【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：二倍角公式与半角公式

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：二倍角公式与半角公式，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共24小题；共120分）
1. 在 △ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别为 a ， b ， c ， cs2A2=b+c2c ，则 △ABC 的形状一定是 ( )
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形

2. 已知 2tanθ−tanθ+π4=7，则 tanθ=
A. −2B. −1C. 1D. 2

3. 若 x=π12，则 sin4x−cs4x 的值为
A. 32B. −32C. 12D. −12

4. 已知 tanα=3，则 sin2α1+cs2α=
A. −3B. −13C. 13D. 3

5. 若 sinθ−π4=23，则 sin2θ=
A. 53B. 59C. 19D. ±19

6. 已知 α∈0,π2，β∈0,π2，tanα=cs2β1−sin2β，则
A. α+β=π2B. α−β=π4C. α+β=π4D. α+2β=π2

7. 已知 tanπ4+θ=3，则 sin2θ−2cs2θ=
A. −1B. −45C. 45D. −34

8. 化简 2−cs22−cs4 的结果是
A. sin2B. −cs2C. −3cs2D. 3sin2

9. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5−12，约为 0.618，这一比值也可以表示为 a=2cs72∘，则 1−2sin227∘a4−a2=
A. 12B. 1C. 2D. 14

10. 函数 y=2cs2x2+1 的最小正周期是
A. 4πB. 2πC. πD. π2

11. 已知函数 fx=2cs2x−sin2x+2，则
A. fx 的最小正周期为 π，最大值为 3
B. fx 的最小正周期为 π，最大值为 4
C. fx 的最小正周期为 2π，最大值为 3
D. fx 的最小正周期为 2π，最大值为 4

12. 函数 y=2cs2x−π4−1 是
A. 最小正周期为 π 的奇函数B. 最小正周期为 π 的偶函数
C. 最小正周期为 π2 的奇函数D. 最小正周期为 π2 的偶函数

13. 函数 y=cs2x−π12+sin2x+π12−1
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数

14. 若 sinπ6−α=33，则 sinπ6+2α=
A. 63B. 223C. 33D. 13

15. 设单位向量 a=223,sinα，则 cs2α 的值为
A. 79B. −12C. −79D. 32

16. 在 △ABC 中，若 sinBsinC=cs2A2，则 △ABC 是
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形

17. 函数 y=2sin2x+sin2x 的最小正周期是
A. π4B. π2C. πD. 2π

18. 已知 sinπ2+θ+3csπ−θ=sin−θ，则 sinθcsθ+cs2θ=
A. 15B. 25C. 35D. 55

19. 在 △ABC 中，若 sinAsinB=cs2C2，则 △ABC 是
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形

20. 若函数 fx=2sinωx⋅csωx−π4ω>0 的最小正周期为 π2，则其图象的对称轴方程为
A. x=kπ4−3π16k∈ZB. x=kπ4+3π16k∈Z
C. x=kπ2+3π16k∈ZD. x=kπ2+3π16k∈Z

21. 函数 fx=csxsinx−csx+1 的最小正周期和最大值分别为
A. 2π 和 1B. π 和 2C. π 和 2+12D. 2π 和 2+12

22. 若 sinπ6−θ=35，则 sinπ6+2θ=
A. −2425B. 2425C. −725D. 725

23. 函数 fx=tanx1+tan2x 的最小正周期为
A. π4B. π2C. πD. 2π

24. 函数 fx=sin2x+3sinxcsx 在区间 π4,π2 上的最大值是
A. 1B. 1+32C. 32D. 1+3

二、选择题（共6小题；共30分）
25. 下列各式中值为 12 的是
A. 2sin75∘cs75∘B. 1−2sin2π12
C. sin45∘cs15∘−cs45∘sin15∘D. tan20∘+tan25∘+tan20∘tan25∘

26. 下列化简正确的是
A. cs82∘cs22∘+sin82∘sin22∘=12
B. cs215∘−sin215∘=32
C. tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=−3
D. sin15∘sin30∘sin75∘=14

27. 已知 0<θ<π4，若 sin2θ=m，cs2θ=n 且 m≠n，则下列选项中与 tanπ4−θ 恒相等的有
A. n1+mB. m1+nC. 1−nmD. 1−mn

28. 已知函数 fx=csx+1−sin2xtanx2，则下列结论中正确的是
A. fx 的最小正周期为 πB. fx 的最小正周期为 2π
C. fx 是奇函数D. fx 是偶函数

