【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的单调性

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这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的单调性，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共29小题；共145分）
1. 定义在 0,+∞ 上的可导函数 fx 满足 fʹx⋅x0 的解集为
A. 0,2B. 0,2∪2,+∞
C. 2,+∞D. 0,+∞

2. 函数 y=xcsx−sinx 在下面哪个区间内是增函数
A. π2,3π2B. π,2πC. 3π2,5π2D. 2π,3π

3. 已知 fx=lnxx，则
A. f2>fe>f3B. f3>fe>f2
C. f3>f2>feD. fe>f3>f2

4. 函数 fx=x−3ex 的单调递增区间是
A. −∞,2B. 0,3C. 1,4D. 2,+∞

5. 函数 fx=x−12x 的单调递增区间是
A. 0,4B. −∞,1C. 0,1D. −∞,4

6. 函数 y=fx 的图象如图所示，下列数值排序正确的是
A. fʹ1B. fʹ1C. fʹ2D. fʹ2
7. 已知函数 fx 是 R 上的可导函数，fx 的图象如图所示，则下列不等式正确的是
A. fʹaC. fʹa
8. 函数 fx=1+x−sinx 在 0,2π 上是
A. 增函数
B. 减函数
C. 在 0,π 上增，在 π,2π 上减
D. 在 0,π 上减，在 π,2π 上增

9. 函数 fx=ex−ex，x∈R 的单调递增区间是
A. 0,+∞B. −∞,0C. −∞,1D. 1,+∞

10. 已知函数 fx=x2−2csx，则 f0，f−13，f23 的大小关系是
A. f0C. f23
11. 函数 fx=x2ln∣x∣ 的图象大致是
A. B.
C. D.

12. 若函数 fx=kx−lnx 在区间 1,+∞ 上单调递增，则 k 的取值范围是
A. −∞,−2B. −∞,−1C. 2,+∞D. 1,+∞

13. 函数 fx=ex−e−xx2 的图象大致为
A. B.
C. D.

14. 函数 fx 的定义域为 R，f−1=2，对任意 x∈R，fʹx>2，则 fx>2x+4 的解集为
A. −1,1B. −1,+∞C. −∞,−1D. −∞,+∞

15. 已知 x∈0,2，若关于 x 的不等式 xex<1k+2x−x2 恒成立，则实数 k 的取值范围为
A. 0,e+1B. 0,2e−1C. 0,eD. 0,e−1

16. 已知函数 fx=x3+3x，则不等式 81+x3+61+x>x3+3x 的解集为
A. −∞,−2∪−1,1B. −2,−1∪1,+∞
C. −∞,−2∪1,+∞D. −2,1

17. 已知函数 fx=x2−csx，则 f35，f0，f−12 的大小关系是
A. f0C. f35
18. 函数 fx=aexx，x∈1,2，且 ∀x1,x2∈1,2，x1≠x2，fx1−fx2x1−x2<1 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,4e2B. 4e2,+∞C. −∞,0D. 0,+∞

19. 已知函数 fx 的定义域为 R，f12=−12，对任意的 x∈R 满足 fʹx>4x．当 α∈0,2π 时，不等式 fsinα+cs2α>0 的解集为
A. π6,5π6B. 4π3,5π3C. π3,2π3D. 7π6,11π6

20. 已知函数 fx=lnx−a2x2−2x 存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是
A. −1,+∞B. −1,+∞C. −∞,−1D. −∞,−1

21. 已知函数 y=fx 的定义域为 −π,π，且函数 y=fx+2 的图象关于直线 x=−2 对称，当 x∈0,π 时，fx=πlnx−fʹπ2sinx（其中 fʹx 是 fx 的导函数），若 a=flgπ3，b=lg139，c=fπ13，则 a，b，c 的大小关系是
A. b>a>cB. a>b>cC. c>b>aD. b>c>a

22. 已知函数 fx=x3+2x+1，若 fax−ex+1>1 在 x∈0,+∞ 上有解，则实数 a 的取值范围为
A. 1,eB. 0,1C. −∞,1D. 1,+∞

23. 已知函数 fx=x3+ax2+bx+c，gx 为 fx 的导函数．若 fx 在 0,1 上单调递减，则下列结论正确的是
A. a2−3b 有最小值 3B. a2−3b 有最大值 23
C. f0⋅f1≤0D. g0⋅g1≥0

24. 已知定义在 R 上的函数 fx 的图象关于 y 轴对称，且当 x∈0,+∞ 时，fx+xfʹx>0，若 a=，b=，c=60.6⋅f60.6，则 a，b，c 的大小关系是
A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c

