【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复合函数

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 函数 fx=12x2−1 的单调递增区间为
A. −∞,0B. 0,+∞C. −∞,1D. 1,+∞

2. 函数 y=12x2+2x−1 的值域是
A. −∞,4B. 0,+∞C. 0,4D. 4,+∞

3. 已知 fx=x2,x>0e,x=00,x<0，则 fff−2 的值是
A. 0B. eC. e2D. 以上都不对

4. 函数 fx=lnx2+1 的图象大致是下图中的
A. B.
C. D.

5. 函数 fx=x2−2x−3 的单调递减区间为
A. −∞,−1B. −∞,1C. 1,+∞D. 3,+∞

6. 函数 y=a−x2−4x+10A. −2,+∞B. −∞,−2C. 2,+∞D. −∞,2

7. 函数 y=cs2x−3csx+2 的最小值为
A. 2B. 0C. −14D. 6

8. " a=1 "是"函数 fx=lgax 在 0,+∞ 单调递增"的
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

9. 函数 fx=lg12x2−4 的单调递增区间为
A. 0,+∞B. −∞,0C. 2,+∞D. −∞,−2

10. 函数 y=lg13−3+4x−x2 的单调递增区间是
A. −∞,2B. 2,+∞C. 1,2D. 2,3

11. 已知函数 fx=lg2x2−2ax+4−3a 的值域为实数集 R，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,−4∪1,+∞B. −4,1
C. −∞,−4∪1,+∞D. −4,1

12. 函数 fx=lg0.5x+1+lg0.5x−3 的单调递减区间是
A. 3,+∞B. 1,+∞C. −∞,1D. −∞,−1

13. 函数 y=lg0.3−x2+4x 的单调递增区间是
A. −∞,2B. 0,2C. 2,+∞D. 2,4

14. 若函数 fx=lgax2+32xa>0,a≠1 在区间 12,+∞ 内恒有 fx>0，则 fx 的单调递增区间为
A. 0,+∞B. 2,+∞C. 1,+∞D. 12,+∞

15. 已知 gx=1−2x,fgx=1−x2x2x≠0，那么 f12=
A. 15B. 1C. 3D. 30

16. 函数 y=16−4x 的值域是
A. 0,+∞B. 0,4C. 0,4D. 0,4

17. 已知函数 fx=lgax2+2x−3，若 f2>0，则此函数的单调递增区间是
A. −∞,−3B. 1,+∞∪−∞−3
C. −∞,−1D. 1,+∞

18. 下列各函数中，值域为 0,+∞ 的是
A. y=2−x2B. y=1−2xC. y=x2+x+1D. y=31x+1

19. 函数 fx=2x2−3x+1 的单调递减区间是
A. 0,+∞B. −∞,32C. 32,+∞D. R

20. 若函数 fx=a∣2x−4∣a>0, 且a≠1，满足 f1=19，则 fx 的单调递减区间是
A. −∞,2B. 2,+∞C. −2,+∞D. −∞,−2

21. 若函数 fx=lgax2−ax+3a>0且a≠1，满足对任意的 x1，x2，当 x10，则实数 a 的取值范围为
A. 0,1∪1,3B. 1,3
C. 0,1∪1,23D. 1,23

22. 已知函数 fx=lg2x+a+lg2x−aa∈R．命题 p:∃a∈R，函数 fx 是偶函数，命题 q:∀a∈R，函数 fx 在定义域内是增函数，则下列命题为真命题的是
A. ¬qB. p∧qC. ¬p∧qD. p∧¬q

23. 函数 y=lncsx −π2A. B.
C. D.

24. 复数 z1，z2 满足 z1=m+4−m2i，z2=2csθ+λ+3sinθim,λ,θ∈R，并且 z1=z2，则 λ 的取值范围是
A. −1,1B. −916,1C. −916,7D. 916,7

25. 若函数 fx=1+3x+a⋅9x，其定义域为 −∞,1，则 a 的取值范围是
A. a=−49B. a≥−49C. a≤−49D. −49≤a<0

26. 下列函数中值域是 1,+∞ 的是
A. y=13∣x−1∣B. y=x−34
C. y=14x+312x+1D. y=lg3x2−2x+4

27. 设函数 fx=lgx，gx=4x−2x+1−3，则函数 fgx 的定义域是
A. −∞,2B. 2,+∞C. lg23,+∞D. −∞,lg23

28. 当 x∈−∞,1 时，不等式 1+2x+4x⋅aa2−a+1>0 恒成立，则实数 a 的取值范围为
A. −∞,−34B. −34,+∞C. −34,12D. −∞,12

