小题压轴题专练4 导数（2）

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1．若关于的不等式在区间，为自然对数的底数）上有实数解，则实数的最大值是
A．B．C．D．
解：因为在区间，上有实数解，所以不等式变形为，
，则，，设，下面求的最大值．
，
，，，则时，，
则在，单调递增；，单调递减，
又（e）；，
（e），则，即实数的最大值是．
故选：．
2．若关于的不等式恒成立，则的最小整数值是
A．0B．1C．2D．3
解：若关于的不等式恒成立，
问题等价于在恒成立，
令，则，
令，，则，故在递减，
不妨设的根是，则，则时，，递增，
，时，，递减，，
（1），（2），，，
，的最小整数值是1，
故选：．
3．已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为
A． B．1 C．D．无最小值
解：由函数，画出图象：
（a）（b）（c），，
由图可知：．，，．
则．．
设．．
，
可得函数在上单调递减，在，上单调递增．
．
故选：．
4．函数在上的零点个数为
A．1B．2C．3D．4
解：由已知得在上的零点，由于不是零点，所以问题即转化为的根，也就是与在上图象交点的横坐标．
的图象容易画出．
令，，
显然时，，故在上是减函数；当时，，故在上是增函数．
且，时，；时，；（1），．
同一坐标系画出，在上的图象：
可见，与有且只有两个交点，故在上的零点个数为2个．
故选：．
5．已知函数，为自然对数的底数），，使得成立，则实数的最小值为
A．1B．C．2D．
解：，为自然对数的底数），，使得成立，即，使得成立，
即，使得成立．
令，则，
，，
在上单调递增，
又，（1），
，使得，此时取得极小值，也是最小值．
令，则，即．
，即，
，实数的最小值为1，
故选：．
6．已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
解：由可得，
设，，，则，令，在单调递减，在单调递增，
故（1）．
①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，
（1），此时在区间内无零点；
②当时，（1），此时在区间内有零点；
③当时，令，解得或1或，且，
此时在单减，，单增，单减，，单增，
当或时，，此时在区间内有两个零点；
综合①②③知在区间内有零点．
故选：．
7．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，
令，，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故选：．
8．设函数，，，为的导函数．若和的零点均在集合，0，中，则
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．极小值为0D．最大值为4
【解答】解：，，，
，
令得：或；
得：，或；
由知，和的零点构成的集合为，，，
又和的零点均在集合，0，中，
①若，，则，不符合题意，舍去；
②若，，则，不符合题意，舍去；
③若，，则，不符合题意，舍去；
④若，，则，不符合题意，舍去；
⑤若，，则，不符合题意，舍去；
⑥若，，则，符合题意；
故，
令，得：或；
，得：；
为极小值点，，排除；
为极大值点，，排除；
在区间上单调递减，排除；
在，单调递增，，，
故在上单调递增，正确；
故选：．
9．已知函数，若对于任意的，函数在，内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
解：函数在，内都有两个不同的零点，等价于方程在，内都有两个不同的根．
，
所以当时，，是增函数；
当，时，，是减函数，
因此．
设，，
若在，无解，则在，上是单调函数，不合题意；所以在，有解，且易知只能有一个解．
设其解为满足，
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数．
因为任意的方程在，有两个不同的根，所以：
②；
①，所以．因为，所以，
代入，得．
设，，
所以在上是增函数，而（1），由，
可得（1），得．
由在上是增函数，得．
综上所述，
故选：．
10．已知函数有两个零点，，则下列说法错误的是
A．B．
C．有极大值点，且D．
解：由，可得，
当时，，在上单调递增，与题意不符；
当时，可得当，解得：，
可得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得当时，取得极大值点，
又因为由函数有两个零点，，
可得，可得，综合可得：，故正确；
由上可得的极大值为，设，
设，其中，可得，
可得，
可得，
易得当时，，
当，，故，，故，
，
由，易得，且，
且时，，单调递减，故由，
可得，即，即：有极大值点，且，
故正确，不正确；
由函数有两个零点，，可得，，
可得，，可得，
由前面可得，，可得，故正确．
故选：．
多选题
