北师数学·必修第1册 综合测试5 试卷

这是一份北师数学·必修第1册 综合测试5 试卷，共9页。

第五章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(　D　)
A．y＝2t B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
[解析]　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．
2．有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a＜12)，4 m，不考虑树的粗细，现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　C　)


[解析]　设BC＝x，则得
所以0＜a＜12，a≤x≤12，花圃的面积为y＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，且a≤x≤12．当0＜a≤8时，花圃的面积的最大值ymax＝S＝64为定值；当8＜a＜12时，花圃的面积的最大值逐渐变小且S＜64．观察各选项，知选C．
3．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时，表示中午12∶00，其前t值取负，其后t值取正，则上午8时的温度是(　A　)
A．8 ℃ B．112 ℃
C．58 ℃ D．18 ℃
[解析]　求上午8时的温度，即求t＝－4时函数的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)．故选A．
4．已知函数f(x)＝log2x－x ，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　A　)
A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由条件知f(x0)＝0，且x1∈(0，x0)，故f(x1) ＜0．
5．已知函数f(x)＝|lg x|－x有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则有(　D　)
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
[解析]　令g(x)＝|lg x|，t(x)＝x，画出函数g(x)和t(x)的图象如图所示．

过B点作平行于x轴的直线，设与g(x)的图象的另一个交点为C，令C点的横坐标为x3，则可得g(x2)＝g(x3)，即lg x2＝－lg x3，lg x2＋lg x3＝0，lg(x2x3)＝0，因此x2x3＝1，由图可知x1＜x3，且x1＞0，故0＜x1x2＜1．
6．已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝f2(x)＋(a－2)·f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析]　若g(x)＝f2(x)＋(a－2)f(x)－2a＝[f(x)－2][f(x) ＋a]有三个零点，即方程[f(x)－2][f(x)＋a]＝0有三个根．当f(x)＝2时，由|ex－1|＋1＝2，得|ex－1|＝1，得ex－1＝1或ex－1＝－1，即ex＝2或ex＝0(不合题意)，则x＝ln 2，此时方程只有一个根，所以f(x)＝－a有两个不同的根．作出f(x)及y＝－a的图象如图所示，由图象知，1＜－a＜2，即－2＜a＜－1，故实数a的取值范围是(－2，－1)．

7．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图所示的(　C　)


[解析]　由题图知，开始h＝0时阴影部分面积最大，排除A，B，对应阴影部分的面积随着h的增大，减得越来越慢，故选C．
8．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为(　B　)
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
[解析]　依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知函数f(x)＝＋x2－2，则在下列区间中f(x)存在零点的是(　ABD　)
A．(－3，－2) B．
C．(2,3) D．
[解析]　经计算f(－3)＝－＋－2＝＞0，f(－2)＝－＋2－2＝－＜0，f＝2＋－2＝＞0，f(1)＝1＋－2＝－＜0，f(2)＝＋2－2＝＞0，f(3)＝＋－2＝＞0，f(－1)＝－1＋－2＝－＜0，根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(－3，－2)，，上存在零点．
10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位：mol/L, 记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14．已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液pH值在区间[7.35,7.45]内，则健康人体血液中的的值可以为(参考数据：lg 2≈0.301 ，lg 3≈0.477，lg 5≈0.699，lg 7≈0.845)(　BC　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析]　由题意可知，健康人体血液pH值满足pH＝－lg[H＋]∈[7.35,7.45]，且[H＋]·[OH－]＝10－14，所以lg＝lg＝－14－2lg[H＋]．因为7.35≤－lg[H＋]≤7.45，所以lg∈[0.7，0.9]．
因为lg 5≈0.699，lg 6＝lg 2＋lg 3≈0.778，lg 7≈0.845，lg 8＝3lg 2≈0.903，结合四个选项可知，人体血液中的的值可以是6,7．故选BC．
11．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是(　AB　)
A．当a＞0时，有4个零点
B．当a＜0时，有1个零点
C．无论a为何值，均有4个零点
D．无论a为何值，均有1个零点
[解析]　当a＞0时，若x≤0，则f(x)∈(－∞，1]，其中若f(x)≤0，f(f(x))∈(－∞，1]，函数y＝f(f(x)) ＋1有1个零点，若f(x)∈(0,1]，f(f(x))∈(－∞，0]，函数y＝f(f(x))＋1有1个零点；若x＞0，f(x)∈R，其中若f(x)≤0，f(f(x))∈(－∞，1]，函数y＝f((x))＋1有1个零点，若f(x)＞0，f(f(x))∈R，函数y＝f(f(x))＋1有1个零点．故当a＞0时，函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
当a＜0时，若x≤0，则f(x)∈[1，＋∞)，f(f(x))∈[0，＋∞)，则函数y＝f(f(x))＋1无零点；若x＞0，则f(x)∈R，其中若f(x)≤0，f(f(x))∈[1，＋∞)，函数无零点，若f(x) ＞0，f(f(x))∈R，函数y＝f(f(x))＋1有1个零点．故当a＜0时，函数y＝f((x))＋1有1个零点．综上，选AB．
12．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　BD　)

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
[解析]　在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系是__y＝1－x(0≤x≤10)__．
[解析]　依题意列出函数式即可，但要注意函数定义域．
14．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图甲所示，出水口的出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．则以下说法中正确的是__①③__．

