⌒),AB)的中点．
（1）E
A
求证：∠C＝∠E；
（2）判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
D
C
B
O
（第24题）
25．（8分）
定义：我们把三边之比为1∶EQ \R(,2)∶EQ \R(,5)的三角形叫做奇妙三角形．
（1）初步运用
如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；

第25题图②
第25题图①

所画三角形中最大内角度数为 ▲ °．
（2）再思探究
如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由．
y
C
D
x
A
第25题图③
26．（6分）某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？
（1）分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写下表（用含x的式子表示，并化简）；
（2）解答：
27．（10分）
问题呈现：探究二次函数y＝－x（x－3）＋m（其中0≤x≤3，m为常数）的图像与一次函数y＝x＋2的图像公共点．
问题解决：
（1）问题可转化为：二次函数y＝－x（x－3）（0≤x≤3）的图像与一次函数y＝ ▲ 的图像的公共点．
y
x
O
（2）在下列平面直角坐标系中画出y＝－x（x－3）（0≤x≤3）的图像．
（第27题）
（3）请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．
问题拓展：若二次函数y＝－x2＋m（其中 eq \f(1,2)≤x≤ eq \f(5,4)，m为常数）的图像与一次函数y＝－2x＋2的图像有两个公共点，则m的取值范围为 ▲ ．
九年级期末数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：x2＋3x＝0，
x (x＋3)＝0， 2分
∴ x＝0或(x＋3)＝0．
∴ x1＝0，x2＝－3．4分
（2）解：∵ a＝1，b＝－4 eq \r(2) ，c＝8，
∴ b2－4ac＝8＝0，6分
∴ x＝ EQ \F(4\r(2)±0,2)，
∴ x1＝x2＝2 eq \r(2) ．8分
18．（本题8分）
（1）解：当y＝0时，x2－(m＋2)x＋2m＝01分
∵ b2－4ac＝(m＋2)2－8m
＝(m－2)2≥0，3分
∴ 方程总有两个实数根，
∴ 该二次函数的图像与x轴总有公共点．5分
（2）＜1．（注：≤1不扣分）8分
19．（本题8分）
解：由平行投影可知，AM∥BN．1分
∴ △AMC ∽△BNC．3分
∴ eq \f(AC,BC)＝ eq \f(MC,NC)．5分
∴ eq \f(AC,1)＝ eq \f(4.5,1.5)．
即AC＝3．
∴ AB＝AC－BC＝2．7分
答：窗户的高度是2 m．8分
20．（本题8分）
（1）1200，650，650；3分
（2）不合适．从表中数据来看，周一至周五到馆人数与周末两天相比明显差距较大，它们的平均数差距会较大，所以不能用周一至周五的到馆人数估算该周的平均数．5分
（3）(650＋550＋710＋420＋650＋2320＋3100)÷7×30＝36000(人)
答：估计一个月有36000人到馆．7分
21．（本题8分）
（1） eq \f(1,2)；2分
（2）解：画树状图可得：
开始
第一个 男 女
第二个 男 女 男 女
第三个 男 女 男 女 男 女 男 女4分
所有结果（男，男，男） （男，女，男） （女，男，男） （女，女，男）
（男，男，女） （男，女，女） （女，男，女） （女，女，女）
共有8种结果，它们是等可能的．5分
其中，至少两个孩子是女孩的结果共4种，7分
∴ P（至少有两个孩子为女孩）＝ eq \f(1,2)．8分
22．（本题8分）
解：证法一：
由求根公式可得：x1 ＝ EQ \F(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝ EQ \F(－b－\r(b2－4ac),2a)，1分
∴ x1＋x2＝ EQ \F(－2b＋\r(b2－4ac)－\r(b2－4ac),2a)
＝ eq \f(－2b,2a)
＝－ eq \f(b,a)．3分
∴ x1·x2＝ EQ \F(－b＋\r(b2－4ac),2a)· EQ \F(－b－\r(b2－4ac),2a)
＝ EQ \F(b2－（\r(b2－4ac)）2,4a2)
＝ eq \f(4ac,4a2)
＝ eq \f(c,a)．5分
证法二：
设方程为a(x－x1)(x－x2)＝0，
展开得ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，
∵ ax2＋bx＋c＝0，
∴ －a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c．
∵ a ≠ 0，
∴ x1＋x2＝－ eq \f(b,a)， x1·x2＝ eq \f(c,a)．8分
