【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的最值

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 下列说法正确的是
A. 函数的极大值就是函数的最大值
B. 函数的极小值就是函数的最小值
C. 函数的最值一定是极值
D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值

2. 已知函数 fx=2x3−6x2+aa为常数，在区间 −2,2 上有最大值 3，则此函数在区间 −2,2 的最小值为
A. −5B. −11C. −29D. −37

3. 若函数 fx=x3−x2−x+2m 在区间 0,2 上的最大值是 4，则 m 的值为
A. 3B. 1C. 2D. −1

4. 函数 fx=x⋅ex 的最小值是
A. −1B. −eC. −1eD. 不存在

5. 已知函数 fx=2x2−6x+m （ m 为常数）在闭区间 −2,2 上有最大值 3，那么此函数在 −2,2 上的最小值为
A. −37B. −29C. −5D. −21.5

6. 函数 y=2x3−3x2−12x+5 在区间 0,3 上最大值与最小值分别是
A. 5，−4B. 5，−15C. −4，−15D. 5，−16

7. 设 y=x2+x，那么 y 在闭区间 −1,0 上的最小值为
A. 0B. −14C. 12D. −2

8. 函数 fx=x2−lnx 的最小值为
A. 1+ln2B. 1−ln2C. 1+ln22D. 1−ln22

9. 函数 fx=−x2+x+a，gx=ex−2x2（e 为自然对数的底数），若任意 x∈0,1，都有 fgx≤0，则实数 a 的最大值是
A. e2−5e+6B. e2−3e+6C. 2D. −14

10. 函数 fx=x+2csx 在 0,π2 上的最大值为
A. 2B. π6+3C. π3+1D. π3+3

11. 函数 fx=1−xex 有
A. 最大值为 1B. 最小值为 1C. 最大值为 eD. 最小值为 e

12. 把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. 332 cm2B. 4 cm2C. 32 cm2D. 23 cm2

13. fx=ex−x 在区间 −1,1 上的最大值是
A. 1+1eB. 1C. e+1D. e−1

14. 已知函数 fx=x2+1−ax−3−aex 在区间 1,2 上有最大值无最小值，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,−4B. −1,+∞C. −4,−1D. −4,−1

15. 若关于 x 的不等式 x3−3x+3+a≤0 在 x∈−2,3 上恒成立，则实数 a 的最大值为
A. 1B. −1C. −5D. −21

16. 函数 y=lnxx 的最大值为
A. e−1B. eC. e2D. 103

17. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为
A. 2000π9B. 4000π27C. 81πD. 128π

18. 函数 fx=3x−4x3x∈0,1 的最大值是
A. 1B. 12C. 0D. −1

19. 函数 fx=lnx−xaa>0，若 ∃x0∈R，使得 ∀x1∈1,2 都有 fx1A. 0,1B. 1,2
C. 2,+∞D. 0,1∪2,+∞

20. 若 fx=sin3x+acs2x 在 0,π 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是
A. 0,32B. 0,32C. 32,+∞D. 0,+∞

21. 函数 fx=sin2x−x 在区间 −π2,π2 上的最大值与最小值依次分别是
A. π6 和 −π6B. π4 和 −π4C. π3 和 −π3D. π2 和 −π2

22. fx=x3−3x2+2 在区间 −1,1 上的最大值是
A. −2B. 0C. 2D. 4

23. 已知函数 fx=x2+m 与函数 gx=−ln1x−3xx∈12,2 的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是
A. 54+ln2,2B. 2−ln2,54+ln2
C. 54+ln2,2−ln2D. 2−ln2,2

24. 已知函数 y=x3−3x，x∈a2+1,2 的最小值是 a2−2，则实数 a 的值是
A. a=12B. a=−12C. 0D. 1

25. 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为
A. 3VB. 32VC. 34VD. 23V

26. 如果函数 fx=13x3−a2x 满足：对于任意的 x1,x2∈0,1，都有 |fx1−fx2|≤1 恒成立，则 a 的取值范围是
A. −233,233B. −233,233
C. −233,0∪0,233D. −233,0∪0,233

27. 函数 y=x3−3x，x∈0,2 的最大、最小值分别为
A. 2，−2B. 2，0C. 4，−2D. 4，0

28. 若对任意的正实数 x，不等式 ex≥ax+x2lnx 恒成立，则正整数 a 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