25. 若 0A. ex2−ex1>lnx2−lnx1B. ex2−ex1C. x2ex1>x1ex2D. x2ex1
26. 已知函数 fx+1 是偶函数，当 x∈1,+∞ 时，函数 fx=sinx−x，设 a=f−12，b=f3，c=f0，则 a，b，c 的大小关系为
A. b
27. 已知 a,b∈0,e，且 aA. alnbblnaC. alna>blnbD. alna
28. 若函数 fx=x2−cx+5ex 在区间 12,4 上单调递增，则实数 c 的取值范围是
A. −∞,2B. −∞,4C. −∞,8D. −2,4

29. 已知 fx 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 fʹx，若 fʹxA. 1,+∞B. e,+∞C. −∞,0D. −∞,1e

二、多选题（共1小题；共5分）
30. 已知函数 fx=exx3，则下列结论正确的是
A. fx 在 R 上单调递增
B. flg52C. 方程 fx=−1 有实数解
D. 存在实数 k，使得方程 fx=kx 有 4 个实数解
答案
第一部分
1. A【解析】fxxʹ=fʹx⋅x−fxx2<0，
所以 fxx 为减函数．
因为 f2=0，
所以 f22=0．
所以 fxx>0 的解集为 0,2．
2. B【解析】解法一：（分析法）：计算函数在各个端点处的函数值，有下表：
xπ2π3π22π5π23πy−1−π12π−1−3π
由表中数据大小变化易得结论B．
解法二：（求导法）：由 yʹ=−xsinx>0，则 sinx<0，则 π+2kπ3. D【解析】fx 的定义域是 0,+∞，因为 fʹx=1−lnxx2，
所以 x∈0,e，fʹx>0，x∈e,+∞，fʹx<0，
故 x=e 时，fxmax=fe，
又 f2=ln22=ln86，f3=ln33=ln96，
则 fe>f3>f2．
4. D【解析】fʹx=x−2ex，令 fʹx>0，得 x>2，即 fx 的单调递增区间是 2,+∞．
5. C
【解析】函数 fx 的定义域为；0,+∞，fx=x−12x⇒fʹx=12x−12，
当 fʹx=12x−12>0 时，函数单调递增，解得 0所以函数 fx=x−12x 的单调递增区间是 0,1．
6. B
7. A
8. A【解析】因为 fʹx=1−csx>0，
所以 fx 在 0,2π 上是增函数．
9. D【解析】由题意知，fʹx=ex−e，令 fʹx>0，解得 x>1．
10. A
【解析】易知 fx=x2−2csx 为偶函数，
所以 f−13=f13，
因为 fʹx=2x+2sinx，当 x∈0,1 时，fʹx>0，
所以 fx 在 0,1 上为增函数，
所以 f0所以 f0故选A．
11. D【解析】易得 f−x=−x2ln∣x∣=−fx，
所以函数 fx 是奇函数，故排除选项A，C，
又当 012. D【解析】fʹx=k−1x=kx−1x，且 x>0，
由题意可知当 x>1 时，fʹx≥0，即得 kx−1≥0，解得 x≥1k（k<0 时不满足），
因为函数 fx 在区间 1,+∞ 上单调递增，所以 1k≤1，解得 k≥1．
13. B【解析】因为 x≠0，f−x=e−x−exx2=−fx，所以 fx 为奇函数，舍去A；
因为 f1=e−e−1>0，所以舍去D；
因为 fʹx=ex+e−xx2−ex−e−x2xx4=x−2ex+x+2e−xx3，所以 x>2 时，fʹx>0，fx 单调递增，舍去C．
14. B【解析】由 fx>2x+4，得 fx−2x−4>0，
设 Fx=fx−2x−4，则 Fʹx=fʹx−2，
因为 fʹx>2，
所以 Fʹx>0 在 R 上恒成立，
所以 Fx 在 R 上单调递增．
又 F−1=f−1−2×−1−4=2+2−4=0，
故不等式 fx−2x−4>0 等价于 Fx>F−1，
所以 x>−1．
15. D
【解析】依题意，知 k+2x−x2>0，即 k>x2−2x 对任意 x∈0,2 恒成立，从而 k≥0，
所以由 xex<1k+2x−x2 可得 k则 fʹx=exx−1x2+2x−1=x−1exx2+2．
令 fʹx=0，得 x=1，当 x∈1,2 时，fʹx>0，函数 fx 在 1,2 上单调递增，
当 x∈0,1 时，fʹx<0，函数 fx 在 0,1 上单调递减，
所以 k16. A
17. B【解析】因为函数 f−x=−x2−cs−x=x2−csx=fx，所以 fx 为偶函数，
所以 f0.5=f−0.5，fʹx=2x+sinx，
