【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：轨迹与轨迹方程

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：轨迹与轨迹方程，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知 F1，F2 是定点，∣F1F2∣=6．若动点 M 满足 ∣MF1∣+∣MF2∣=6，则动点 M 的轨迹是
A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆

2. 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP=OA+λAB+AC，λ∈0,+∞，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心

3. 动点 P 到点 A8,0 的距离是到点 B2,0 的距离的 2 倍，那么点 P 的轨迹方程为
A. x2+y2=32B. x2+y2=16
C. x−12+y2=16D. x2+y−12=16

4. 已知动点 P 在曲线 2x2−y=0 上移动，则点 A0,−1 与点 P 连线中点的轨迹方程是
A. y=2x2B. y=8x2C. 2y=8x2−1D. 2y=8x2+1

5. 方程 x2+6xy+9y2+3x+9y−4=0 表示的图形是
A. 2 条重合的直线B. 2 条互相平行的直线
C. 2 条相交的直线D. 2 条互相垂直的直线

6. 平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P ，若满足 ∣PA∣+∣PB∣=8 ，则 ∣PA∣ 的取值范围是
A. 1,4B. 2,6C. 3,5D. 3,6

7. 已知 A−1,0，B1,0，动点 P 满足 PA+PB=2，则点 P 的轨迹方程是
A. x2+y2=1B. y=0
C. y=0，x∈−1,1D. x24+y23=1

8. 已知等腰 △ABC 的底边两端点的坐标分别为 B4,0，C0,−4，则顶点 A 的轨迹方程是
A. y=xB. y=xx≠2
C. y=−xD. y=−xx≠2

9. 过点 A3,0 且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为
A. 圆B. 椭圆C. 直线D. 抛物线

10. 如图，P 是正四面体 VABC 的平面 VBC 上一点，点 P 到平面 ABC 的距离与到点 V 的距离相等，则动点 P 的轨迹是
A. 直线的一部分B. 抛物线的一部分
C. 离心率为 223 的椭圆的一部分D. 离心率为 3 的双曲线的一部分

11. 在 △ABC 中，已知 A−1,0，C1,0．若 a>b>c，且满足 2sinB=sinA+sinC，则顶点 B 的轨迹的方程是
A. x24+y23=1x0

12. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

13. 已知 F1−8,3，F22,3 为定点，动点 P 满足 PF1−PF2=2a，当 a=3 和 a=5 时，点 P 的轨迹分别为
A. 双曲线和一条直线B. 双曲线的一支和一条直线
C. 双曲线和一条射线D. 双曲线的一支和一条射线

14. 在平面直角坐标系内，到点 A1,1 和直线 l：x+2y−3=0 距离相等的点的轨迹是
A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线

15. 如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆

16. 已知 △ABC 的周长为 20，且顶点 B0,−4，C0,4，则顶点 A 的轨迹方程是
A. x236+y220=1x≠0B. x220+y236=1x≠0
C. x26+y220=1x≠0D. x220+x26=1x≠0

17. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E 在面 ABCD 上运动，且满足 EB=ED1，则点 E 的轨迹是
A. 抛物线B. 直线C. 椭圆D. 双曲线

18. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，A1，A2 是双曲线实轴的两个端点，M，N 是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是
A. x2a2+y2b2=1B. y2a2+x2b2=1C. x2a2−y2b2=1D. y2a2−x2b2=1

19. 如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得 △ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是
A. 圆B. 椭圆C. 一条直线D. 两条平行直线

20. 平面直角坐标系中，已知两点 A3,1，B−1,3，若点 C 满足 OC=λ1OA+λ2OB（O 为原点），其中 λ1，λ2∈R，且 λ1+λ2=1，则点 C 的轨迹是
A. 直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线

21. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

22. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A3,1,B−1,3，若点 C 满足 OC=mOA+nOB，其中 m,n∈R 且 m+n=1，则点 C 的轨迹方程为
A. 3x+2y−11=0B. x−12+y−22=5
C. 2x−y=0D. x+2y−5=0

23. 已知相异两定点 A，B，动点 P 满足 PA2−PB2=m（m∈R 是常数），则点 P 的轨迹是
A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线

24. 动点在圆 x2+y2=1 上移动时，它与定点 B3,0 连线的中点轨迹方程是
A. x+32+y2=4B. x−32+y2=1
C. 2x−32+4y2=1D. x+32+y2=12

25. 方程 ∣y∣−1=1−x−12 表示的曲线是
A. 抛物线B. 一个圆C. 两个圆D. 两个半圆

26. 已知点 A1,0，直线 l:y=2x−4，点 R 是直线 l 上的一点，若 RA=AP，则点 P 的轨迹方程为
A. y=−2xB. y=2xC. y=2x−8D. y=2x+4

27. 已知定点 A2,0，它与抛物线 y2=x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程是
A. y2=2x−1B. y2=4x−1C. y2=x−1D. y2=12x−1

28. 如图，AB 是平面 α 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 α 内运动，使得 △ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是
A. 圆B. 椭圆C. 一条直线D. 两条平行直线

29. 已知二面角 α−l−β 的平面角为 θ，点 P 在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A,B 为垂足，且 PA=4，PB=5，设 A，B 到棱 l 的距离分别为 x，y，当 θ 变化时，点 x,y 的轨迹是
A. x2−y2=9x≥0B. x2−y2=9x≥0,y≥0
C. y2−x2=9y≥0D. y2−x2=9x≥0,y≥0