29. 下列四个等式正确的是
A. tan25∘+tan35∘+3tan25∘tan35∘=3
B. tan22.5∘1−tan222.5∘=1
C. cs2π8−sin2π8=12
D. 1sin10∘−3cs10∘=4

30. 已知函数 fx=cs2x−1sin2x，则下列结论正确的是
A. 函数 fx 的图象关于直线 x=π2 对称
B. 函数 fx 的图象关于点 π2,0 对称
C. 函数 fx 是奇函数
D. 函数 fx 在区间 0,π 内单调递减
答案
第一部分
1. B【解析】在 △ABC 中，
因为 cs2A2=b+c2c ，
所以 1+csA2=sinB+sinC2sinC=12⋅sinBsinC+12 ，
所以 1+csA=sinBsinC+1 ，即 csA=sinBsinC ，
所以 csAsinC=sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC ，
所以 sinAcsC=0 ， sinA≠0 ，
所以 csC=0 ，
所以 C 为直角．
2. D【解析】2tanθ−tanθ+π4=2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，整理可得 tan2θ−4tanθ+4=0，所以 tanθ=2．故选D．
3. B【解析】因为 x=π12，
所以
sin4x−cs4x=sin2x−cs2x⋅sin2x+cs2x=sin2x−cs2x=−cs2x=−csπ6=−32.
4. D【解析】sin2α1+cs2α=2sinαcsα2cs2α=tanα=3，故选D．
5. C
【解析】若 sinθ−π4=23，
则 sinπ4−θ=−23，
所以
sin2θ=csπ2−2θ=1−2sin2π4−θ=1−2×49=19.
6. B【解析】tanα=cs2β1−sin2β=cs2β−sin2βcs2β+sin2β−2sinβcsβ=csβ+sinβcsβ−sinβcsβ−sinβ2=csβ+sinβcsβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tanπ4+β,
因为 α∈0,π2，β∈0,π2，
所以 α=π4+β，
即 α−β=π4．
7. B【解析】因为 tanπ4+θ=1+tanθ1−tanθ=3，
所以 tanθ=12，
所以
sin2θ−2cs2θ=sin2θ−2cs2θ1=2sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ−2tan2θ+1=−45.
8. D【解析】2−cs22−cs4=2sin22+2cs22−cs22−cs22+sin22=3∣sin2∣=3sin2.
9. A【解析】因为 a=2cs72∘，
所以 a2=4cs272∘，
可得 4−a2=4−4cs272∘=4sin272∘，
所以 4−a2=2sin72∘，a4−a2=2cs72∘⋅2sin72∘=2sin144∘=2sin36∘，
所以 1−2sin227∘a4−a2=cs54∘2sin36∘=sin36∘2sin36∘=12．
10. B
【解析】因为 y=2cs2x2+1=2cs2x2−1+2=csx+2，
所以函数的最小正周期 T=2π．
11. B【解析】因为 fx=2cs2x−sin2x+2=cs2x+cs2x−sin2x+2=1+cs2x2+cs2x+2=3cs2x2+52，
所以函数 fx 的最小正周期为 2π2=π，
函数的最大值为 32+52=4．
12. A【解析】由于 y=2cs2x−π4−1=cs2x−π2=sin2x，且其定义域为 R，
所以函数为奇函数，最小正周期 T=2π2=π．
13. A【解析】y=1+cs2x−π62+1−cs2x+π62−1=12cs2x−π6−cs2x+π6=12sin2x,
是奇函数．
14. D【解析】由题意及诱导公式可得 sinπ6+2α=csπ2−π6+2α=csπ3−2α，
由余弦的倍角公式，可得 csπ3−2α=1−2sin2π6−α=1−2×332=13，
即 sinπ6+2α=13．
15. A
【解析】因为 ∣a∣=sin2α+89=1，
所以 sin2α=19，
所以 cs2α=1−2sin2α=79．
16. B【解析】由 sinBsinC=cs2A2 得 sinBsinC=1+csA2，
所以 2sinBsinC=1+csA，
所以 2sinBsinC=1+csπ−B+C=1−csB+C，
所以 2sinBsinC=1−csBcsC+sinBsinC，
所以 csBcsC+sinBsinC=1，
所以 csB−C=1．
又因为 −180∘所以 B−C=0∘，
所以 B=C，
所以 △ABC 是等腰三角形．
17. C【解析】y=2sin2x+sin2x=1−cs2x+sin2x=2sin2x−π4+1，所以最小正周期 T=2π2=π．故选C．