11.已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则整数可以为
A．4B．5C．6D．7
解：由题若对于任意的，都有，则有在恒成立，只需，
，令，，在上单调递增，
又由（3），（4），
满足，即有，
此时在上单调递减，在，上单调递增，
所以，
，故选：．
12．已知函数，则以下结论正确的是
A．函数的单调减区间是
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
解：对于选项，，定义域为，，
令，则，函数的单调减区间是，即选项正确；
对于选项，恒成立，即函数在上单调递减，
（1），（2），存在唯一的，使得，即选项正确；
对于选项，若，则．
令，则，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（1），即，
在上单调递减，无最小值，
不存在正实数，使得成立，即选项错误；
对于选项，令，则，，
设，
，在上单调递减，
，即．
令，，若，则成立，满足题意；
若，显然有成立．综上可知，选项正确．
故选：．
13．定义在上的函数满足，（1），则下列说法正确的是
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．（1）
解：对，，且，可得：
可得： 故 为常数
（1） 可得：（1） 求得：
故： 整理可得：
当，即 解得：，此时 单调递增，
当，即， 解得：
当，即 解得：，此时 单调递减
取得极大值， 故错误；
对，， ，
画出 草图：如图
根据图象可知： 只有一个零点，故说法正确；
对，要保证 在 上恒成立
即：保证 在 上恒成立
，可得 在 上恒成立 故只需，
令，，
当时， 当时，
当时， ，
，故 说法正确，
对，根据 单调递增， 单调递减，
，可得，
又，
又，
根据，
，故：，故说法正确．
综上所述，正确的说法是：．
故选：．
14．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
解：令，得，令，得，
则点、，如下图所示：
由图象可知，，其中，令，则，
则函数单调递增，且，当时，，当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增，
，选项正确；
，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，则满足方程，
使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，由于，（1），
则存在，使得，可得，
当时，；当时，．
，
函数没有零点，选项错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
，消去得，
令，则，
函数在上为减函数，（1），，
则存在，使得，且．
当时，，当时，．
函数在上为减函数，，，
由零点存 定理知，函数在上有零点，
即方程有解．
使得曲线在点处的切线也是曲线的切线．
故选：．
填空题
15．已知函数，，对任意的，，，都有成立，则实数的取值范围是 ， ．
解：，，
令，解得：，令，解得：或，
故在，递减，在，递增，在，递减，
而（1），
故（1），
若对任意的，，，都有成立，
则只需即可；，，
①时，，在，递增，
，
故，解得：（舍，
②时，令，解得：，令，解答：，
故在递减，在递增，
故（a），故，即，
解得：，
故答案为：，．
16．若关于的不等式恒成立，则的最大值是 ．
解：由，，原不等式可化为恒成立，
设，则，
当时，，递增；，，，递减
所以，在处取得极大值，且为最大值；
且时，．结合图象可知，的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；
当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，所以取得最大值为．
此时，，直线与在点处相切，的最大值为．
故答案为：．
17．若对任意实数，，恒成立，则 ．
解：设，则．
当，即时，，则在，上单调递减，
故，解得，所以不符合题意；
当，即时，在上单调递减，
在，上单调递增，则．
因为，所以．
令，不等式可转化为，
设，则，
令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增；
当时，有最小值0，即，
因为，所以，此时，故．
故答案为：．
18．已知方程的两根为，，且曲线在处的切线斜率等于，则，，1，2，的最小值是 1 ．
解：不防设，对函数求导得．
又，整理得，
令，，易知，．
所以，所以，
令，则，由得．
所以时，，是减函数；时，是增函数．
又令．容易得到
所以函数在上递增．
，所以．
所以，所以．
因为函数在上递增，则，即，
下面再证，令，所以，
由得，当时，，递减；时，，递增．
函数的最小值为．所以恒成立．
又因为可得．
即，所以（1），当且仅当时取等号．
因为函数在上递增，所以，即．
所以，，1，2，的最小值为1．
故答案为：1