小题压轴题专练3 导数（1）

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1．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
解：求导函数，
当时，为，函数在上单调减，在上单调增，满足题意；
当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数
在其定义域的一个子区间内有正也有负


，，，，解得
综上知，
故选：．
2．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
解：函数是定义在上的连续函数，，
令，则，
为常数），
函数是连续函数，且在处存在导数，
，，，
，，
，
令，则，
令，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
当时，，，使，
又，函数在的两个零点，分别为和0，
当时，令，则，
当时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
在上有极小值，无极大值．
故选：．
3．设函数为自然对数的底数），当时恒成立，则实数的最大值为
A．B．C．D．
解：为自然对数的底数），当时恒成立，
，
当时，即时，，
设，，
，
令，解得，
当，时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
当时，即时，，
由，令，解得或，
当时，，函数单调性递增，
当或时，，函数单调递减，
，，当时，恒成立，
综上所述的取值范围为，，故最大值为，
故选：．
4．已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是
A．B．，C．D．，
解：的定义域是，
．
时，．
令，，解得．
时，，
函数在上单调递减，
时，，
函数在上单调递增，
时，函数取得最小值；最小值是，
①当时，由于，故函数只有1个零点，
②当时，由于，即，故函数没有零点，
③当时，，即，
又，
故函数在上有1个零点，
设正整数满足，
则，
由于，故函数在上有1个零点，
综上，的取值范围是，
故选：．
5．若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为
A．B．C．D．
解：函数，
故函数的定义域是，关于原点对称，
且，
故函数是定义在上的奇函数，
且满足恒成立，
故，
由，，（当且仅当时“”成立），
故函数在单调递增，
由，故，
即，
令，
欲使恒成立，则恒成立，
，
且函数的定义域是，关于原点对称，
故函数是定义在上的偶函数，
故要求解在上的最大值，只需要求解函数在，上的最大值即可，
当，时，，
故，
故当，时，，则，在，上递增，
当时，，则，在递减，
故（1），
故，故的取值范围是，，
故选：．
6．已知函数有两个零点，，且，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
解：，时，在恒成立，
此时在上单调递减，不合题意；
当时，由，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，单调减区间为，单调增区间为，
可知当时，函数取得极小值为，
又当时，，时，，
要使函数有两个零点，则，
得，故错误；
由，极小值点，可得，
，是的两个零点，
，．
可得，．
故，故错误；
由，
设，则，为的两个零点，
得在上单调增，在上单调减，
，故错误；正确．
综上，正确；
故选：．
7．已知函数满足：，，且则的取值范围是
A．B．C．D．
解：由题得，
所以，令，
故，，
，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，所以在，上单调递减，
所以由，得，
令，是一个增函数，（1），
所以，
故选：．
8．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当，时，．若关于的不等式对，恒成立，则的取值范围是
A．B．，，
C．，D．，
解：因为函数满足：当时，恒成立且对任意都有，
则函数为上的偶函数且在，上为单调递增函数，且有，
所以在上恒成立对，恒成立，
只要使得定义域内，由于当，时，，
求导得：，该函数过点，，，，，
且函数在处取得极大值，在处取得极小值（1），
又由于对任意的都有成立，
则函数为周期函数且周期为，
所以函数在，的最大值为2，
所以令解得：或．
故选：．
9．已知函数的定义域为，且函数的图象关于轴对称，当时，（其中是导函数），若，，．则，，的大小关系是
A．B．C．D．
解：函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，
函数为上的偶函数，
当时，（其中是的导函数），
，令，则，
，当，时，，，
，当，时，，，
，时，，
函数在时单调递增，
，（2），，
