【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：等比数列的前n项和

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：等比数列的前n项和，共6页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共29小题；共145分）
1. 《庄子 ⋅ 天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”若经过 n 天，该木棰剩余的长度为 an（尺），则 an 与 n 的关系为
A. an=1−12n−1B. an=12n−1C. an=12nD. an=1−12n

2. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，an+1=2ann∈N*，则 S5=
A. 32B. 48C. 62D. 93

3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 ⋯⋯”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口 ⋯⋯”那么该人第一天走的路程为
A. 24 里B. 48 里C. 96 里D. 192 里

4. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3 成等差数列．若 a1=1，则 S4=
A. 7B. 8C. 15D. 16

5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺 ⋯⋯”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的 2 倍，5 天一共织了 5 尺布 ⋯⋯．”那么该女子第一天织布的尺数为
A. 431B. 531C. 631D. 1031

6. 复数 1+i+i2+⋯+i2018 的值是
A. 0B. −1C. 1D. i

7. 设 an 是无穷等比数列，Sn 是其前 n 项和．关于数列 Sn 有如下两个命题：
甲：数列 Sn 一定不会是等比数列；乙：数列 Sn 中一定不可能出现 Sn+3=Sn．则
A. 甲为真命题，乙为真命题B. 甲为真命题，乙为假命题
C. 甲为真假题，乙为真命题D. 甲为假命题，乙为假命题

8. 2015 年 9 月 3 日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为 a，其后每天产生的数据量都是前一天的 qq>1 倍，那么训练 n 天产生的总数据量为
A. aqn−1B. aqnC. a1−qn−11−qD. a1−qn1−q

9. 若 1+2+22+⋯+2n>128，n∈N*，则 n 的最小值为
A. 6B. 7C. 8D. 9

10. 数列 −1n+2 的前 100 项和为
A. 1B. −1C. 0D. −2

11. 已知等比数列的公比为 2 ，且前 5 项和为 1 ，那么前 10 项和等于
A. 31B. 33C. 35D. 37

12. 已知各项均为正数的数列 an 为等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若 S3=7a3，且 a2 与 a4 的等差中项为 5，则 S5=
A. 29B. 31C. 33D. 35

13. 已知数列 an 满足 an+1+−1nan=2n−1，则 an 的前 60 项和为
A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830

14. 数列 an 中，已知对任意 n∈N*，a1+a2+a3+⋯+an=3n−1，则 a12+a22+a32+⋯+an2 等于
A. 3n−12B. 129n−1C. 9n−1D. 143n−1

15. 数列 an 满足 an+1+−1nan=2n−1，则 an 的前 60 项和为
A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830

16. 已知数列 an 是等比数列，它的前 n 项和为 Sn，则“对任意 n∈N*，an>0”是“数列 Sn 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

17. 已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若 lg2an 是公差为 −1 的等差数列，且 S6=38，则 a1 等于
A. 421B. 631C. 821D. 1231

18. 现有 200 根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为
A. 9B. 10C. 19D. 29

19. 已知 an 是等比数列，a2=2，a5=14 ，则 a1a2+a2a3+⋯+anan+1 等于
A. 161−4−nB. 161−2−nC. 3231−4−nD. 3231−2−n

20. 设无穷等比数列 an 的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“a1+q=1”是“limn→∞Sn=1”成立的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

21. 已知等比数列 an 的前 n 项和是 Sn，且 S20=21，S30=49，则 S10 为
A. 7B. 9C. 63D. 7 或 63

22. 已知等比数列 an 中 a1=1，且 a4+a5+a8a1+a2+a5=8，那么 S5 的值是
A. 15B. 31C. 63D. 64

23. 在正项数列 a 中，a1=2，点 an,an−1n≥2,且n∈N* 在直线 x−2y=0 上，则数列 an 的前 n 项和 Sn 等于
A. 2n−1B. 2n+1−2C. 2n2−2D. 2n+22−2

24. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S2n=4a1+a3+⋯+a2n−1，a1a2a3=27，则 a6=
A. 27B. 81C. 243D. 729

25. 设等比数列 an 中，每项均为正数，且 a3⋅a8=81，lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10 等于
A. 5B. 10C. 20D. 40

26. 设 an 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是
A. X+Z=2YB. YY−X=ZZ−X
C. Y2=XZD. YY−X=XZ−X

27. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S6:S3=1:2 ，则 S9:S3 等于
A. 1:2B. 2:3C. 3:4D. 1:3

28. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn．若 Sn=2n−1，则 a12+a22+a32+…+an2 等于
A. 2n−12B. 132n−1C. 4n−1D. 134n−1

29. 一个弹性小球从 10 米高处自由落下，着地后反弹到原来高度的 45 处，再自由落下，又弹回到上一次高度的 45 处，这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为
A. 50B. 80C. 90D. 100

