高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理教学ppt课件

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6.1　余弦定理与正弦定理
b2＋c2－2bccs A　
c2＋a2－2cacs B　
a2＋b2－2abcs C　
说明：余弦定理的理解：(1)适用范围：任意三角形．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化．思考1：余弦定理与勾股定理之间有何联系？提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
思考2：(1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形，你认为余弦定理可以用来求解哪类三角形？(2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢？提示：(1)①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．(2)当条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cs A等，可以考虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)余弦定理仅适用于非直角三角形．(　　)(2)在△ABC中，若c2>a2＋b2，则△ABC为钝角三角形．(　　)(3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解．(　　)
[归纳提升]　已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
在△ABC中，abc＝357，求其最大内角．[分析]　由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．
[归纳提升]　已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs Bcs C，试判断△ABC的形状．[分析]　利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[解析]　已知等式变形为b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs B·cs C，∴b2＋c2＝b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs B·cs C，∵b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs Bcs C＝(bcs C＋ccs B)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
[归纳提升]　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【对点练习】❸　在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状．
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC面积的最大值．
[归纳提升]　1．利用余弦定理求三角形面积的步骤(1)依据已知条件，先确定应该求出哪个量．(2)选择相应的边及相应的角，利用余弦定理求出所需要的量．(3)利用面积公式求解．2．求三角形面积的注意点一是注意选择哪个三角形面积公式；二是要注意三角形内角和定理的应用．
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　)A．60°B．45°C．120°D．30°
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.