，．即．
故选：．
10．已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意的恒成立．则当取最大值时，的值为
A．B．C．D．
解：由于．
此不等式对任意恒成立，
则需要保证．
令，则
从而，从而．
另一方面，当，时，即为，
设，则得，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
即，可使不等式恒成立，
从而可取．
综合上述，当取最大值时，．
故选：．
多选题
11．已知函数，则下列说法正确的是
A．函数的单调递减区间是
B．函数有一个零点，则
C．存在正实数，使得成立
D．对任意的，，，都有
解：对于选项，，定义域为，
，令，则，
函数的单调减区间是，故正确；
对于选项，函数有1个零点，
即方程有1个根，令，
所以，
令，
，
令，可得，令，可得，
所以（e）．
所以，即，
所以在上单调递减，且，
所以若函数有一个零点，则，即选项正确；
对于选项，若，则，
由选项可知无最小值，
所以当时，不存在使得，即选项错误；
对于选项，，，
时，，故是凹函数，
故，故选项错误；
故选：．
12．已知是奇函数，当时，，（1），则
A．（4）（3）B．
C．（4）D．
解：根据题意，设，
其导数，
又由当时，，即，
则当时，有，
即在区间上为增函数，
依次分析选项：
对于，在区间上为增函数，有（4）（3），即，
变形可得（4）（3），
则有（4）（3）（3），正确，
对于，在区间上为增函数，有（4）（2），即，
变形可得（4）（2），即，
则有（2），错误，
对于，在区间上为增函数，有（4）（1），
即，
变形可得（4），正确，
对于，由的结论，（4），即，变形可得，
而，
则有，正确；
故选：．
13．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数 在 0， 上单调递减
B．函数 在上有极小值
C．方程 在上只有一个实根
D．方程在上有两个实根
解：因为，所以，
当，即，所以，
所以，，
所以，，
当时，，当时，；
当，即，所以，
所以，，
所以，，
当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，故正确；
又因为当时，，，时，，
所以在处取得极小值，故正确；
因为，，，所以在上不只有一个实数根，故错误；
因为方程，即，
所以，所以，
正切函数在上单调递增，
，，当时，时，，当时，，
且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示：
由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，故正确．
故选：．
14．已知函数，则
A．当时，在上单调递增
B．当时，在，处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在上均存在零点
解：当时，，．
当时，恒成立，在上单调递增，故正确；
，而，
在，处的切线为，故错误；
当时，，，恒成立，则单调递增，
又，，故存在唯一极值点，
不妨设为，，则，即，
，，故正确；
对于选项，，，令，即，
当，且时，显然没有零点；
，令，，令，解得，，，
时，单调递减，，时，单调递增，
有极小值．
时，单调递增，，时，单调单调递减，
有极大值，故选项错误．
故选：．
填空题
15．已知函数，若存在实数，，满足时，成立，则实数的最大值为 ．
解：由，，
令，则，，
显然在，单调递减，
（1），
令（1），，
，，则，
（1）单调递减，
（2），
实数的最大值为，
故答案为：．
16．设，是正实数，函数，，若存在，，使成立，则的取值范围为 ， ．
解：设，存在，，使成立，
，，即，
，
，，，，
令，即当时，单调递增，
当时，，单调递减，
若，即，时，在，上单调递减，
（b），对，恒成立，
若当，即，时，在，上先减后增，
，，，即，
综上所述，的取值范围为，，
故答案为：，．
17．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为 ．
解：令，则（当时，满足，
从而在，上单调递增，
所以当时，，
从而当时，；
当时，（当时取等号），
又当时，，即，
所以在，上单调递增，
由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；
不等式．
令，则原问题等价于有解，从而，
，
在上单减，在上单增，
，
所以的最小值为．
18．已知函数，则下述四个结论正确的是 ②④ ．
①的图象关于轴对称；
②是的一个周期：
③在，上单调递减；
④的值域是，．
解：因为，，所以函数是奇函数，所以①不正确；
因为，所以函数的周期为：，所以②正确；
函数，，
令，可得，当，，函数是增函数；，，函数是减函数，所以③错误；
函数，看作为与连线的斜率，
即圆心为原点的单位圆上的点与所在的直线的斜率的取值范围，故，故④正确；
故答案为：②④．