【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：椭圆的概念与方程

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知 F1，F2 是定点，∣F1F2∣=8，动点 M 满足 ∣MF1∣+∣MF2∣=8，则点 M 的轨迹是
A. 椭圆B. 直线C. 圆D. 线段

2. 椭圆 x29+y25=1 的长轴长为
A. 6B. 25C. 3D. 4

3. 方程 x225−k+y216+k=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是
A. −16n>0，曲线 C2:x2a−y2b=1a>b>0．若 C1 与 C2 有相同的焦点 F1，F2，且 P 同在 C1，C2 上，则 ∣PF1∣⋅∣PF2∣=
A. m+aB. m−aC. m2+a2D. m2−a2

30. 设圆 x+12+y2=25 的圆心为 C，A1,0 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为
A. 4x221−4y225=1B. 4x221+4y225=1C. 4x225−4y221=1D. 4x225+4y221=1
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. B【解析】显然 M 到两定点 F1，F2 的距离之和等于常数 8，
但由于这个常数等于 ∣F1F2∣，
所以动点 M 的轨迹是线段 F1F2．
5. C
【解析】设所求椭圆方程为 y225−k+x29−k=1（k0，
所以 m=4．
8. B【解析】设椭圆左焦点为 F，右焦点为 F1，
因为 2a=10，∣MF∣=2，
所以 MF1=8，
因为 N 为 MF 的中点，O 为 FF1 的中点，
所以 ∣ON∣=12MF1=4．
9. A【解析】把椭圆方程 2x2+3y2=6 写成标准形式为 x23+y22=1，可得 c=3−2=1，所以焦距是 2．
10. D
【解析】由椭圆标准方程知 a=4，b=23，c=2．
当点 P 为椭圆的左，右顶点时（不妨令 P 为右顶点），PF1=a+c=6，PF2=a−c=2，则 PF1⋅PF2=6×2×cs0∘=12，故点 P 不为椭圆的左，右顶点．设 PF1 和 PF2 的夹角为 θ，
因为 PF1⋅PF2=9，
所以 PF1⋅PF2csθ=9．在 △PF1F2 中，由余弦定理得 2PF1⋅PF2⋅csθ=PF12+PF22−F1F22，即 2PF1⋅PF2csθ=PF1+PF22−F1F22−2PF1⋅PF2，即 2×9=2×42−2×22−2PF1⋅PF2，
所以 PF1⋅PF2=15．故选D．
11. A【解析】如图，设 P，Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线，线段 AF2 相切的切点，
∣MF2∣=∣F2Q∣=2a−∣F1A∣+∣AQ∣=2a−∣F1P∣=2a−∣F1M∣，
即 ∣F1M∣+∣MF2∣=2a，
所以 t=a=2．
故选A．
12. D【解析】由题可得椭圆与圆相离，设椭圆上的一点 Qx,y，
则 x2=10−10y2−1≤y≤1，
因为圆 x2+y−62=2 的圆心为 0,6，半径为 2，
所以点 Q 与圆心的距离为 x2+y−62=10−10y2+y−62=−9y+232+50≤52，
当且仅当 y=−23 时等号成立，
所以 P，Q 两点间的最大距离是 52+2=62．
13. B【解析】设椭圆 C 的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0．
因为 AF2=2F2B，AB=BF1，
所以 BF1=3F2B．
又因为 BF1+F2B=2a，
所以 F2B=a2，
则 AF2=a，AB=BF1=32a，AF1=a．
方法一：
在 △ABF1 中，由余弦定理，
得 cs∠BAF1=AB2+AF12−BF122AB⋅AF1=3a22+a2−3a222⋅3a2⋅a=13．
因为椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，
所以 c=1，F1F2=2．
在 △AF1F2 中，由余弦定理，得 F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2⋅cs∠BAF1，
即 4=a2+a2−2a2⋅13，
解得 a2=3，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1，故选B．
方法二：
因为 AF1=AF2=a，
所以点 A 为椭圆的上、下顶点．
不妨设 A0,−b，F21,0，
因为 AF2=2F2B，
所以 B32,b2，代入椭圆方程得 94a2+b24b2=1，解得 a2=3．
又因为 c=1，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1．
14. D
15. D
16. C
17. A
18. B
19. C【解析】由 MA⋅MB=0，可得 MA⋅BA=MA⋅MA−MB=MA2，设 A2csα,sinα 则 MA2=2csα−12+sin2α=3cs2α−4csα+2=3csα−232+23，所以当 csα=23 时，MA2 取得最小值 23，当 csα=−1 时，MA2 取得最大值 9，故 MA⋅BA 的取值范围为 23,9．
20. B
【解析】因为原椭圆方程 9x2+4y2=36 可化为 x24+y29=1，
所以所求椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=9−4=5．
又 2b=45，
所以 b=25，
所以 a=5+20=5．
所以所求椭圆的方程是 x220+y225=1．
21. A
22. A【解析】由题意，点 F 为椭圆 C:x22+y2=1 的左焦点，
所以 F−1,0．
因为点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为 4,3，
如图，设椭圆 C 的右焦点为 Fʹ1,0，连接 QFʹ，PFʹ，
则 ∣PQ∣+∣PF∣=∣PQ∣+22−∣PFʹ∣=22+∣PQ∣−∣PFʹ∣．
因为 ∣PQ∣−∣PFʹ∣≤∣QFʹ∣=32，
所以 ∣PQ∣+∣PF∣≤52，即要求的最大值为 52，此时 Q，Fʹ，P 三点共线．
故选A．
23. C【解析】设 Px0,y0．
因为 F1，F2 分别为椭圆 x225+y29=1 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，
所以 F1−4,0，F24,0，PF1=−4−x0,−y0，PF2=4−x0,−y0．
因为 PF1⋅PF2=−7，
所以 −4−x04−x0+−y02=−7，即 x02+y02=9. ⋯⋯①
又因为 Px0,y0 为椭圆上任意一点，
所以 x0225+y029=1, ⋯⋯②
联立①②得 x0=0,y0=3 或 x0=0,y0=−3,
所以使得 PF1⋅PF2=−7 成立的点 P 的个数为 2．
24. D【解析】如图，
当点 P 在 x 轴上方时，
OM 为 △PF1F2 的中位线，所以 P3,32，
所以 M0,34．
同理，当点 P 在 x 轴下方时，
M0,−34，
故选D．
25. B
【解析】若 m=1，n=−1，则方程 x2+y2=1 表示圆．反之，若方程表示椭圆，则 mn0，b