①从0点到3点只进水不出水
②从3点到4点不进水只出水
③从4点到6点不进水不出水或所有水口都打开
[解析]　设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图知y1＝t，y2＝2t．由图丙，知从0点到3点蓄水量由0变为6，说明从0点到3点2个进水口均打开进水但不出水，故①正确；从3点到4点蓄水量随时间的增加而减少，且每小时减少1个单位，若从3点到4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故②不正确；从4点到6点蓄水量没有发生变化，可能是不进不出，也可能是所有水口都打开，进出均衡，故③正确．
15．若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是__(－∞，－4)∪(4，＋∞)__，若这两个零点都大于2，则m的取值范围是__(－5，－4)__．
[解析]　若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个不同的零点，则Δ＝(m－2)2 －4(5－m)＞0，解得m＜－4或m＞4．若这两个零点都大于2，则
解得－5＜m＜－4．
16．设a＞0且a≠1，则方程ax ＋1＝－x2＋2x ＋2a的解的个数为__2__．
[解析]　原方程等价于ax＝－(x－1)2＋2a．当a＞1时，分别画出y＝ax和y＝－(x－1)2＋2a的大致图象，注意到抛物线y＝－(x－1)2＋2a的顶点(1,2a)在(1，a)的上方，故此时两图象交点的个数是2，如图1；当0＜a＜1时，同理可得两图象也有2个交点，如图2．综上可得，方程ax＋1＝－x2＋2x＋2a的解的个数为2．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋．证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0．
[解析]　令g(x)＝f(x)－x，∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g＜0．
又函数g(x)在上的图象是连续曲线，
故存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0．
18．(本小题满分12分)某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
(1)设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位：万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：万元)的函数解析式；
(2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
[解析]　(1)由题意，得y1＝150＋0.25x，y2＝＋0.25，y3＝0.35x，y4＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150．
(2)画出y4＝0.1x－150的图象如图．

由图象可知，当x＜1 500时，该公司亏损；
当x＝1 500时，公司不赔不赚；当x＞1 500时，公司赢利．
19．(本小题满分12分)(2021·弥勒市校级月考)某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次f(x)(单位：百人)近似满足f(x)＝5＋，而人均消费g(x)(单位：元)与时间x成一次函数，且第3天的人均消费为560元，第10天的人均消费为700元．
(1)求该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
[解析]　解：(1)设g(x)＝kx＋b，
由题意可行，
解得，则g(x)＝20x＋500，
故y＝f(x)g(x)＝100(20x＋500)
＝100(1≤x≤15，x∈N*)．
(2)因为x＞0，所以100x＋≥2＝1 000，当且仅当x＝5时，等号成立，
则100≥100×(1 000＋2 600)＝36 000，
故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360 000元．
20．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若在其定义域内存在实数x0，使得f(x0＋1) ＝f(x0) ＋f(1)成立，则称f(x)有“※点”x0．
(1)判断函数f(x)＝x2＋2x在[0,1]上是否有“※点”，并说明理由；
(2)若函数f(x)＝lg在(0, ＋∞)上有“※点”，求正实数a的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝x2＋2x在[0,1]上有“※点”．
证明如下．
令g(x)＝f(x＋1)－f(x)－f(1)＝(x＋1)2＋2x＋1－x2－2x－3＝2x＋2x－2，则x0为g(x)的零点，
因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以g(0)g(1)＜0．
由零点存在定理可知，函数g(x)在区间[0,1]上至少有1个零点，
即f(x＋1)＝f(x)＋f(1)在[0,1]上至少有1个实根，
所以函数f(x)＝x2 ＋2x在[0,1]上有“※点”．
(2)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有“※点”，
则存在实数x0∈(0，＋∞)，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，即lg＝lg＋lg，
整理得(2－a)x－2ax0＋2－2a＝0，x0＞0．
当a＝2时，解得x0＝－＜0，不符合题意；
当a≠2时，令h(x)＝(2－a)x2－2ax＋2－2a，
则h(x)在(0，＋∞)上有零点．
当a＞2时，h(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝，＜0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(0)＝2－2a＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上恒小于零，不符合题意；
当0＜a＜2时，h(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝，＞0，
由题意知Δ＝4a2－4(2－a)(2－2a)≥0，即a2－6a ＋4≤0，
解得3－≤a≤3＋．
又0＜a＜2，所以3－≤a＜2．
综上所述，正实数a的取值范围为[3－ ,2)．
21．(本小题满分12分)某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：台)满足函数：R＝
(1)将利润f(x)(单位：元)表示成月产量x的函数；
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？(利润＋总成本＝总收入)
[解析]　(1)由题意可得：
当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－20 000－100x＝－x2＋300x－20 000；
当x＞400时，f(x)＝80 000－20 000－100x＝60 000－100x；
所以f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000，即最大值为25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x为减函数，所以当x＞400时，f(x)＜20 000＜250 000，故f(x)max＝25 000．
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000．
22．(本小题满分12分)今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
[解析]　(1)因为a＝，所以f(x)＝|log25(x＋1)－|＋2≥2．
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，则x＋1＝25＝5，解得x＝4．
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，由0≤x≤24，得0≤t≤1．
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，则g(t)＝
所以g(t)在[0，a]上单调递减，在(a,1]上单调递增，
所以f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
由g(0)－g(1)＝2a－1＞0，得a＞．
∴a∈时，g(0)为f(x)最大值，由3a＋1≤3，a≤，∴a∈，a∈时g(1)为f(x)最大值，由a＋2≤3，a≤1，∴a∈
综上，a∈