29. 给出下列三个命题：
①函数 y=12ln1−csx1+csx 与 y=lntanx2 是同一函数；
②若函数 y=fx 与 y=gx 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 y=f2x 与 y=12gx 的图象也关于直线 y=x 对称；
③若奇函数 fx 对定义域内任意 x 都有 fx=f2−x，则 fx 为周期函数．
其中真命题是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②

30. 已知函数 fx=x+1,x≤0,lg2x,x>0, 则函数 y=ffx+1 的零点个数是
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案
第一部分
1. A【解析】令 ux=x2−1，
因为 fx=12x2−1，0<12<1，
所以 fx 的单调递增区间为 ux=x2−1 的单调递减区间，即 −∞,0．
2. C【解析】设 t=x2+2x−1 ，则 y=12t .
因为 t=x+12−2≥−2，y=12t 为关于 t 的减函数，
所以 0故所求函数的值域为 0,4 .
3. C
4. A【解析】由函数解析式可知 fx=f−x，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过 0,0，排除B，D．
5. A
6. A
7. B
8. A
9. D【解析】函数 y=fx 的定义域为 −∞,−2∪2,+∞，
因为函数 y=fx 由 y=lg12t 与 t=gx=x2−4 复合而成，
又 y=lg12t 在 0,+∞ 上单调递减，gx 在 −∞,−2 上单调递减，
所以函数 y=fx 在 −∞,−2 上单调递增．
10. D
11. C【解析】提示：即 x2−2ax+4−3a 可以取到一切正实数，从而对应的判别式 Δ≥0．
12. A【解析】由已知易得 x+1>0,x−3>0, 即 x>3，
fx=lg0.5x+1+lg0.5x−3=lg0.5x+1x−3，x>3，
令 t=x+1x−3，则 t 在 3,+∞ 上单调递增，又 0<0.5<1，
所以 fx 在 3,+∞ 上单调递减．
13. D【解析】令 t=−x2+4x>0，求得 014. A【解析】令 M=x2+32x，
当 x∈12,+∞ 时，M∈1,+∞，fx>0，
所以 a>1，
所以函数 y=lgaM 为增函数，
又 M=x+342−916，
因此 M 的单调递增区间为 −34,+∞．
又 x2+32x>0，
所以 x>0 或 x<−32，
所以函数 fx 的单调递增区间为 0,+∞．
15. A
【解析】令 gx=12，则 1−2x=12,x=14，所以 f12=fg14=1−116116=15．
16. C【解析】要使函数有意义，则 16−4x≥0．又因为 4x>0，所以 0≤16−4x<16，即函数 y=16−4x 的值域为 0,4．
17. D【解析】因为 f2=lga5>0=lga1，所以 a>1，
由 x2+2x−3>0，得函数 fx 的定义域为 −∞,−3∪1,+∞，
设 u=x2+2x−3，则此函数在 1,+∞ 上为增函数，
又因为 y=lgaua>1 在 1,+∞ 上也为增函数，
所以函数 fx 的单调递增区间是 1,+∞．
18. A【解析】A： y=2−x2 的值域为 0,+∞；
B：因为 1−2x≥0，所以 2x≤1，x≤0，y=1−2x 的定义域是 −∞,0，所以 0<2x≤1，所以 0≤1−2x<1，所以 y=1−2x 的值域是 0,1；
C，： y=x2+x+1=x+122+34 的值域是 34,+∞；
D：因为 1x+1∈−∞,0∪0,+∞，所以 y=31x+1 的值域是 0,1∪1,+∞．
19. B【解析】因为 gx=x2−3x+1=x−322−54 的单调递减区间为 −∞,32，且 fx=2x 在 R 上是增函数，所以 fx=2x2−3x+1 的单调递减区间是 −∞,32．
20. B
