【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的图象与性质

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一、选择题（共29小题；共145分）
1. 函数 y=2x−1ex 的图象大致是
A. B.
C. D.

2. 已知函数 y=fx，其导函数 y=fʹx 的图象如图所示，则 y=fx
A. 在 −∞,0 上为减函数B. 在 x=0 处取极小值
C. 在 1,2 上为减函数D. 在 x=2 处取极大值

3. fʹx 是函数 y=fx 的导函数，y=fʹx 的图象如图所示，则 y=fx 的图象最有可能是
A. B.
C. D.

4. 已知函数 y=xfʹx 的图象如下图所示，则函数 y=fx 的图象大致是
A. B.
C. D.

5. 设函数 fx=lnx,x>0exx+1,x≤0．若函数 gx=fx−b 有三个零点，则实数 b 的取值范围是
A. 1,+∞B. −1e2,0
C. 1,+∞∪0D. 0,1

6. 下列不等式中正确的是
① sinxA. ①③B. ①②③C. ②D. ①②

7. 若函数 fx=x3−3x+a 在 0,2 上有 2 个零点，则 a 的取值范围为
A. −2,2B. 0,2C. −2,0D. 0,2

8. 函数 fx=ex3x 的部分图象大致为
A. B.
C. D.

9. 已知函数 fx=lnx−ax2+x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,1B. 0,1C. −∞,1+ee2D. 0,1+ee2

10. 如图，点 A2,1，B3,0，Ex,0x≥0，过点 E 作 OB 的垂线 l．记 △AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S=fx 的图象为下图中的
A. B.
C. D.

11. 方程 x3−6x2+9x−10=0 的实根个数是
A. 3B. 2C. 1D. 0

12. 设函数 fx=ex+x−2，gx=lnx+x2−3．若实数 a，b 满足 fa=0，gb=0，则
A. ga<0C. 0
13. 若函数 fx=x3−3x+a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
A. −2,2B. −2,2C. −∞,−1D. 1,+∞

14. 设函数 fx=ax2+bx+ca,b,c∈R．若 x=−1 为函数 fxex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=fx 的图象是
A. B.
C. D.

15. 设函数 fʹx 为函数 fx=xsinx 的导函数，则函数 fʹx 的图象大致为
A. B.
C. D.

16. 设函数 fx=ax+bx2+c 的图象如图所示，则 a，b，c，的大小关系是
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>a>b

17. 已知函数 fx=14x2+csx，fʹx 是函数 fx 的导函数，则 fʹx 的图象大致是
A. B.
C. D.

18. 已知函数 fx 的定义域为 −1,4，部分对应值如下表：
x−10234fx12020fx
的导函数 y=fx 的图象如图所示，当 1A. 1B. 2C. 3D. 4

19. 已知三次函数 fx=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则 fʹ−3fʹ1=
A. −1B. 2C. −5D. −3

20. 函数 fx 满足 f0=0，其导函数 fʹx 的图象如图所示，则 fx 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为
A. 13B. 43C. 2D. 83

21. 已知函数 fx=ax3−3x2+1，若 fx 存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的取值范围是
A. 2,+∞B. 1,+∞C. −∞,−2D. −∞,−1

22. 方程 x3−6x2−15x−10=0 的实根个数是
A. 3B. 2C. 1D. 0

23. 已知过点 Aa,0 作曲线 C：y=x⋅ex 的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,−4∪0,+∞B. 0,+∞
C. −∞,−1∪1,+∞D. −∞,−1

24. 函数 y=2x2−e∣x∣ 在 −2,2 的图象大致为
A. B.
C. D.

25. 点 P 在函数 y=ex 的图象上．若满足到直线 y=x+a 的距离为 2 的点 P 有且仅有 3 个，则实数 a 的值为
A. 22B. 23C. 3D. 4

26. 已知函数 fx=ex+x2+lnx 与函数 gx=e−x+2x2−ax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为
A. −∞,−eB. −∞,1eC. −∞,−1D. −∞,12

27. 已知 fx 是定义在 0,+∞ 上的单调函数，且对任意的 x∈0,+∞，都有 ffx−lg2x=3，则方程 fx−fʹx=2 的解所在的区间是
A. 0,12B. 12,1C. 1,2D. 2,3

