刻画空间点、线、面位置关系的公理PPT课件免费下载

北师大版 (2019)高中数学必修 第二册课文《刻画空间点、线、面位置关系的公理》,完整版PPT课件免费下载，优秀PPT背景图搭配，精美的免费ppt模板。轻松备课，欢迎免费下载使用。

§3 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、【课程的主要内容】

3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、定理)
(1)异面直线的定义和理解①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线．②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．(2)异面直线的表示为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图：
思考1：没有公共点的两条直线一定是平行直线吗？提示：没有公共点的两条直线也可能是异面直线．思考2：异面直线就是在两个不同平面里的两条直线，这种说法正确吗？
定理：如果空间中两个角的两条边分别________，那么这两个角相等或互补．思考3：当两个角的两边分别对应平行，这两个角什么时候相等，什么时候互补呢？
提示：如图：①两个角的两条边分别平行，并且方向相同(如图1)时，两个角相等；②两个角的两条边分别平行，并且方向相反(如图2)时，两个角相等；③两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反(如图3)时，两个角互补．
如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的__________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)．若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条直线________，记作a⊥b.

二、【难点攻克】

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行．( )(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．( )(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．( )(4)两条异面直线一定在两个不同的平面内．( )(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )
[解析] (1)垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面．(2)分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面．(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c可能是异面直线，也可能共面．
2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面[解析] ∵a∥α，∴a与α无公共点，又∵b⊂α，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面．
3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是_______.[解析] 连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AEEB＝AFFC，则EF与B1C1的位置关系是______.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C．(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

三、【拓展探究】

【对点练习】❶ 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A．4B．5C．6D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
[归纳提升] 证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
【对点练习】❷ 如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
[解析] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．求证：
【对点练习】❸ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
[归纳提升] 求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
【对点练习】❹ 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角．
[解析] 连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．因为BC1＝A1C1＝A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.

四、【课堂练习】

1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( )A．共面 B．平行C．异面D．平行或异面[解析] 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．
2．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )A．3条B．4条C．5条D．6条[解析] EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1．
5．如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是______.
[解析] ①中GH与MN平行，③中GM∥HN, 所以GH与MN共面，②④中GH与MN为异面直线．