


人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测6 试卷
展开
这是一份人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测6 试卷,共11页。
第六章 综合检测
考试时间120分钟,满分150分.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中正确的是( D )
A.-= B.+=0
C.0·=0 D.++=
[解析] 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0.
2.如图,a-b等于( C )
A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
[解析] a-b=e1-3e2.
3.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则( B )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上 D.O,A,B,M四点共线
[解析] =λ+-λ,所以-=λ(-),=λ,由λ∈(1,2)可知,A,B,M三点共线,且B在线段AM上.
4.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边,b=,c=,B=,那么a等于( C )
A.1 B.2
C.4 D.1或4
[解析] 在△ABC中,b=,c=,cos B=,由余弦定理有b2=a2+c2-2accos B,即7=a2+3-3a,
解得a=4或a=-1(舍去).故a的值为4.
5.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,则实数λ=( C )
A.- B.
C.-2 D.2
[解析] a+λb=(1,2)+(-2λ,3λ)
=(1-2λ,2+3λ),
由(a+λb)⊥c,可得(1-2λ)×4+(2+3λ)×5=0,解得λ=-2.
6.如图所示,为测量一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( A )
A.(30+30)m B.(30+15)m
C.(15+30)m D.(15+3)m
[解析] 方法一:在△ABP中,由正弦定理可得=,
则PB==30(+)(m).
设树的高度为h,则h=PBsin 45°=(30+30)m.
方法二:设树的高度为h,则AB=-=60,解得h=(30+30)m.
7.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D为BC上一点,且=,则AD的长为( C )
A.4(-1) B.4(+1)
C.4(3-) D.4(3+)
[解析] 由题意知∠BAC=75°,根据正弦定理,得
AB==8(-1),
因为=,所以BD=BC.
又BC=8,所以BD=4(-1).
在△ABD中,AD=
=4(3-).故选C.
8.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( D )
A.2 B.0
C.-1 D.-2
[解析] 由平行四边形法则得+=2,
故(+)·=2·,又||=2-||,且,反向,设||=t(0≤t≤2),则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
∵0≤t≤2,
∴当t=1时,(+)·取得最小值-2,故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )
A.0或1 B.2或3
C.4 D.6
[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形,其内切圆半径恰好为1,它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个,1个,2个,3个,4个,故选ABC.
10.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为( AB )
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n
[解析] 对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;对于C,若m=0,则不能推出a=b,错误;对于D,若a=0,则m,n没有关系,错误.故选AB.
11.对于△ABC,有如下命题,其中正确的有( ACD )
A.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
B.若sin A=cos B,则△ABC为直角三角形
C.若sin 2A+sin 2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形
D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为或
[解析] 对于A,sin 2A=sin 2B,∴A=B⇒△ABC是等腰三角形;对于B,由sin A=cos B,∴A-B=或A+B=.∴△ABC不一定是直角三角形,B错误;对于C,sin 2A+sin 2B<1-cos2C=sin 2C,∴a2+b2<c2,∴△ABC为钝角三角形,C正确;
对于D,如图所示,由正弦定理,得sin C==.而c>b,∴C=60°或C=120°,∴A=90°或A=30°,∴S△ABC=bcsin A=或,D正确.故选ACD.
12.给出下列四个命题,其中正确的选项有( BC )
A.非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是60°
B.若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a,b的夹角为120°,则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1
D.若=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是m>-
[解析] A中,令=a,=b.以,为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|=|a-b|,
∴四边形OACB为菱形,∠AOB=60°,∠AOC=30°,即a与a+b的夹角是30°,故A错误;B中,∵(+)·(-)=0,
∴||2=||2,故△ABC为等腰三角形,故B正确;C中,∵(2a+xb)2=4a2+4xa·b+x2b2=4+4xcos 120°+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,故|2a+xb|取最小值时x=1.故C正确;D中,∵=-=(3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),=-=(5-m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC为锐角,∴·>0,即3+3m+m>0,∴m>-.又当与同向共线时,m=,故当∠ABC为锐角时,m的取值范围是m>-且m≠,故D不正确.故选BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos 〈a,c〉=____.
[解析] 由题意,得cos 〈a,c〉=
===.
14.在△ABC中,若BC=,sin C=2sin A,则AB=__2__.
[解析] 利用正弦定理化简sin C=2sin A,得AB=2BC,∵BC=,∴AB=2.
15.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是__4__.
[解析] 由于a⊥b,由此画出以a,b为邻边的矩形ABCD,如图所示,其中,=a,=b,∵a+b+c=0,∴=c,=a-b.
∵(a-b)⊥c,∴矩形的两条对角线互相垂直,则四边形ABCD为正方形.
∴|a|=|b|=1,|c|=,|a|2+|b|2+|c|2=4.
16.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)·(a+b+c)=3ab,且c=4,则角C=____,△ABC面积的最大值为__4__.
[解析] (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2=3ab,∴a2+b2-c2=ab.
