【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的四则运算

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的四则运算，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共27小题；共135分）
1. 若复数 z 满足方程 z2+2=0，则 z3=
A. ±22B. −22C. −22iD. ±22i

2. 1+i，i3，i1+i，1−i2 中纯虚数的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 若 i 是虚数单位，复数 z 满足 1−iz=1，则 2z−3=
A. 3B. 5C. 6D. 7

4. 设复数 z=a+2ia∈R 的共轭复数为 z，且 z+z=2，则复数 z2−ai 在复平面内对应点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

5. 已知 1−i2z=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i

6. i 为虚数单位，i607 的共轭复数为
A. iB. −iC. 1D. −1

7. 实数 x，y 满足 z1=y+xi，z2=yi−x，且 z1−z2=2，则 xy 的值是
A. 1B. 2C. −2D. −1

8. 计算 1−i1+i 的结果是
A. iB. −iC. 2D. −2

9. 2+4i⋅i5=
A. −2+4iB. −4−2iC. −4+2iD. −2−4i

10. 若复数 z1=4+29i，z2=6+9i，其中 i 为虚数单位，则复数 z1−z2 的实部为
A. 10B. 38C. −2D. 20

11. 已知复数 z=i2+i，则 lmz=
A. 13B. 23C. −13D. −23

12. 复数 z=5+2i−2−i，则 ∣z∣=
A. 5B. 32C. 18D. 25

13. 在复平面内，复数 3−4i，i2+i 对应的点分别为 A，B，则线段 AB 的中点 C 对应的复数为
A. −2+2iB. 2−2iC. −1+iD. 1−i

14. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1,2，则 i⋅z=
A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i

15. 若 z=1+2i+i3，则 ∣z∣=
A. 0B. 1C. 2D. 2

16. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量 OA，OB 对应的复数分别是 3+i，−1+3i，则 BA 对应的复数是
A. 2+4iB. −2+4iC. −4+2iD. 4−2i

17. 在复平面内，复数 z=2i1+i（i 为虚数单位）的共扼复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

18. 若复数 z 满足 z⋅1+i=2，则 ∣z∣=
A. 1B. 2C. 3D. 2

19. 已知 i 是虚数单位，复数 z=2+i3−i，则 z 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

20. 将复数 4cs−π2+isin−π2 化成代数形式，正确的是
A. 4B. −4C. 4iD. −4i

21. 若复数 z 满足 1−iz=2i，则 z⋅z=
A. 14B. 12C. 2D. 4

22. 复数 z=51−2i+2+4ii 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

23. 已知 z=i2−i，则 ∣z∣=
A. 2B. 3C. 5D. 2

24. 复数 z=x+yix,y∈R 满足条件 ∣z−4i∣=∣z+2∣，则 2x+4y 的最小值为
A. 2B. 4C. 42D. 16

25. 12cs30∘+isin30∘×2cs60∘+isin60∘×3cs45∘+isin45∘=
A. 322+322iB. 322−322iC. −322+322iD. −322−322i

26. 任意复数 z=a+bi（a,b∈R，i 为虚数单位）都可以表示成 z=rcsθ+isinθ 的形式，其中 r=a2+b2，θ∈0,2π，该形式为复数的三角形式，其中辐角 θ 的值称为复数 z 的辐角的主值．若复数 z=2i1−3i，则复数 z 的辐角的主值为
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6

27. 复数 z=1−i（i 为虚数单位）的三角形式为
A. z=2sin45∘−ics45∘
B. z=2cs45∘−isin45∘
C. z=2cs−45∘−isin−45∘
D. z=2cs−45∘+isin−45∘

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 已知集合 M=m∣m=in,n∈N，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是
A. 1−i1+iB. 1−i1+i
C. 1+i1−iD. 1−i2