29. 设函数 fx=ax3−3x+1 x∈R，若对于 x∈−1,1，都有 fx≥0 成立，则实数 a 的值为
A. 4,+∞B. −∞,4C. 4D. 2,4

30. 下列关于函数 fx=2x−x2ex 的判断正确的是
① fx>0 的解集是 x0② f−2 是极小值，f2 是极大值；
③ fx 没有最小值，也没有最大值；
④ fx 有最大值，没有最小值．
A. ①③B. ①②③C. ②④D. ①②④
答案
第一部分
1. D【解析】函数的极值与最值没有必然联系．
2. D
3. B【解析】fʹx=3x2−2x−1，令 fʹx=0，
解得 x=−13（舍去）或 x=1．
又 f0=2m，f1=2m−1，f2=2m+2，则 f2 最大，
所以 2m+2=4，
所以 m=1．
4. C【解析】由题意得，fʹx=ex+xex=1+xex．
令 fʹx=0，得 x=−1．
当 x<−1 时，fʹx<0，fx 单调递减；当 x>−1 时，fʹx>0，fx 单调递增．
因此 fx 在 x=−1 处取得极小值也是最小值，且最小值为 f−1=−1e．
5. D
6. B
7. B
8. C【解析】因为 fx=x2−lnxx>0，所以 fʹx=2x−1x，令 2x−1x=0 得 x=22，
令 fʹx>0，则 x>22；令 fʹx<0，则 0所以 fx 在 0,22 上单调递减，在 22,+∞ 上单调递增，
所以 fx 的极小值（也是最小值）为 222−ln22=1+ln22．
9. A【解析】由于 gʹx=ex−4x，令 mx=ex−4x，
当 x∈0,1 时，mʹx=ex−4<0，
又 m0=1>0，m1=e−4<0，
所以 mx 在 0,1 上有唯一一个零点 x0，
即 ex0−4x0=0 且 gx 在 0,x0 上单调递增，在 x0,1 上单调递减，
所以 e−2≤gx≤gx0=ex0−2x02=4x0−2x02=−2x0−12+2<2，
令 u=gx∈e−2,2，则 fu≤0，即 a≤u2−u=u−122−14，
所以 a≤e−22−e−2=e2−5e+6．
10. B
【解析】fx=x+2csx⇒fʹx=1−2sinx，
当 fʹx>0 时，有 1−2sinx>0⇒sinx<12，
因为 x∈0,π，所以 x∈0,π6，因此当 x∈0,π6 时，函数 fx 单调递增；
当 fʹx<0 时，有 1−2sinx<0⇒sinx>12，
因为 x∈0,π，所以 x∈π6,π2，因此当 x∈π6,π2 时，函数 fx 单调递减，
因此 x=π6 是函数 fx 在 0,π2 上的极大值点，
极大值为 fπ6=π6+2csπ6=π6+2×32=π6+3，
而 f0=0+2cs0=2，fπ2=π2+2csπ2=π2，
因为 π6+3>2>π2，所以 fx=x+2csx 在 0,π2 上的最大值为 π6+3．
11. A【解析】fʹx=−ex+1−xex=−xex，当 x<0 时，fʹx>0，当 x>0 时，fʹx<0，
所以 fx 在 −∞,0 上单调递增，在 0,+∞ 上单调递减，
所以 fx 有最大值为 f0=1．
12. D【解析】设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为 4−xcm，两个三角形的面积之和为
S=34x2+344−x2=32x2−23x+43．
令 Sʹ=3x−23=0，则 x=2，
所以 Smin=23 cm2．
13. D【解析】fʹx=ex−1，令 fʹx=0，得 x=0，令 fʹx>0，得 x>0，令 fʹx<0，得 x<0，
则函数 fx 在 −1,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增，
f−1=e−1+1，f1=e−1，f−1−f1=1e+2−e<12+2−e<0，
所以 f1>f−1．
故选D．
14. C
15. D
【解析】若关于 x 的不等式 x3−3x+3+a≤0 在 x∈−2,3 上恒成立，
则 a≤−x3+3x−3 在 x∈−2,3 上恒成立，
令 fx=−x3+3x−3，x∈−2,3，则 fʹx=−3x2+3=−3x+1x−1，
令 fʹx>0，解得 −1令 fʹx<0，解得 −2≤x<−1 或 1故 fx 在 −2,−1 上单调递减，在 −1,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
而 f−2=−1，f−1=−5，f1=−1，f3=−21，
故 a≤−21，故 a 的最大值是 −21．
16. A【解析】令 yʹ=lnxʹx−lnx⋅xʹx2=1−lnxx2=0，x=e，
当 x>e 时，yʹ<0；
当 x0，y极大值=fe=1e，
