2021学年1.2 集合的基本关系背景图ppt课件

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1.2　集合的基本关系
【素养目标】1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象)
【学法解读】1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
　　　Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．思考1：Venn图的优点是什么？提示：形象直观．
　　　 两个集合之间的关系1．子集
思考2：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N．②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“⊆”的两边均为集合．
思考3：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立．(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
[解析]　∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D．
2．下列四个集合中，是空集的为(　　)A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[解析]　x＞8，且x＜5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
3．用适当的符号填空：(1)a______{a，b，c}；(2)0______{x|x2＝0}；(3)∅______{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0,1}______N；(5){0}______{x|x2＝x}；(6){2,1}______{x|x2－3x＋2＝0}．
4．写出集合{a，b，c}的所有子集．[解析]　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
5．判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜1}；(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
[分析]　(1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断．
方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B．
[归纳提升]　判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
【对点练习】❶　(2021·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(　　)①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a，b}⊆{b，a}．A．1B．2C．3D．4
[解析]　∅表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则∅≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；∅和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}⊆{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．
　　　　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4．故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：∅．由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
[归纳提升]　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……一一写出，保证不重不漏．
[解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
　　　　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．[分析]　借助数轴分析，注意B是否为空集．
[归纳提升]　(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．此类问题要注意对空集的讨论．
【对点练习】❸　(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝_____；(2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解析]　(1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1．当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B⊆A，故m＝1．
忽视“空集”的存在　　　　已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　)A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}
[方法点拨]　已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
　　　　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[分析]　根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．
[归纳提升]　1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有(　　)A．M⊆NB．M∈NC．N⊆MD．M＝N[解析]　∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N⊆M．
2．下列四个集合中是空集的是(　　)A．{∅}B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x2＋2x＋1＝0}[解析]　方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
3．集合A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}的真子集个数是(　　)A．5B．6C．7D．8[解析]　A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是______．