28. 若关于 x 的方程 ∣x4−x3∣=ax 在 R 上存在 4 个不同的实根，则实数 a 的取值范围为
A. 0,427B. 0,427C. 427,23D. 427,23

29. 设函数 y=fx 的定义域为 D，若对于任意的 x1，x2∈D，当 x1+x2=2a 时，恒有 fx1+fx2=2b，则称点 a,b 为函数 y=fx 图象的对称中心．研究函数 fx=x3+sinx+1 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 f−2015+f−2014+f−2013+⋯+f2014+f2015=
A. 0B. 2014C. 4028D. 4031

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 已知函数 fx=exx3，则下列结论正确的是
A. fx 在 R 上单调递增
B. flg52C. 方程 fx=−1 有实数解
D. 存在实数 k，使得方程 fx=kx 有 4 个实数解
答案
第一部分
1. A【解析】因为 x 趋向于负无穷时，y=2x−1ex＜0，所以C，D错误；
因为 yʹ=2x+1ex，所以当 x＜−12 时，yʹ＜0，所以A正确，B错误．
2. C【解析】由导函数图象知，y=fx 在 −∞,0 和 2,4 上单增，在 0,2，4,+∞ 上单减，在 x=0 处取极大值，在 x=2 处取极小值．
3. C
4. C
5. D
【解析】令 gx=fx−b=0，函数 gx=fx−b 有三个零点等价于 fx=b 有三个根．
当 x≤0 时，fx=exx+1，则 fʹx=exx+1+ex=exx+2，
由 fʹx<0 得 exx+2<0，即 x<−2，此时 fx 为减函数，
由 fʹx>0 得 exx+2>0，即 −2即当 x=−2 时，fx 取得极小值 f−2=−1e2，
作出 fx 的图象如图，
要使 fx=b 有三个根，则 06. B【解析】对于①，令 y=sinx−x，x∈0,+∞，
则 yʹ=csx−1≤0 恒成立，
则 y=sinx−x 在 x∈0,+∞ 上单调递减，所以有 y<0 恒成立，
所以 sinx对于②，令 y=ex−x−1，x∈R，
则 yʹ=ex−1，
当 x<0 时，yʹ<0，当 x>0 时，yʹ>0，
所以函数 y=ex−x−1 在 −∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增，
所以在 x=0 处取得最小值，
所以 y≥e0−0−1=0，
所以 ex≥x+1，x∈R 成立，所以②正确；
对于③，令 y=lnx−x，x∈0,+∞，则有 yʹ=1x−1=1−xx，
当 00，当 x>1 时，yʹ<0，
所以函数 y=lnx−x 在 x=1 时取得最大值，即 y=lnx−x≤0−1<0，
所以 lnx综上可得，正确不等式的序号是①②③．
7. D【解析】由 fx=0 得 a=−x3+3x，
设 gx=−x3+3x，0≤x<2，
则函数 fx=x3−3x+a 在 0,2 上有 2 个零点等价于直线 y=a 与函数 gx 的图象有两个交点，
又 gʹx=−3x2+3，
当 0≤x<1 时，gʹx>0；当 1则函数 gx 在 0,1 为增函数，在 1,2 为减函数，
所以 gxmax=g1=2，
又 g0=0，g2=−2，
又函数 fx=x3−3x+a 在 0,2 上有 2 个零点，
则 a 的取值范围为 0,2．
故选：D．
8. C
9. B【解析】依题意，关于 x 的方程 ax−1=lnxx 有两个不等的正根．
记 gx=lnxx，则 gʹx=1−lnxx2，
当 00，gx 在区间 0,e 上单调递增；
当 x>e 时，gʹx<0，gx 在区间 e,+∞ 上单调递减，且 ge=1e，
当 0设直线 y=a1x−1 与函数 gx 的图象相切于点 x0,y0，则有 a1=1−lnx0x02,a1x0−1=lnx0x0,
由此解得 x0=1，a1=1．
结合直线 y=ax−1（该直线过点 0,−1，斜率为 a）与函数 gx 的大致图象可知，要使直线 y=ax−1 与函数 gx 的图象有两个不同的交点，则 a 的取值范围是 0,1．