29. 已知复数 z=1−3i3+i，i 为虚数单位，则
A. ∣z∣=2B. z=i
C. z2=1D. z 的虚部为 −1

30. 已知 z1 与 z2 是共轭复数（虚部均不为 0），下列四个结论一定正确的是
A. z12<∣z2∣2B. z1z2=∣z1z2∣C. z1+z2∈RD. z1z2∈R
答案
第一部分
1. D【解析】由 z2+2=0，可得 z=±2i，所以 z3=±22i．
2. B【解析】因为 i3=−i，i1+i=−1+i，1−i2=−2i，
所以纯虚数有 i3 和 1−i2，共 2 个．
故选B．
3. B【解析】由 1−iz=1 得 z=11−i=1+i2，
则 2z−3=−2+i=5．
4. A【解析】z+z=2a=2⇒a=1，z2−ai=1+2i2−i=52+i5 = 255+55i，
所以对应点位于第一象限．
5. D
【解析】z=1−i21+i=−2i1+i=−2i1−i1+i1−i=−1−i．
6. A【解析】因为 i607=i4×151+3=i4151⋅i3=−i，
所以 i607 的共轭复数为 i．
7. A【解析】z1−z2=y+xi−yi−x=x+y+x−yi=2，
所以 x+y=2,x−y=0.
所以 x=y=1．
所以 xy=1．
8. B【解析】1−i1+i=1−i21+i1−i=−2i2=−i．
9. C【解析】由题意得
2+4i⋅i5=2+4i⋅i22⋅i=2+4i⋅i=−4+2i.
10. C
【解析】z1−z2=4+29i−6−9i=−2+20i，
所以 z1−z2 的实部为 −2．
11. B【解析】z=i2+i=2−ii2+i2−i=13+23i，故 Imz=23．
12. B【解析】依题意得，z=5−2+2+1i=3+3i，
所以 ∣z∣=32+32=32．
13. D【解析】因为 i2+i=−1+2i，
所以复数 3−4i，i2+i 对应的点 A，B 的坐标分别为 A3,−4，B−1,2．
所以线段 AB 的中点 C 的坐标为 1,−1．
则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 1−i．故选D．
14. B【解析】由题意知 z=1+2i，则 i⋅z=i1+2i=−2+i．故选B．
15. C
【解析】因为 z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，
所以 ∣z∣=12+12=2．
16. D【解析】依题意有 OA−OB=3+i−−1+3i=4−2i，
即 BA 对应的复数是 4−2i．
17. C【解析】由复数的运算法则得 z=2i1+i=−2+2i，则 z=−2−2i，其对应的点 −2,−2 位于第三象限．故选C．
18. B【解析】复数 z 满足 z⋅1+i=2，则 z=21+i，由复数的除法运算化简可得 z=21+i=21−i1+i1−i=1−i，由复数模的定义及运算可得 ∣z∣=12+−12=2．
19. D【解析】因为 z=2+i3−i=2+i3+i3−i3+i=5+5i10=12+12i，
所以 z=12−12i．
所以复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限．
20. D
【解析】4cs−π2+isin−π2=40+i−1=−4i．
21. C【解析】1−iz=2i，
所以 z=2i1−i=2i1+i1−i1+i=−1+i，
故 z⋅z=−1+i−1−i=2．
22. B【解析】因为 z=51−2i+2+4ii=51+2i1−2i1+2i+2i−4=−3+4i，
所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 −3,4，位于第二象限．
23. C【解析】解法一：复数 z=i2−i 对应的向量 OZ 可看作是由复数 z1=2−i 对应的向量 OZ1 逆时针旋转 π2 得到的，
所以 ∣z∣=z1=22+−12=5．
解法二：因为 z=i2−i=1+2i，
所以 ∣z∣=∣1+2i∣=5．
24. C【解析】由 ∣z−4i∣=∣z+2∣，得
∣x+y−4i∣=∣x+2+yi∣，
所以 x2+y−42=x+22+y2，
即 x+2y=3，
所以 2x+4y=2x+22y≥22x+2y=223=42，
当且仅当 x=2y=32 时，2x+4y 取得最小值 42．
25. C
【解析】12cs30∘+isin30∘×2cs60∘+isin60∘×3cs45∘+isin45∘=12×2×3cs30∘+60∘+45∘+isin30∘+60∘+45∘=3cs135∘+isin135∘=3−22+22i=−322+322i.
26. D【解析】因为复数 z=2i1−3i=2i1+3i1−3i1+3i=−32+12i，
所以复数 z=cs5π6+isin5π6，
所以复数 z 的辐角主的值为 5π6．
27. D【解析】依题意得 r=12+−12=2，复数 z=1−i 对应的点在第四象限，且 csθ=22，因此 argz=315∘，结合选项知D正确．
第二部分
28. B， C
【解析】根据题意，M=m∣m=in,n∈N 中，
n=4kk∈N 时，in=1；
n=4k+1k∈N 时，in=i；
n=4k+2k∈N 时，in=−1；
n=4k+3k∈N 时，in=−i，
所以 M=−1,1,i,−i，
选项A中，1−i1+i=2∉M；
选项B中，1−i1+i=1−i21+i1−i=−i∈M；
选项C中，1+i1−i=1+i21−i1+i=i∈M；
选项D中，1−i2=−2i∉M．
29. B， D
【解析】由题意得
z=1−3i3+i=1−3i3−i3+i3−i=3−10i+3i29−i2=−i,
所以 ∣z∣=1，z=i，z2=−i2=−1，z 的虚部为 −1．
30. B， C
【解析】z1 与 z2 是共轭复数，设 z1=a+bi，z2=a−bia,b∈R,b≠0．
z12<∣z2∣2，z12=a2−b2+2abi，∣z2∣2=a2+b2，虚数不能比较大小，所以A不正确；
z1z2=∣z1z2∣=a2+b2，B正确；
z1+z2=2a∈R，C正确；
z1z2=a+bia−bi=a+bi2a−bia+bi=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i 不一定是实数，所以D不一定正确．