【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的几何意义

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的几何意义，共8页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共27小题；共135分）
1. 已知 i 为虚数单位，则 ∣3+2i∣=
A. 5B. 7C. 13D. 3

2. 若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数 z1+i 的点是
A. EB. FC. GD. H

3. 若复数 z=a2−ia∈R 在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，则 z=
A. 2B. 2C. 1D. 22

4. 复数 z=2+i，其中 i 是虚数单位，则 ∣z∣=
A. 5B. 1C. 3D. 5

5. 若复数 z1 与 z2=−3−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=
A. −3iB. −3+iC. 3+iD. 3−i

6. 若 a,b∈R，则复数 −b2+2b−2+a2−2a+2i 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

7. 若 z=1+i，则 ∣z2−2z∣ 等于
A. 0B. 1C. 2D. 2

8. 已知复数 z1=5−3i，z2=5−4i，其中 i 为虚数单位，则下列选项中正确的是
A. z1>z2B. z1∣z2∣D. ∣z1∣<∣z2∣

9. 已知 i 为虚数单位，若 x−xi=2+yi，其中 x，y 是实数，则 ∣x−yi∣=
A. 4B. 2C. 22D. 2

10. 如图，设向量 OP，PQ，OQ 所对应的复数为 z1，z2，z3，那么
A. z1−z2−z3=0B. z1+z2+z3=0C. z2−z1−z3=0D. z1+z2−z3=0

11. 已知复数 z 满足 1−iz=−3+i，则 z 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

12. 在复平面内，复数 ω=−12+32i 对应的向量为 OA，复数 ω2 对应的向量为 OB．那么向量 AB 对应的复数是
A. 1B. −1C. 3iD. −3i

13. 欧拉公式 eix=csx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e2i 表示的复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

14. 若复数 z=a+i1−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 a 的值可以是
A. 1B. 0C. −1D. −2

15. 已知复数 z=2−aia∈R 的共轭复数在复平面内对应的点在直线 x−3y+4=0 上，则 a 的值等于
A. −2B. 2C. 1D. −1

16. 设复数 z=a+2ia∈R 的共轭复数为 z，且 z+z=2，则复数 z2−ai 在复平面内对应点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

17. 若 z=1+i，则 ∣z2−2z∣=
A. 0B. 1C. 2D. 2

18. 设 z=3−i1+2i，则 ∣z∣=
A. 2B. 3C. 2D. 1

19. 若复数 a−2i1+ia∈R 为纯虚数，则 ∣1+ai∣=
A. 2B. 2C. 5D. 5

20. 设复数 z=−1+3i22020（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

21. 在复平面内，复数 z=1+i 的共轭复数对应的向量 OZʹ 为
A. B.
C. D.

22. 已知 i 为虚数单位，复数 z=i1+i3，z 为 z 的共轭复数，则 z=
A. 12B. 22C. 13D. 14

23. 复数 z1−i=i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

24. 已知复数 z 满足 1−iz=2+i，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

25. 已知 x∈R，当复数 z=2x+x−3i 的模最小时，z 的虚部为
A. 2B. 2C. −2D. −2i

26. 已知复数 z=m−3+m−1im∈Z 在复平面内对应的点在第二象限，则 ∣1z∣=
A. 2B. 2C. 22D. 12

27. 已知复数 z 满足 ∣z∣2−2∣z∣−3=0 ，则复数 z 对应点的轨迹是
A. 1 个圆B. 线段C. 2 个点D. 2 个圆

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 已知 i 为虚数单位，下列说法中正确的是
A. 若复数 z 满足 ∣z−i∣=5，则复数 z 对应的点在以 1,0 为圆心，5 为半径的圆上
B. 若复数 z 满足 z+∣z∣=2+8i，则复数 z=15+8i
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 复数 z1 对应的向量 OZ1，复数 z2 对应的向量为 OZ2，若 z1+z2=z1−z2，则 OZ1⊥OZ2

29. 设 z=2t2+5t−3+t2+2t+2i，t∈R，则以下结论中正确的是
A. z 对应的点在第一象限B. z 一定是虚数
C. z 对应的点在实轴上方D. z 一定是实数