30. 点 M 在圆 13x2+13y2−15x−36y=0 上运动，点 N 在射线 OM 上（O 为原点）且 ∣OM∣⋅∣ON∣=12，则 N 点的轨迹方程为
A. 5x+12y−52=0B. 5x−12y−52=0
C. 5x−12y+52=0D. 5x+12y+52=0
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】由原等式，得 OP−OA=λAB+AC，即 AP=λAB+AC，根据平行四边形法则，知 AB+AC=2AD（D 为 BC 的中点），所以点 P 的轨迹必过 △ABC 的重心．故选C．
3. B【解析】设 Px,y，根据题意，有 4x−22+y2=x−82+y2，
化简，得 x2+y2=16．
4. C【解析】设 AP 中点坐标为 (x,y) ，则 P(2x,2y+1) 在 2x2−y=0 上，即 2(2x)2−(2y+1)=0 ，∴ 2y=8x2−1 ．
5. B
【解析】x2+6xy+9y2+3x+9y−4=0 变形得 x+3y+4x+3y−1=0 表示两条互相平行的直线．
6. C
7. C
8. D
9. D【解析】设圆心为 P，圆 P 与 y 轴切于点 B，根据直线与圆相切的性质 PA=PB，即 P 到定点 A 的距离等于 P 到定直线 y 轴的距离，又 A 不在 y 轴上，故 P 点的轨迹是抛物线．
10. C
【解析】因为正四面体 VABC 中平面 VBC 不垂直平面 ABC，
所以可以过点 P 作 PD⊥平面ABC 于点 D，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，连接 PH，易得 BC⊥平面DPH，
所以 BC⊥PH，
故 ∠PHD 为二面角 V−BC−A 的平面角．
设 ∠PHD=θ 则在 Rt△PDH 中，PD:PH=sinθ．
又因为点 P 到平面 ABC 的距离与到点 V 的距离相等，即 PV=PD，
所以 PV:PH=sinθ∣BC∣=8，得点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆设椭圆方程为 x2b2+y2a2=1a>b>0，则 c=4，a=6，所以 b2=a2−c2=20，所以椭圆方程为 x220+y236=1．又因为 A，B，C 三点要构成三角形，所以点 A 的轨迹方程为 x220+y236=1x≠0．
17. B
18. A【解析】设 Mx1,y1，则 Nx1,−y1，A1−a,0，A2a,0，
直线 A1M，A2N 的方程分别为 y=y1x1+ax+a，y=−y1x1−ax−a，
两式相乘，得 y2=−y12x12−a2x2−a2．
因为点 Mx1,y1 在双曲线上，
所以 x12a2−y12b2=1，
所以 y12x12−a2=b2a2，代入上式，得 y2=−b2a2x2−a2，即 x2a2+y2b2=1．
19. B
20. A
【解析】设 Cx,y，因为 OC=λ1OA+λ2OB，所以 x,y=λ13,1+λ2−1,3，
即 x=3λ1−λ2,y=λ1+3λ2, 解得 λ1=y+3x10,λ2=3y−x10, 又 λ1+λ2=1，所以 y+3x10+3y−x10=1，
即 x+2y=5，所以点 C 的轨迹为直线．
21. A【解析】设圆上任一点 Qx0,y0，PQ 中点为 x,y，则 x0=2x−4,y0=2y+2, 代入圆方程即可．
22. D【解析】设点 C 的坐标为 x,y，
则 x,y=m3,1+n−1,3=3m−n,m+3n ，
所以 x=3m−n,①y=m+3n,②
①+2×② 得，x+2y=5m+5n，又 m+n=1，
所以 x+2y−5=0，所以点 C 的轨迹方程为 x+2y−5=0．
23. A【解析】提示：记 Px,y，A−c,0，Bc,0．则由 PA2−PB2=m 得，x+c2+y2−x−c2+y2=m．因为 A，B 为相异的两点，所以 c≠0．化简原式得 x=m4c，故轨迹为直线．
24. C
25. D
【解析】原不等式等价于 ∣y∣−1≥0,∣y∣−12+x−12=1, 即 y≥1,x−12+y−12=1 或 y≤−1,x−12+y+12=1.
26. B【解析】由 RA=AP，知 R,A,P 三点共线，且 A 为 RP 的中点．
设 Px,y，Rx1,y1，则由 RA=AP，得 1−x1,−y1=x−1,y，
则 1−x1=x−1,−y1=y,
即 x1=2−x，y1=−y，将其代入直线 y=2x−4 中，得 y=2x．
27. D【解析】设 Px1,y1，Mx,y，则 y12=x1 ⋯⋯①
又 M 为 AP 中点，∴ x=x1+22,y=y12，∴ x1=2x−2,y1=2y．
∴代入①得 2y2=2x−2，即 y2=12x−1．
28. B【解析】△ABP 的面积为定值，则 P 到 AB 的距离是定值，即 P 在以 AB 为轴的圆柱面上，又 P 在平面 α 上，则 P 在平面 α 与圆柱面的交线上，故 P 的轨迹是椭圆．
29. B【解析】如图所示：
PA2+AC2=PB2+BC2，即 16+x2=25+y2．
30. A
【解析】设 Mx0,y0，Nx,y，其中 13x02+13y02−15x0−36y0=0 由题意可得：∣OM∣=x02+y02
∣ON∣=x2+y2．所以 x02+y02⋅x2+y2 =12．
又 点 N 在射线 OM 上，所以 x0=txy0=ty（t∈R且t>0）．得 t=12x2+y2．
所以 x0=12xx2+y2y0=12yx2+y2 将其代入 13x02+13y02−15x0−36y0=0 化简得：5x+12y−52=0．