在定义域内只有一个极值，
所以 ymax=1e．
17. B【解析】小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为 5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为 h0由于 r，h 和球的半径构成直角三角形，即 r2+h2=52，
所以小圆柱的体积 V=πr2h+5=π25−h2h+50当 00，V 单调递增；
当 53所以当 h=53 时，小圆柱的体积取得最大值．
即 Vmax=π25−259×53+5=4000π27．
18. A【解析】fʹx=3−12x2，
令 fʹx=0，则 x=−12（舍去）或 x=12，
f0=0，f1=−1，
f12=32−12=1，
所以 fx 在 0,1 上的最大值为 1．
19. D【解析】由题意可知函数 fx 的定义域为 0,+∞，fʹx=1x−1aa>0，
当 x∈0,a 时，fʹx>0，fx 单调递增；当 x∈a,+∞ 时，fʹx<0，fx 单调递减；
故 fxmax=fa，∃x0∈R，使得 ∀x1∈1,2 都有 fx1fx1 对 ∀x1∈1,2 恒成立，故 a∉1,2，
所以实数 a 的取值范围是 0,1∪2,+∞．
20. D
【解析】由 fʹx=3sin2x⋅csx+2acsx⋅−sinx=3sinx⋅csx⋅sinx−2a3，x∈0,π，
因为 sinx>0，令 gx=csx⋅sinx−2a3，
若 2a3≥1，即 a≥32 时，sinx−2a3≤0 恒成立，
所以 x∈0,π2 时 gx<0，x∈π2,π 时 gx>0，
所以当 x=π2 时 fx 有最小值，
当 0<2a3<1，即 0不妨设两解为 x1，x2，
当 x∈0,x1 时 gx<0，x∈x1,π2 时 gx>0，
当 x∈π2,x2 时 gx<0，当 x∈x2,π 时，gx>0，
所以函数 fx 必有最小值 fx1 与 fx2 中较小者．
21. D
22. C
23. D【解析】由题意知方程 fx+gx=x2+m−ln1x−3x=0 在 12,2 上有解，等价于 m=−x2+3x−lnx．
令 hx=−x2+3x−lnx，则 hʹx=−2x−1x−1x．
令 hʹx=0，得 x=12或1，则由 h1=2，h2=2−ln2，h12=54+ln2，比较大小知 hxmax=2，hxmin=2−ln2．
所以实数 m 的取值范围是 2−ln2,2．
24. C
25. C
26. A【解析】a=0 时，满足题意，排除C，D， a=±233 时成立，排除B，正确答案为 −233,233．
27. A
28. B【解析】当 x=1 时，有 a≤e，所以正整数 a 的可能取值为 1，2．
当 a=2 时，不等式为 ex−2x≥x2lnx，即 exx2−2x−lnx≥0 对任意的 x>0 恒成立．
记 gx=exx2−2x−lnx，则 gʹx=x−2exx3+2x2−1x=x−2ex−xx3 x>0，
显然 ex>x，所以当 x∈0,2 时，gʹx<0，函数 gx 单调递减；
当 x∈2,+∞时，gʹx>0，函数 gx 单调递增．
所以 gx≥g2=14e2−4−4ln2>0，所以当 a=2 时，对任意的正实数 x，不等式 ex≥ax+x2lnx 恒成立，
所以正整数 a 的最大值为 2．
29. C【解析】因为 x∈−1,1，所以分三种情况讨论：
（1）若 x=0，fx≥0 恒成立；
（2）若 x∈0,1，fx≥0 化为
a≥3x2−1x3
令
gx=3x2−1x3
则
gʹx=31−2xx4
当 x∈0,12 时，gʹx>0，所以 gx 在 0,12 上是增函数；
当 x∈12,1 时，gʹx<0，所以 gx 在 12,1 上是减函数．
gx 此时的最大值为 g12=4，则 a≥4；
（3）若 x∈−1,0，fx≥0 化为
a≤3x2−1x3=gx,gʹx=31−2xx4>0
则 gx 在 −1,0 上为增函数，gx 此时的最小值为 g−1=4，则 a≤4．
综上，a=4．
其他方法：
由题意知 f−1≥0，则 a≤4；f1≥0，则 a≥2，所以得 2≤a≤4．
由 fx≥0 得 ax3≥3x−1，则在闭区间 −1,1 上曲线 C：y=ax3 必在直线 l：y=3x−1 之上或两者相切．而当 x=−1 时，a−13=−a≥−4，以静态的方式来观察，临界情况相切一定在第一象限发生．令 yʹ=3ax2=3，则
x=1a∈0,1.
曲线 C 在直线 l 的上方，则
a1a3≥3a−1.
解得 a≥4，结合 2≤a≤4，所以可得 a=4．验证得此时满足条件．
30. D
【解析】fx>0 即 2x−x2>0，所以解集为 x0