【解析】由 f1=19，得 a2=19，解得 a=13 或 a=−13 （舍去），即 fx=13∣2x−4∣．由于 y=∣2x−4∣ 在 −∞,2 上递减，在 2,+∞ 上递增，所以 fx 在 −∞,2 上递增，在 2,+∞ 上递减．
21. D【解析】"对任意的 x1、x2­，当 x10 "实质上就是"函数单调递减"的"伪装"，同时还隐含了" fx 有意义"．事实上由于 gx=x2−ax+3 在 x≤a2 时递减，从而
a>1,ga2>0.
由此得 a 的取值范围为 1,23．
22. C【解析】依题意得 x+a>0,x−a>0,
故当 a>0 时，
函数 fx 的定义域为 a,+∞，
当 a<0 时，函数 fx 的定义域为 −a,+∞，
无论是哪种情况，函数的定义域均不关于原点对称，
故函数 fx 为非奇非偶函数，故命题 p 为假；
当 a<0 时，函数 fx 在 −a,+∞ 上单调递增，
当 a>0 时，函数 fx 在 a,+∞ 上单调递增，
所以函数 fx 在定义域内单调递增，所以命题 q 为真，
故 ¬q，p∧q，p∧¬q 为假，¬p∧q 为真．
23. A【解析】y=csx 在 −π2,0 上单调增，在 0,π2 上单调减，又 y=lnx 在其定义域上单调增，故复合函数 y=lncsx −π224. C【解析】由复数相等的充要条件可得 m=2csθ,4−m2=λ+3sinθ,
化简得 4−4cs2θ=λ+3sinθ，
由此可得，
λ=−4cs2θ−3sinθ+4=−41−sin2θ−3sinθ+4=4sin2θ−3sinθ=4sinθ−382−916,
因为 sinθ∈−1,1，
所以 4sin2θ−3sinθ∈−916,7．
25. A
【解析】提示：f1=0，代入 fx=1+3x+a⋅9x 得，a=−49．
26. C【解析】A选项中，因为 ∣x−1∣≥0，所以 00；C选项中 y=12x2+312x+1，因为 12x>0，所以 y>1；D选项中 y=lg3x−12+3≥1．
27. C【解析】fgx=lggx=lg4x−2x+1−3，由 4x−2x+1−3>0，得 2x+12x−3>0，又 2x+1>0，所以 2x>3，即 x>lg23．
28. B【解析】解法一：
因为 a2−a+1=a−122+34>0，
所以不等式 1+2x+4x⋅aa2−a+1>0 恒成立转化为 1+2x+4x⋅a>0 恒成立．
由 1+2x+4x⋅a>0，得 −a<14x+2x4x=14x+12x，而函数 y=14x+12x 为减函数，
所以当 x∈−∞,1 时，ymin=14+12=34，
所以 −a<34，即 a>−34．
解法二：
因为 a2−a+1=a−122+34>0，令 t=2x，由 x≤1，得 t∈0,2
所以不等式 1+2x+4x⋅aa2−a+1>0 恒成立转化为 at2+t+1>0 在 t∈0,2 上恒成立．
①当 a≥0 时，at2+t+1>0 在 t∈0,2 上恒成立；
②当 a<0 时，令 ft=at2+t+1，则 a<0,f2>0,f0≥0, 即 a<0,4a+2+1>0,1≥0, 解得 −34综上可得实数 a 的取值范围为 a>−34．
29. C【解析】①中的两个函数的定义域不同，故此项错误；
②中的两个函数 y=fx 和函数 y=gx 互为反函数，则可判断函数 y=f2x 和函数 y=12gx 也互为反函数，故此项正确；
③中可得 fx=fx+4，故可判断函数 fx 是周期为 4 的周期函数，故此项正确．
30. A
【解析】y=ffx+1 的零点，即方程 ffx=−1 的根．ft=−1，则 t=−2 或 t=12，所以 ffx=−1 时，fx=−2 或 fx=12，．当 fx=−2 时，x=−3 或 x=14；当 fx=12 时，x=−12，或 x=2．所以有 4 个零点．
其他方法：
y=ffx+1 的零点，即方程 ffx=−1 的根，有图象1可知，当 fx=12 或 fx=−2 时，ffx=−1；有图2知，有两个 x 值，能使 fx=12，有两个 x 值，能使 fx=−2，
所以函数 y=ffx+1 有 4 个零点．