北师数学·必修第1册 综合测试4 试卷

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第四章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　C　)
A．≤x＞2 B．＞x＞2
C．＞x＞2或x＞2 D．2≤x≤3
[解析]　由题意得
解得x＞，且x≠2.
2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8.
∴x－＝＝.
3．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则(　B　)
A．y∈(0，1) B．y∈(1，2)
C．y∈(2，3) D．y∈(3，4)
[解析]　原式＝····＝
＝log510∈(1，2)．
4．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)＞2，则a的取值范围为(　A　)
A．(－1，3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
[解析]　∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，
∴不等式f(a＋1)＞2等价于0＞a＋1＞4，解得－1＞a＞3，故选A．
5．已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是(　B　)
A．(0，1) B．
C． D．
[解析]　由题意得解得≤a＞，故选B．
6．(2019·浙江高考，6)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga，(a＞0且a≠0)的图象可能是(　D　)

[解析]　令x＋＝1，得x＝，
∴函数y＝loga的图象过点，排除A、C；又函数y＝与y＝loga的单调性相反，排除B，故选D．
7．给出f(x)＝则f(log23)的值等于(　D　)
A．－ B．
C． D．
[解析]　因为log23∈(1，2)，
所以f(log23)＝f(log23＋1)
＝f(log26)＝f(log26＋1)
＝f(log212)＝f(log212＋1)
＝f(log224)＝＝.
8．若a＝，b＝，c＝，则(　C　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
[解析]　解法1：a＝＝·ln 2＝ln 2，
b＝＝·ln 3＝ln 3，c＝＝ln 5.
∵(2)30＝215，(3)30＝310，(5)30＝56，
而56＞215＞310，
∴5＞2＞3.
∴ln 5＞ln 2＞ln 3.
∴c＞a＞b.∴故选C．
解法2：a－b＝－＝
＝(ln 8－ln 9)＞0.
∴a＞b.同理可得c＞a，∴c＞a＞b.故选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．若10a＝4，10b＝25，则(　AC　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＞lg 6
[解析]　∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，
∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，
b－a＝lg 25－lg 4＝lg＞lg 6，
ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2×lg 5＞4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2.
10．若0＞a＞1，则下列四个不等式中成立的是(　BD　)
A．loga(1＋a)＞loga B．loga(1＋a)＞loga
C．a1＋a＞a1＋ D．a1＋a＞a1＋
[解析]　∵0＞a＞1，∴a＞，从而1＋a＞1＋.
∴loga(1＋a)＞loga，a1＋a＞a1＋
11．若1＞＞，则下列结论中正确的是(　ABC　)
A．logab＞logba B．|logab＋logba|＞2
C．(logba)2＞1 D．|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|
[解析]　方法一(通法)：∵1＞＞，∴0＞b＞a＞1，
则logab＞1，0＞logba＞1，logab·logba＝1，
∴logab＞logba，故A正确；
由基本不等式得，logab＋logba＞2＝2，故B正确；
由上述分析可知，0＞(logba)2＞1，|logab|＋|logba|＝|logab＋logba|，故C正确，D错误．
方法二(特殊值法)：∵1＞＞，∴0＞b＞a＞1，
不妨令b＝，a＝，则logab＝2，logba＝，
易得A，B，C均正确，只有D错误．
12．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是(　ABD　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，且a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增
D．若0＞a＞1，则|f(1＋a)|＞|f(1－a)|
[解析]　由题知，f(x)＝logx，x＞0，
函数f(|x|)＝log|x|，∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)为偶函数，A正确；
若f(a)＝|f(b)|，且a＞0，b＞0，a≠b，
则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，
∴loga＋logb＝log(ab)＝0，∴ab＝1，因此B正确；
函数f(－x2＋2x)＝log(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＞x＞2，
∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0＞a＞1，则2＞1＋a＞1＞1－a＞0，∴f(1＋a)＞0＞f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－log(1－a2)＞0，
即|f(1＋a)|＞|f(1－a)|，因此D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝log(1－2x)的单调递增区间为____．
[解析]　令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间内递减，而y＝logu是减函数，
故函数y＝log(1－2x)在内递增．
14．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝____．
[解析]　∵a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝.
15．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则f(1)＝__5__，实数a的取值范围是__(1，2]__.
[解析]　f(1)＝－1＋6＝5，当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥4，
要使f(x)的值域是[4，＋∞)，则当x＞2时，f(x)＝3＋logax≥4恒成立，即logax≥1.