当 00，所以函数在 0,π2 上递增，
所以 f018. A
19. A
20. B
21. D【解析】因为 fx=πlnx−fʹπ2sinx，
所以 fʹx=πx−fʹπ2csx，fʹπ2=2−fʹπ2csπ2=2，
所以 fʹx=πx−2csx，
当 π2≤x<π 时，2csx≤0，fʹx>0；
当 02，2csx<2，
所以 fʹx>0，即 fx 在 0,π 上单调递增，
因为 y=fx+2 的图象关于 x=−2 对称，
所以 y=fx+2 向右平移 2 个单位长度得到 y=fx 的图象关于 y 轴对称，即 y=fx 为偶函数，b=flg139=f−2=f2，0=lgπ1即 0所以 f2>fπ13>flgπ3，即 b>c>a．
22. D
23. D【解析】由题意可得 gx=fʹx=3x2+2ax+b，
因为 fx 在 0,1 上单调递减，
所以 gx≤0 在 0,1 上恒成立，即 g0≤0，g1≤0，
所以 g0⋅g1≥0，故选D．
24. A【解析】因为定义在 R 上的函数 fx 的图象关于 y 轴对称，
所以 y=fx 是定义在 R 上的偶函数，
所以 y=xfx 是定义在 R 上的奇函数，
又因为 x∈0,+∞ 时，yʹ=fx+xfʹx>0，
所以 y=xfx 在 0,+∞ 上是增函数，
所以 y=xfx 是定义在 R 上的增函数，
因为 lg0.76<0<0.76<1<60.6，
所以 b25. C
【解析】设 fx=exx，则 fʹx=xex−exx2=exx−1x2．
当 0因为 0所以 fx2所以 x2ex1>x1ex2，故选C．
26. A【解析】函数 fx+1 是偶函数，函数 fx 的图象关于直线 x=1 对称，
又因为当 x∈1,+∞ 时，函数 fx=sinx−x，
所以 b=f3，a=f−12=f52，c=f0=f2，
又 x∈1,+∞ 时，fʹx=csx−1≤0，
所以当 x∈1,+∞ 时，函数 fx=sinx−x 单调递减，
所以 b27. B【解析】设 fx=lnxx，则 fʹx=1−lnxx2，
在 0,e 上，fʹx>0，fx 单调递增，
所以 fa设 gx=xlnx，则 gʹx=1+lnx，
当 x∈0,1e 时，gʹx<0，gx 单调递减，
当 x∈1e,e 时，gʹx>0，gx 单调递增，
所以C，D均不正确．
28. B【解析】若函数 fx=x2−cx+5ex 在区间 12,4 上单调递增，
则 fʹx=x2+2−cx+5−cex≥0 在区间 12,4 上恒成立．
即 x2+2−cx+5−c≥0 在区间 12,4 上恒成立，
即 c≤x2+2x+5x+1 在区间 12,4 上恒成立．
令 gx=x2+2x+5x+1，
则 gʹx=x2+2x−3x+12．
令 gʹx=0，
则 x=1或−3．
当 x∈12,1 时，gʹx<0，gx 为减函数；
当 x∈1,4 时，gʹx>0，gx 为增函数，
故当 x=1 时，gx 取最小值 4，
故 c∈−∞,4．
29. A【解析】因为函数 fx 是偶函数，
所以 fx+1=f3−x=fx−3．
所以 fx+4=fx，即函数 fx 是周期为 4 的周期函数．
因为 f2015=f4×504−1=f−1=f1=2，
所以 f1=2．
设 gx=fxex，则 gʹx=fʹxex−fxexe2x=fʹx−fxex<0，
所以 gx 在 R 上单调递减．
不等式 fx<2ex−1 等价于 fxex<2e，即 gx所以 x>1，
所以不等式 fx<2ex−1 的解集为 1,+∞．
第二部分
30. B， C， D
【解析】因为 fx=exx3，
所以 fʹx=exx3+3exx2=x+3x2ex，
故函数在 −∞,−3 上单调递减，在 −3,+∞ 上单调递增，A错误；
01，即 lg52 f0=0，f−3=−27e3<−1，故方程 fx=−1 有实数解，C正确；
易知当 x=0 时，fx=kx=0，当 x≠0 时，k=fxx=exx2，
设 gx=exx2x≠0，则 gʹx=x+2exxx≠0，
当 x∈0,+∞ 时，gʹx>0，当 x∈−2,0 时，gʹx<0，当 x∈−∞,−2 时，gʹx>0，
故函数 gx 在 0,+∞ 上单调递增，在 −2,0 上单调递减，在 −∞,−2 上单调递增，且 g−2=4e2，
画出函数 gx 的图象，如图所示．
当 0综上所述，存在实数 k，使得方程 fx=kx 有 4 个实数解，D正确．
故选BCD．

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