(其他证法参照给分)
23．（本题8分）
（1）解：∵ 函数图像过原点，
∴ 设抛物线表达式为y＝ax2＋bx，1分
把x＝4、y＝0，x＝3、y＝2代入y＝ax2＋bx得，
eq \b\lc\{(\a\al( 9a＋3b＝2，, 16a＋4b＝0．))2分
解得a＝－ eq \f(2,3)，b＝ eq \f(8,3)，3分
∴ y＝－ eq \f(2,3)x2＋ eq \f(8,3)x．4分
解：当y＝1时，－ eq \f(2,3)(x－2)2＋ eq \f(8,3)＝1，5分
解得：x1＝2＋ EQ \F(\r(10),2)，x2＝2－ EQ \F(\r(10),2)，7分
∴ x1－x2＝ eq \r(10) ．
答：水位上升1 m时，水面宽为 eq \r(10) m．8分
24．（本题8分）
证明：（1）∵ AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C．1分
∵ ∠B和∠E都是 eq \(\s\up 6(⌒),AD)所对的圆周角，
∴ ∠B＝∠E．2分
∴ ∠C＝∠E．3分
（2）四边形ACDE是平行四边形，理由如下：4分
如图，连接AD，连接AO并延长，交⊙O于点F，连接DF，
∵ AF是直径，
∴ ∠ADF＝90°．
∴ ∠F＋∠DAF＝90°．
∵ AC是⊙O的切线，A是切点，
∴ ∠CAF＝90°．
∴ ∠CAD＋∠DAF＝90°．
∴ ∠CAD＝∠F．5分
∵ ∠B和∠F都是 eq \(\s\up 6(⌒),AD)所对的圆周角，
∴ ∠B＝∠F．
∴ ∠B＝∠C＝∠CAD＝∠F．
∵ E是 eq \(\s\up 6(⌒),AB)的中点，
∴ eq \(\s\up 6(⌒),AE)＝ eq \(\s\up 6(⌒),BE)．
∵ ∠ADE和∠EDB是 eq \(\s\up 6(⌒),AE)和 eq \(\s\up 6(⌒),BE)所对圆周角，
∴ ∠ADE＝∠EDB．
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB＝∠C＋∠CAD＝2∠EDB．
∴ ∠EDB＝∠C．
∴ DE∥AC．6分
∵ ∠E＝∠B．
∴ ∠C＝∠B＝∠EDB．
∴ AE∥BD．7分
∵ AC∥ED，
∴ 四边形ACDE是平行四边形．8分
（本题8分）
（1）
其中所画三角形中钝角度数为135°；3分
（2）m值为4，证明如下：4分
在△ABC QUOTE ��ABC \* MERGEFORMAT 中，AC=2EQ \R(,2)，BC=2，AB=2EQ \R(,5)，
在△ABD QUOTE ��ABC \* MERGEFORMAT 中，AB=2EQ \R(,5)，BD=EQ \R(,10)，AD=5EQ \R(,2)，
∴ EQ \F(AC,AB) = EQ \F(BC,BD) = EQ \F(AB,AD)，
∴ △ABC∽ABD，
∴ ∠CAB=∠BAD，即AB平分∠CAD．8分
26．（本题6分）
（1）①40＋4x；②100－4x；③2x；3分
（1）解：设调价后总利润为y元，由题：
y＝（20－x）（40＋4x）＋2x（100－4x），
＝－12（x－10）2＋2000，4分
∵ a＝－12＜0，函数图像开口向下，5分
∴ 当x＝10时，y有最大值2000，
答：最大利润是2000元．6分
27．（本题10分）
（1）x＋2－m． 2分
（2）列表：3分
y＝－x(x－3)
图像：

5分
（3）当1＜m≤2时，有2个公共点；
当m＝1或2＜m≤5时，有1个公共点；
当m＜1或m＞5时，无公共点．8分
（4）1＜m≤ eq \f(17,16)．10分
A．4
B．3
C．2
D．1
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
A．正方体集装箱的体积y m3，棱长x m
B．高为14 m的圆柱形储油罐的体积y m3，底面圆半径x m
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元／斤
D．小莉驾车以108 km／h的速度从南京出发到上海，行驶x h，距上海y km
A．9
B．12
C．18
D．24
A．98 m
B．78.4 m
C．49 m
D．36.2 m
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
人数
650
550
710
420
650
2320
3100
调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品
20－x
① ▲
乙种礼品
③ ▲
② ▲
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
B
C
B
C
7． EQ \F(5,3)
12．②③
8． eq \r(5) －1
13．3.4
9．4.86（1＋x）2＝6
14．2π－3 eq \r(3)
10．120°
15．6.4
11．y＝x2＋4x＋2
16．14.3
x
0
1
1.5
2
3
y＝－x(x－3)
0
2
2.25
2
0