10. D
【解析】函数的定义域为 0,+∞，当 x∈0,2 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越大，即斜率 fʹx 在 0,2 内大于 0 且越来越大，因此，函数 S=fx 的图象是上升的且图象是下凸的；
当 x∈2,3 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越小，即斜率 fʹx 在 2,3 内大于 0 且越来越小，因此，函数 S=fx 的图象是上升的且图象是上凸的；
当 x∈3,+∞ 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 为 0，即斜率 fʹx 在 3,+∞ 内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x 轴的射线．
11. C【解析】设 fx=x3−6x2+9x−10，则 fʹx=3x2−12x+9=3x−1x−3，
由此可知函数的极大值为 f1=−6<0，极小值为 f3=−10<0，
所以方程 x3−6x2+9x−10=0 的实根个数为 1．
12. A【解析】因为 fx=ex+x−2，
所以 fʹx=ex+1>0，
则 fx 在 R 上为增函数，
又 f0=e0−2<0，f1=e−1>0，且 fa=0，
所以 0因为 gx=lnx+x2−3，
所以 gʹx=1x+2x．
当 x∈0,+∞ 时，gʹx>0，
所以 gx 在 0,+∞ 上为增函数，
又 g1=ln1−2=−2<0，g2=ln2+1>0，且 gb=0，
所以 1所以 a所以 fb>fa=0,ga13. A【解析】因为 fʹx=3x2−3=3x+1x−1，
当 x<−1 时，fʹx>0；
当 −1当 x>1 时，fʹx>0，
所以当 x=−1 时 fx 有极大值．
当 x=1 时，
fx 有极小值，要使 fx 有 3 个不同的零点．
只需 f−1>0f1<0，解得 −214. D【解析】因为 fxexʹ=fʹxex+fxexʹ=fx+fʹxex，且 x=−1 为函数 fxex 的一个极值点，所以 f−1+fʹ−1=0；选项 D 中，f−1>0，fʹ−1>0，不满足 fʹ−1+f−1=0．
15. B
【解析】fʹx=sinx+xcsx，可得 fʹx 是奇函数，排除C，
当 x=π 时，fʹx<0，排除A，D．
16. B【解析】由图知，fx 为奇函数，则 f0=0，即得 b=0，从而 fx=axx2+c，fʹx=ac−x2x2+c2．
由图知，f1=1,fʹ1=0, 即 a1+c=1,ac−1=0, 解得 a=2,c=1.
由此，a>c>b．
17. A【解析】由于 fx=14x2+csx，所以 fʹx=12x−sinx，所以 fʹ−x=−fʹx，故 fʹx 为奇函数，其图象关于原点对称，排除 B、D，又当 x=π2 时，fʹπ2=π4−sinπ2=π4−1<0，排除 C，只有 A适合．
18. D【解析】根据导函数的图象知，0 是函数 fx 的一个极大值点，2 是函数 fx 的一个极小值点，3 是函数 fx 的一个极大值点，函数 y=fx 的大致图象如图所示．
由于 f0=f3=2，1所以 y=fx−a 的零点个数为 4．
19. C【解析】由三次函数的图象可知，x=2 是函数 fx 的极大值点，x=−1 是极小值点，即 2，−1 是 f′x=0 的两个根．
因为 fx=ax3+bx2+cx+d，
所以 fʹx=3ax2+2bx+c．
由 fʹx=3ax2+2bx+c=0，得 2+−1=−2b3a=1，−1×2=c3a=−2，
所以 c=−6a，2b=−3a．
所以 fʹx=3ax2+2bx+c=3ax3−3ax−6a=3ax−2x+1．
则 fʹ−3fʹ1=3a−3−2×−3+13a1−2×1+1=−5×−2−2=−5．
20. B