18. C【解析】因为 sinπ2+θ+3csπ−θ=sin−θ，
所以 csθ−3csθ=−sinθ，
所以 tanθ=2，
则 sinθcsθ+cs2θ=sinθcsθ+cs2θsin2θ+cs2θ=tanθ+1tan2θ+1，把 tanθ=2 代入，得 原式=35．
19. B【解析】由已知得 12csA−B−csA+B=121+csC，
因为 A+B=π−C，
所以 csA−B−csπ−C=1+csC，
所以 csA−B=1．
又 −π所以 A−B=0，
所以 A=B．无法判断其是不是等边三角形，也无法判断其是不是直角三角形，
所以 △ABC 为等腰三角形．
20. B
【解析】fx=2sinωx⋅csωx−π4=2sinωx⋅22csωx+22sinωx=sinωxcsωx+sin2ωx=12sin2ωx+1−cs2ωx2=22sin2ωx−π4+12.
因为函数 fx 的最小正周期为 π2，
所以 2π2ω=π2，
解得 ω=2．
所以 fx=22sin4x−π4+12，令 4x−π4=kπ+π2k∈Z，
解得 x=kπ4+3π16k∈Z，
故 fx 的图象的对称轴方程为 x=kπ4+3π16k∈Z．
21. C【解析】fx=csxsinx−csx+1=12sin2x−1+cs2x2+1=22sin2x−π4+12，
函数的最小正周期为：T=π，
当 sin2x−π4=1 时，函数的最大值为：2+12．
22. D【解析】sinπ6+2θ=sinπ2−2π6−θ=cs2π6−θ=1−2sin2π6−θ=1−1825=725,
故选D．
23. C【解析】函数 fx=tanx1+tan2x=sinxcsxcs2x+sin2x=12sin2x 的最小正周期为 2π2=π．故选C．
24. C【解析】fx=1−cs2x2+32sin2x=32sin2x−12cs2x+12=sin2x−π6+12.
因为 π4≤x≤π2，所以 π3≤2x−π6≤5π6．
所以 fxmax=1+12=32．
第二部分
25. A， C
【解析】对于A选项，2sin75∘cs75∘=sin150∘=sin30∘=12，符合题意；
对于B选项，1−2sin2π12=csπ6=32，不符合题意；
对于C选项，sin45∘cs15∘−cs45∘sin15∘=sin30∘=12，符合题意；
对于D选项，因为 tan45∘=tan20∘+tan25∘1−tan20∘⋅tan25∘=1，
所以 tan20∘+tan25∘+tan20∘tan25∘=1，不符合题意．
26. A， B， C
【解析】cs82∘cs22∘+sin82∘sin22∘=cs82∘−22∘=cs60∘=12.
故A正确；
cs215∘−sin215∘=cs30∘=32，故B正确；
tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=tan48∘+72∘=tan120∘=−3，故C正确；
sin15∘sin30∘sin75∘=12sin15∘sin90∘−15∘=12sin15∘cs15∘=14sin30∘=18.
故D不正确．
27. A， D
【解析】因为 sin2θ=m，cs2θ=n，
所以 m2+n2=1，
所以 1−mn=n1+m，
所以
tanπ4−θ=1−tanθ1+tanθ=csθ−sinθcsθ+sinθ=csθ−sinθcsθ−sinθcsθ+sinθcsθ−sinθ=1−sin2θcs2θ=1−mn=n1+m.
28. B， C
【解析】由题意得 x2≠kπ+π2（k∈Z），
即 x≠2kπ+π（k∈Z），定义域为 x∈Rx≠π+2kπ,k∈Z，关于原点对称．
fx=csx+1−sin2x⋅tanx2=csx+cs2xsinx1+csx=12sin2x,
则 f−x=−12sin2x，
所以 fx+f−x=0，
所以函数是奇函数．
但由于 f0=0，fπ 不存在，所以最小正周期不是 π，应该为 2π．
29. A， D
【解析】tan60∘=tan25∘+35∘=tan25∘+tan35∘1−tan25∘tan35∘=3，
故 tan25∘+tan35∘+3tan25∘tan35∘=3，故A正确；
2tan22.5∘1−tan222.5∘=tan45∘=1，故 tan22.5∘1−tan222.5∘=12，故B错误；
cs2π8−sin2π8=csπ4=22，故C错误；
1sin10∘−3cs10∘=cs10∘−3sin10∘sin10∘cs10∘=2cs60∘+10∘12sin20∘=2sin20∘12sin20∘=4，故D正确．
30. B， C
【解析】因为 fx=cs2x−1sin2x=−2sin2x2sinxcsx=−tanxx≠kπ2k∈Z，
所以函数 fx 是周期为 π 的奇函数，图象关于点 π2,0 对称．