又∵a2+b2-c2=2abcos C,
∴2abcos C=ab,∴cos C=,
∵C∈(0,π),∴C=.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,
∴16=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,
∴ab≤16.
∴△ABC面积的最大值
S=absin C≤×16×sin =4.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,cos A=,sin B=,c>4.
(1)求b;
(2)求△ABC的周长.
[解析] (1)因为a=4,cos A=,sin B=,
所以sin A==,
所以由正弦定理可得:b===5.
(2)因为由余弦定理可得:
a2=b2+c2-2bccos A,
可得:16=25+c2-2×5×c×,
整理可得:2c2-15c+18=0,
解得:c=6或(由c>4,舍去),
所以△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15.
18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
[解析] (1)=(3,5),=(-1,1),
求两条对角线的长即求|+|与|-|的大小.由+=(2,6),得|+|=2,
由-=(4,4),得|-|=4.
(2)=(-2,-1),
∵(-t)·=·-t2,
易求·=-11,2=5,
∴由(-t)·=0得t=-.
19.(本小题满分12分)在锐角△ABC中,a=2,______.
(1)求角A;
(2)求△ABC的周长l的范围.
注:在①m=,n=,且m·n=-,
②(2b-c)cos A=acos C,
③f(x)=cos xcos-,f(A)=.
这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
[解析] (1)若选①,∵m=,n=,且m·n=-,
∴m·n=-cos2+sin 2=-,
∴cosA=,∵A∈,∴A=.
若选②,∵(2b-c)cos A=acos C,
∴2bcos A=acos C+ccos A=a·+c·,
∴2bcos A=b,∴cos A=,
∵A∈,∴A=.
若选③,f(x)=cos x-=cos2x+cos xsin x-=×+×-==sin ,
∵f(A)=,∴sin =.
∵A∈,∴A=.
(2)∵=4,∴l=4sin +4sin B+2,
∴l=4sin +2.
∵△ABC为锐角三角形且A=,∴B∈,
∴B+∈,∴l∈(6+2,6].
20.(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是边BC的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
[解析] 如图,B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).
设=λ,
则=+=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).
又=(-1,2),⊥,
∴·=0,
∴-2λ+2(2-2λ)=0,
∴λ=.
∴=,=-=.
又=(1,0),∴cos ∠ADB==,
cos ∠FDC==,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),
∴∠ADB=∠FDC.
21.(本小题满分12分)如图所示,甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10 n mile,问乙船每小时航行多少n mile?
[解析] 解法一:如图,连接A1B2,
由题意知A2B2=10 n mile,A1A2=30×=10 n mile.
所以A1A2=A2B2.
又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
所以△A1A2B2是等边三角形.
所以A1B2=A1A2=10 n mile.
由题意知,A1B1=20 n mile,∠B1A1B2=105°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理,得B1B=A1B+A1B-2A1B1·A1B2·cos 45°=202+(10)2-2×20×10×=200.
所以B1B2=10 n mile.
因此,乙船速度的大小为×60=30(n mile/h).
答:乙船每小时航行30 n mile.
解法二:如下图所示,连接A2B1,
由题意知A1B1=20 n mile,A1A2=30×
=10 n mile,∠B1A1A2=105°,
又cos 105°=cos(45°+60°)
=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=,
sin 105°=sin (45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°
=,
在△A2A1B1中,由余弦定理,得A2B=A1B+A1A-2A1B1·A1A2·cos 105°=202+(10)2-2×20×10×=100(4+2),
所以A2B1=10(1+)n mile
由正弦定理,得sin ∠A1A2B1=·sin ∠B1A1A2=×=,
所以∠A1A2B1=45°,即∠B1A2B2=60°-45°=15°,cos 15°=sin 105°=.
在△B1A2B2中,由题知A2B2=10 n mile,
由余弦定理,得B1B=A2B+A2B-2A2B1·A2B2·cos 15°=102(1+)2+(10)2-2×10(1+)×10×=200,
所以B1B2=10 n mile,故乙船速度的大小为×60=30(n mile/h).
答:乙船每小时航行30 n mile.
22.(本小题满分12分)已知向量a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k),(x∈R,k∈R).
(1)若x∈,且a∥(b+c),求x的值;
(2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值;
(3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)∵b+c=(sin x-1,-1),又a∥(b+c),
∴-(2+sin x)=sin x-1,即sin x=-.
又x∈[-,],
∴x=-.
(2)∵a=(2+sin x,1),b=(2,-2),
∴f(x)=a·b=2(2+sin x)-2=2sin x+2.
又x∈R,
∴当sin x=-1时,f(x)有最小值,且最小值为0.
(3)∵a+d=(3+sin x,1+k),b+c=(sin x-1,-1),
若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)·(b+c)=0,
即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0,
∴k=sin 2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5.
由sin x∈[-1,1],
∴-5≤(sin x+1)2-5≤-1,得k∈[-5,-1].
∴存在k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c).