30. 已知 z=a+bi（a,b∈R，i 是虚数单位），z1,z2∈C，定义：Dz=z=a+b，Dz1,z2=z1−z2，则下列结论正确的是
A. 对任意 z∈C，都有 Dz>0
B. 若 z 是 z 的共轭复数，则 Dz=Dz 恒成立
C. 若 Dz1=Dz2z1,z2∈C，则 z1=z2
D. 对任意 z1,z2,z3∈C，则 Dz1,z3≤Dz1,z2+Dz2,z3 恒成立
答案
第一部分
1. C【解析】由题意得，∣3+2i∣=32+22=13．
2. D【解析】本题考查复数的坐标表示及其除法运算．
由图可知 Z=3+i，z1+i=2−i，选D．
3. B【解析】复数 z=a2−ia∈R 在复平面内对应的点的坐标为 a2,−1，
由复数 z=a2−i 在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，
可得 a2−1=0⇒a=2，
所以 z=1−i，z=1+1=2，
故选B．
4. A【解析】∣z∣=22+12=5．
5. B
【解析】复数 z1 与 z2=−3−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=−3+i．
6. B【解析】因为 −b2+2b−2=−b−12−1<0，
a2−2a+2=a−12+1>0，
所以复数 −b2+2b−2+a2−2a+2i 在复平面内对应的点位于第二象限．
7. D
8. D【解析】因为复数不能比较大小，所以A，B不正确；
又 ∣z1∣=52+−32=34，∣z2∣=52+−42=41
所以 ∣z1∣<∣z2∣，故C不正确；D正确．故选D．
9. D【解析】因为 x−xi=2+yi，所以 x=2，y=−x=−2，所以 ∣x−yi∣=∣2+2i∣=2．
10. D
【解析】由题图可知，PQ+QP=0，
所以 PQ+OP−OQ=0，
所以 z1+z2−z3=0．
11. C【解析】由 1−iz=−3+i，得 z=−3+i1−i=−3+i1+i1−i1+i=−2−i，
所以 z 在复平面内对应的点的坐标为 −2,−1，位于第三象限．
12. D【解析】AB=OB−OA=ω2−ω=−12+32i2−−12+32i=−12−32i+12−32i=−3i.
13. B【解析】依题可知 eix 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 csx,sinx，故 e2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 cs2,sin2，显然该点位于第二象限．
14. B【解析】因为复数 z=a+i1−i=a+i1+i1−i1+i=a−12+a+12i，
又复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以 a−12<0,a+12>0, 得 −1所以实数 a 的值可以是 0 .
15. B
【解析】z=2−ai 的共轭复数为 z=2+aia∈R，z 在复平面内对应的点为 2,a，因此由已知可得 2−3a+4=0，解得 a=2．
故选B．
16. A【解析】z+z=2a=2⇒a=1，z2−ai=1+2i2−i=52+i5 = 255+55i，
所以对应点位于第一象限．
17. D【解析】因为 z=1+i，
所以 z2−2z=1+i2−21+i=1+2i+i2−2−2i=−2．
所以 ∣z2−2z∣=∣−2∣=2．
18. C【解析】因为 z=3−i1−2i1+2i1−2i=15−75i，
所以 ∣z∣=152+−752=2．
19. D【解析】由题可得 a−2i1+i=a−2i1−i1+i1−i=a−2+−a−2i2，
因为复数 a−2i1+ia∈R 为纯虚数，
所以 a−22=0,−a−22≠0, 解得 a=2，
所以 ∣1+ai∣=∣1+2i∣=12+22=5．
20. C
【解析】设 ω=−1+3i2，则 ω2=−2−23i4=−1−3i2，ω3=ω⋅ω2=−1+3i2×−1−3i2=1，
所以 z=ω2020=ω673×3+1=ω3673⋅ω=ω，
所以 z=−12−32i，对应的点在第三象限．
21. C【解析】复数 z=1+i 的共轭复数为 z=1−i，在复平面内对应的点为 1,−1，故复数 z=1+i 的共轭复数对应的向量 OZʹ=1,−1．
22. B【解析】化简复数 z=i1+i3=i1−i=−12+12i，则 z=−12−12i，
根据复数的模的定义，则 z=−122+−122=22．
故选B．
23. C
24. D
25. C
【解析】依题意可得，∣z∣=2x2+x−32=3x2−6x+9=3x−12+2，当 x=1 时，∣z∣ 取得最小值，此时 z=2−2i，所以 z 的虚部为 −2．
26. C【解析】由题意得 m−3<0,m−1>0,
解得 1又 m∈Z，
所以 m=2，
所以 z=−1+i，
则 1z=1−1+i=−1−i−1+i−1−i=−12−12i，
所以 ∣1z∣=22．
27. A【解析】本题主要考查复数的几何意义及复数模的定义，∣z∣ 是一个实数，分解因式后得 ∣z∣=3 即可求解.
由 ∣z∣2−2∣z∣−3=0，得 ∣z∣+1∣z∣−3=0 .
所以 ∣z∣=3，∣z∣=−1 （舍去）.
故复数 z 的对应点的轨迹是以原点为圆心，以 3 为半径的圆．
第二部分
28. C， D
【解析】满足 ∣z−i∣=5 的复数 z 对应的点在以 0,1 为圆心，5 为半径的圆上，A错误；
在B中，设 z=a+bia,b∈R，则 ∣z∣=a2+b2，由 z+∣z∣=2+8i，得 a+bi+a2+b2=2+8i，所以 a+a2+b2=2,b=8, 解得 a=−15,b=8, 所以 z=−15+8i，B错误；
由复数的模的定义知C正确；
由 z1+z2=z1−z2 的几何意义知，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．
故选：CD．
29. B， C
【解析】因为 2t2+5t−3=t+32t−1 的值可正、可负、可为 0，t2+2t+2=t+12+1≥1，
所以排除A，D．
30. B， D
【解析】对于A，当 z=0 时，Dz=0=0+0=0，故错误；
对于B，z=a+bi，则 z=a−bi，
则 Dz=z=a+−b=a+b=z=Dz，故正确；
对于C，若 Dz1=Dz2z1,z2∈C，则 z1=z2 错误，
如 z1=1+i，z2=1−i，满足 Dz1=Dz2z1,z2∈C，但 z1≠z2，故错误；
对于D，设 z1=a+bia,b∈R，z2=c+dic,d∈R，z3=e+fie,f∈R，
则 Dz1,z2=z1−z2=a−c+b−di=a−c+b−d，
Dz2,z3=z2−z3=c−e+d−fi=c−e+d−f，
Dz1,z3=z1−z3=a−e+b−fi=a−e+b−f，
由 a−e=a−c+c−e≤a−c+c−e，b−f=b−d+d−f≤b−d+d−f，
得 Dz1,z3≤Dz1,z2+Dz2,z3 恒成立，故正确．
故选BD．