若0＞a＞1，则不等式logax≥1不成立，
当a＞1时，则由logax≥1＝logaa，则a≤x，
因为x＞2，所以a≤2，即1＞a≤2.
即a的取值范围是(1，2]．
16．已知函数f(x)＝ln x和g(x)＝ex的图象与函数y＝－x＋2的图象在第一象限内的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝__2__．
[解析]　函数f(x)＝ln x和g(x)＝ex互为反函数，图象关于直线y＝x对称，它们的图象与y＝－x＋2的图象在第一象限内的交点M，N也关于直线y＝x对称，由得x＝1，所以＝1，所以x1＋x2＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算3log32＋27＋lg 50＋lg 2；
(2)已知2a＝3，4b＝6，求2b－a的值．
[解析]　(1)3log32＋27＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.
(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，
所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2，4]．
(1)设t＝logx，x∈[2，4]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的值域．
[解析]　(1)因为函数t＝logx在[2，4]上单调递减，所以tmax＝log2＝－1，tmin＝log4＝－2.
(2)令t＝logx，x∈[2，4]，则g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]．因此当t＝－2，即x＝4时，f(x)max＝g(t)max＝12；当t＝－1，即x＝2时，f(x)min＝g(t)min＝7.
故函数f(x)的值域为[7，12]．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
[解析]　(1)由题意，知x2－2ax＋3＞0的解集为
(－∞，1)∪(3，＋∞)，故a＝2.
(2)若函数的值域为(－∞，－1]，
即f(x)＝log(x2－2ax＋3)≤－1，且－1能取到，
故x2－2ax＋3≥2.
故a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.
20．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)．
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若f(a－1)＞－1，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由题意知f(0)＝log1＝0，f(1)＝f(－1)＝log2＝－1.
(2)令x＞0，则－x＞0，∴f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝log(x＋1)．
∴f(x)＝
(3)易知f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(a－1)＞－1＝f(1)，
∴|a－1|＞1，∴a＞2或a＞0.
故实数a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
21．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝是奇函数，f(x)＝log4(4x＋1)＋mx是偶函数．
(1)求m＋n的值；
(2)设h(x)＝f(x)＋x，若g(x)＞h[log4(2a＋1)]对任意的x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)∵g(x)是奇函数，且定义域为R，
∴g(0)＝0，
即＝0，解得n＝1.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－mx＝log4(4x＋1)－(m＋1)x＝log4(4x＋1)＋mx，∴(2m＋1)x＝0.
又x∈R，∴2m＋1＝0，即m＝－.∴m＋n＝.
(2)∵h(x)＝f(x)＋x＝log4(4x＋1)，
∴h[log4(2a＋1)]＝log4(2a＋2)，又g(x)＝＝2x－2－x在区间[1，＋∞)上单调递增，
∴当x≥1时，g(x)min＝g(1)＝.
由题意得＞log4(2a＋2)，即2a＋2＞4，解得a＞3，
又2a＋1＞0，∴a＞－，∴－＞a＞3.
故实数a的取值范围是．
22．(本小题满分12分)若函数f(x)的定义域为R，且满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，则称f(x)为“V形函数”；若函数g(x)定义域为R，g(x)恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，则称g(x)为“对数V形函数”．
(1)当f(x)＝x2时，判断函数f(x)是否为“V形函数”，并说明理由；
(2)当g(x)＝x2＋2时，证明：g(x)是“对数V形函数”；
(3)若f(x)是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f(x)≥2，问f(x)是否为“对数V形函数”？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．
[解析]　(1)f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2.
∵x1，x2∈R，∴当2x1x2≤0时，f(x)是“V形函数”；当2x1x2＞0时，f(x)不是“V形函数”．
(2)假设对任意x1，x2∈R，有lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，则lg g(x1＋x2)－lg g(x1)－lg g(x2)＝lg[(x1＋x2)2＋2]－lg(x＋2)－lg(x＋2)≤0，
∴(x1＋x2)2＋2≤(x＋2)(x＋2)，
∴xx＋(x1－x2)2＋2≥0，显然成立，
∴假设正确，g(x)是“对数V形函数”．
(3)f(x)是“对数V形函数”．证明如下．
∵f(x)是“V形函数”，∴对任意x1，x2∈R，
有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)．
∵对任意x∈R，有f(x)≥2，
∴0＞f(x1)＋f(x2)≤f(x1)f(x2)，
∴f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，
∴lg f(x1＋x2)≤lg f(x1)＋lg f(x2)，
∴f(x)是“对数V形函数”．