【解析】由导函数 fʹx 的图象可知函数 fx 为二次函数，且对称轴为 x=−1，开口方向向上．设函数 fx=ax2+bx+ca>0，由 f0=0，得 c=0．fʹx=2ax+b，因过点 −1,0 与 0,2，则有 2a×−1+b=0,2a×0+b=2, 所以 a=1,b=2. 所以 fx=x2+2x，则 fx 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S=−x2−2x−20dx=−13x3−x2−20=13×−23+−22=43．
21. C【解析】显然 a=0 时，函数有两个不同的零点，不符合．
当 a≠0 时，由 fʹx=3ax2−6x=0，得 x1=0，x2=2a．
当 a>0 时，函数 fx 在 −∞,0，2a,+∞ 上单调递增，在 0,2a 上单调递减，又 f0=1，所以函数 fx 存在小于 0 的零点，不符合题意．
当 a<0 时，函数 fx 在 −∞,2a，0,+∞ 上单调递减，在 2a,0 上单调递增，所以只需 f2a>0 即可，解得 a<−2．
22. C
23. A
24. D【解析】当 x≥0 时，令函数 fx=2x2−ex，则 fʹx=4x−ex，
易知 fʹx 在 0,ln4 上单调递增，在 ln4,2 上单调递减，
又 fʹ0=−1<0，fʹ12=2−e>0，fʹ1=4−e>0，fʹ2=8−e2>0，
所以存在 x0∈0,12 是函数 fx 的极小值点，
即函数 fx 在 0,x0 上单调递减，在 x0,2 上单调递增，且函数为偶函数，符合条件的图象为D．
25. C
26. C
27. C【解析】根据题意，对任意的 x∈0,+∞，都有 ffx−lg2x=3，
又由 fx 是定义在 0,+∞ 上的单调函数，
则 fx−lg2x 为定值，
设 t=fx−lg2x，则 fx=lg2x+t，
又由 ft=3，即 lg2t+t=3，解可得，t=2；
则 fx=lg2x+2，fʹx=1ln2⋅x，
将 fx=lg2x+2，fʹx=1ln2⋅x 代入 fx−fʹx=2，
可得 lg2x+2−1ln2⋅x=2，
即 lg2x−1ln2⋅x=0，
令 hx=lg2x−1ln2⋅x，
分析易得 h1=−1ln2<0，h2=1−12ln2>0，
则 hx=lg2x−1ln2⋅x 的零点在 1,2 之间，
则方程 lg2x−1ln2⋅x=0，即 fx−fʹx=2 的根在 1,2 上．
28. A【解析】方程 ∣x4−x3∣=ax 可以写成 ∣x∣∣x3−x2∣=ax，显然，0 为方程的一个根．当 x>0 时，a=∣x3−x2∣，令 fx=x3−x2，fʹx=3x2−2x，
所以 fx 在 0,23 上单调递减，在 −∞,0，23,+∞ 上单调递增，又 f1=0，所以当 x=23 时，函数 fx 取得极小值 f23=−427，∣fx∣ 取得极大值 427．所以 gx=∣x4−x3∣x=∣fx∣,x>0,−∣fx∣,x<0 的图象如图所示，
则由题可知直线 y=a 与 gx 的图象有 3 个交点，故 a∈0,427．
29. D【解析】因为 fx=x3+sinx+1，所以 fʹx=3x2+csx，fʺx=6x−sinx．所以 fʺ0=0．而 fx+f−x=x3+sinx+1−x3−sinx+1=2，函数 fx=x3+sinx+1 图象的对称中心的坐标为 0,1，即 x1+x2=0 时，总有 fx1+fx2=2，
所以
f−2015+f−2014+f−2013+⋯+f2014+f2015=2×2015+f0=4030+1=4031.
第二部分
30. B， C， D
【解析】因为 fx=exx3，
所以 fʹx=exx3+3exx2=x+3x2ex，
故函数在 −∞,−3 上单调递减，在 −3,+∞ 上单调递增，A错误；
01，即 lg52 f0=0，f−3=−27e3<−1，故方程 fx=−1 有实数解，C正确；
易知当 x=0 时，fx=kx=0，当 x≠0 时，k=fxx=exx2，
设 gx=exx2x≠0，则 gʹx=x+2exxx≠0，
当 x∈0,+∞ 时，gʹx>0，当 x∈−2,0 时，gʹx<0，当 x∈−∞,−2 时，gʹx>0，
故函数 gx 在 0,+∞ 上单调递增，在 −2,0 上单调递减，在 −∞,−2 上单调递增，且 g−2=4e2，
画出函数 gx 的图象，如图所示．
当 0综上所述，存在实数 k，使得方程 fx=kx 有 4 个实数解，D正确．
故选BCD．