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 设等比数列 an 的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，并且满足条件 a1>1，a7a8>1，a7−1a8−1<0，则下列结论正确的是
A. 0C. Tn 的最大值为 T7D. Sn 的最大值为 S7
答案
第一部分
1. C【解析】由题意得每天取的木棰的长度组成一个以 12 为首项，12 为公比的等比数列，
所以 an=1−12×1−12n1−12=12n=12n．
2. D【解析】由 a1=3，an+1=2ann∈N* 可知，数列 an 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，所以 S5=31−251−2=93．
3. D
4. C
5. B
6. D【解析】1+i+i2+⋯+i2018=1−i20191−i=1+i1−i=i．
7. A
8. D【解析】因为训练过程中第一天产生的数据量为 a，
其后每天产生的数据量都是前一天的 qq>1 倍，
所以那么训练 n 天产生的总数据量为：
Sn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1=a1−qn1−q.
9. B【解析】1+2+22+⋯+2n=2n+1−1，
因为 2n+1−1>128=27，
所以 n+1>7，n>6，
又因为 n∈N*，
所以 nmin=7．
10. C
【解析】因为数列 −1n+2 为等比数列，且首项 a1=−1，公比 q=−1，
所以 S100=a11−q1001−q=−1×1−−11001+1=0．
11. B【解析】根据等比数列性质，得 S10−S5S5=q5，即 S10−11=25，解得 S10=33．
12. B【解析】由 S3=7a3，得 a1+a2+a3=7a3，
所以 6a3−a1+a2=0，即 6q2−q−1=0，
所以 q=12，q=−13（舍去）．
依题意得 a2+a4=10，即 a1q+q3=10，所以 a1=16．
所以 S5=161−1251−12=31．
13. D
14. B【解析】因为 a1+a2+a3+⋯+an=3n−1, ⋯⋯①
所以 a1+a2+a3+⋯+an+1=3n+1−1, ⋯⋯②
②−① 得：an+1=3n+1−3n=2×3n，
所以 an=2×3n−1．
所以 an2=4×9n−1，
所以 a12=4，an+12an2=9，
所以 an2 是以 4 为首项，9 为公比的等比数列，
所以 a12+a22+a32+⋯+an2=4×1−9n1−9=129n−1．
15. D
16. C
17. A【解析】因为 lg2an 是公差为 −1 的等差数列，
所以 lg2an=lg2a1−n+1，an=2lg2a1−n+1=a12−n+1，
S6=a11+12+14+⋯+132=38，a1=421，
故选A．
18. B【解析】1+2+3+⋯+n<200，即 nn+12<200．
显然 n=19 时，剩余钢管最少，此时最多用去 19×202=190 根，剩余 10 根．
19. C【解析】因为 q3=a5a2=18，
所以 q=12，a1=4．
所以 an=a1qn−1=4×12n−1，
所以 anan+1=16×12n−1×12n=32×14n．
所以 a1a2+a2a3+⋯+anan+1=81−14n1−14=3231−4−n．
20. B
【解析】当 a1<0 时，q>1，则 limn→∞Sn=−∞≠1，
故“a1+q=1”是“limn→∞Sn=1”的非充分条件，
若“limn→∞Sn=1”，则 a1=1−q，即“a1+q=1”，
故“a1+q=1”是“limn→∞Sn=1”的必要条件，
综上可得“a1+q=1”是“limn→∞Sn=1”成立的必要非充分条件．
21. A【解析】由等比数列的性质可得 S10，S20−S10，S30−S20 成等比数列，
所以 S20−S102=S10⋅S30−S20，
所以 21−S102=49−21S10，即 S10−7S10−63=0．
即得 S10=7 或 S10=63（舍去，因为 S30S20=73⇒q10=2>1）．
22. B【解析】因为
a4+a5+a8a1+a2+a5=a1⋅q3+a2⋅q3+a5⋅q3a1+a2+a5=q3a1+a2+a5a1+a2+a5=q3=8.
所以 q=2．
又因为 a1=1，
所以 S5=1⋅1−251−2=31．
23. B【解析】由点 an,an−1n≥2 在直线 x−2y=0 上，得 an−2⋅an−1=0，即 an=2an−1，又 a1=2，所以当 n≥2 时，anan−1=2，故数列 an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．所以 Sn=21−2n1−2=2n+1−2．
24. C【解析】利用等比数列的性质可得 a1a2a3=a23=27，即 a2=3．因为 S2n=4a1+a3+⋯+a2n−1，所以当 n=1 时，有 S2=a1+a2=4a1，从而可得 a1=1，q=3，所以 a6=1×35=243．
25. C
【解析】lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=lg3a1⋅a2⋅ ⋯ ⋅a10=5×lg3a3a8=5×lg381=20．
26. D【解析】由题意知 Sn=X，S2n=Y，S3n=Z．
又因为 Sn，S2n−Sn，S3n−S2n 为等比数列，即 X，Y−X，Z−Y 为等比数列，
所以 Y−X2=X⋅Z−Y，即 Y2−2XY+X2=ZX−XY．
所以 Y2−XY=ZX−X2，
即 YY−X=XZ−X．
27. C【解析】由 S6:S3=1:2，不妨设 S6=k，则 S3=2k．
由等比数列前 n 项和的性质，得 S3，S6−S3，S9−S6 也成等比数列，
即 2k，−k，S9−k 成等比数列，
所以 −k2=2kS9−k，解得 S9=3k2．
于是 S9:S3=3k2:2k=3:4．
28. D
29. C
第二部分
30. A， B， C
【解析】由 a1>1，a7a8>1，a7−1a8−1<0 可知 a7>1，0所以 0所以 T7 是数列 Tn 中的最大项，故A，B，C正确．
因为 a1>0，q>0，
所以 Sn 是递增的，无最大值，故D不正确．