小题压轴题专练2 函数的零点（2）

这是一份小题压轴题专练2 函数的零点（2），共21页。试卷主要包含了已知函数，，则方程的实根个数为，已知，且，，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

1．已知函数，，则方程的实根个数为
A．2个B．3个C．4个D．5个
解：方程，
，．
（1）分别画出，的图象．
由图象可得：时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点．
（2）分别画出，的图象．
由图象可知：时，两图象有一个交点．
综上可知：方程实数根的个数为4．
故选：．
2．已知，且，．若关于的方程有三个不等的实数根，，，且，其中，，为自然对数的底数，则的值为
A．B．C．1D．
解：恒成立，可设，
满足，
满足，，
再令，，可得时，，函数递减；时，，函数递增，可得函数在处取得最大值，且为，
由关于的方程有三个不等的实数根，，，
且，可得有两个不等实根，，
且，，且，
可得，
故选：．
3．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，，D．，
解：，可得，
由题意可得函数有且只有零点0，
，，，
可得，
设，，
当时，设，
，
可得在递增，即有，
可得，即在递增，
由，，
设，，
可得，即有恒成立；
当，可得，
可得，，即在递增，
由，且，
可得，即有恒成立．
可得实数的取值范围为或．
故选：．
4．函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为
A．，B．C．，D．
解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：
函数 与函数只有唯一一个交点，
（1），（1），
函数 与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数 与函数的大致图象如图：
要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），
（1），（1），，解得，
又，实数的范围为，．故选：．
5．已知函数，若函数在区间，内有3个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．或D．或
解：当时，，
当时，，
当时，，此时，
当时，，此时
，
当时，，此时
，
当时，，此时
，
当时，，此时
，
由，得
，
设，，，
作出在，上的图象如图：
要使与有三个交点，则或，即或，
即实数的取值范围是或，
故选：．
6．定义在上的奇函数满足，当时，，且时，有，则函数在，上的零点个数为
A．9B．8C．7D．6
解：当时，，
是奇函数，，
当时，有，
（2），（4）（2），
若，则，则，
即，
即当时，，
当时，，此时，
当时，，此时，
由，得：
当时，由，即是的一个零点，
当时，由得，即，
作出函数与在，，上的图象如图：
由图象知两个函数在，上共有7个交点，加上一个，
故函数在，上的零点个数为8个，
故选：．
7．已知函数，则方程的实数根个数不可能
A．5个B．6个C．7个D．8个
解：如图所示：函数，即．
因为当时，求得，或，或1，或3．
则①当时，由方程，可得，或，或1，或3．
又因为，或，
所以，当时，只有一个 与之对应，其它3种情况都有2个值与之对应．
故此时，原方程的实数根有7个根．
②当时，与有4个交点，故原方程有8个根．
②当时，与有3个交点，故原方程有6个根．
综上：不可能有5个根，
故选：．
8．有两个零点，，有两个零点，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
解：由得，则，则方程的两个根为，，
由得，则方程的两个根为，，
由，得，即，即，
得，或，
当时，，当时，，
当时，，
做出函数和的图象如图：
要使与的交点横坐标，和
与交点的横坐标，，
满足，则直线必须在和之间，即，
即实数的取值范围是，
故选：．
9．关于的方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围
A．B．C．D．
解：依题意可知，，由方程有四个根，所以函数与的图象有四个交点，
由图可知，，，，解得，
由解得；
由解得；
所以
设，，
，
即，，所以的取值范围是，．
故选：．
10．已知函数，．若函数恰有两个非负零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
解：显然，满足，因此，只需再让有另外一个唯一正根即可．
，即为．作出，图象如下：
说明：射线与线段是的部分图象，因为要分三种情况分析，故的图象作了三个（只做出轴右侧部分），分别对应①、②、③．
（1）对于第一种情况：因为，所以当（如图象①与在，上的图象有交点时，只需（1）即可；
（2）对于第二种情况：（图象②与在，上的图象切于点，
设切点为，因为，则，解得；
（3）当（图象③与相交于点，且满足（2），即时，只需，时，恒成立即可．
所以，，恒成立即可，且只能在处取等号，即，，在，上恒成立，故在，上递增，所以（3），．故此时即为所求．
综上可知，的范围是．
故选：．
多选题
11．已知函数为自然对数的底数），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的值不可能为
A．B．C．6D．
解：设，可得，即有为偶函数，
由题意考虑时，有两个零点，
当时，，，
即有时，，
由，可得，
由，相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，，可得，解得或（舍去），
即有切线的斜率为，
由图象可得时，直线与曲线有两个交点，
综上可得的范围是，不可能是，，
故选：．
12．定义在上的函数满足，且当时，，记集合，若函数在时存在零点，则实数的取值可能是
A．B．C．D．
解：令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，在，上单调递减，在上单调递减．
存在，得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，要使在时有一个零点，
只需使，解得的取值范围为，，
故选：．
13．关于函数，，下列结论正确的有
A．当时， 在，处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有且只有一个零点
解：，则，
当时，，则，
因为，所以切线过点，斜率为2，所以切线方程为，故正确；
：由可知，当时，，，
作出和的图象，如图所示：
由图易知：存在使得，
故当时，，是单调递减的；
当，时，，是单调递增的，
所以存在唯一的极小值点，故正确；
，，，令，即，
当时，，上式显然不成立，
故上述方程可化为，令，则，
令，则，所以当时，单调递减；
当时，单调递增，存在极小值，
时，单调递增；时，单调递减，
存在极大值，故选项中任意均有零点错误，
选项中存在有且仅有唯一零点，此时，正确．
故选：．
14．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．的最小值为10
解：作出的图像如下：
若时，，
令，得，即或，
所以或，解得或，
令，得，即或，
所以或，解得或
若时，，令，得，解得或，
令，得，即，解得，
当时，有四个实数根，故正确，
由图可知，，，，
对于选项，有4个根，故正确．
对于选项：因为，所以当，，即，
当，，即，故错误，
对于选项：因为，所以，所以，故错误，
对于选项：令，由于，，
则，，
所以
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为10，故正确．
故选：．
填空题
15．已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：由题得函数的图象和直线有六个交点，显然有，，
当时，，
函数在单调递减，在单调递增，且，
由题得，，，三点的高度应满足或，所以或，
，，或，综合得．
故答案为：．
16．已知函数为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数的取值范围是 ．
解：由，
当时，由零点存在性定理可知，，使得方程成立；
当时，令，则且，
令且，则，
当且时，，
又当或时，，，
此时在和，上单调递减；
当时，，，此时单调递增，
（1），且极小值唯一，
要使有两个不同零点，只需函数与有两个交点，
（1），
的取值范围为．
17．已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
解：因为方程，所以变形为，
令，则有，
因为在上单调递增，所以即为，
故当时，有两个不相等的实数根，
在中，则有，即，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
18.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是 ．
解：若函数有四个零点，需和有四个交点，
当时，作出函数和的图象如下图所示，
直线恒过定点，
设于相切于点，，则，，
由，得，所以，解得，
即当时，函数与有两个交点，
当时，若与有两个交点，需有两个不相等的实根，
当时，无解；
当时，，
由对勾函数图象可得，当，即时，与有两个交点，
故与有两个交点，
综上可得，当时，函数有四个零点．
故答案为：．