高中物理人教版 (2019)必修 第三册第十章 静电场中的能量2 电势差学案

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知识点一 电势差
[观图助学]
如图是等高线的图示，所标数值是地面某个点高出海平面的垂直距离，也就是海拔，也称为绝对高度。而地面上某一点高出另一点的垂直距离称为相对高度。
(1)选择不同的测量起点时，不同地方的高度和两个地方的高度差会有怎样的变化？
(2)同样地，在电场中选择不同的电势零点时，不同位置的电势和两个位置的电势差又会有怎样的变化？
1.定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫电压。
2.公式：设电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则A、B两点之间的电势差为：UAB＝φA－φB。B、A两点之间的电势差为：UBA＝φB－φA。所以UAB＝
－UBA。
3.电势差的正负：电势差是标量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次用代数法相加。
4.电势差的单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V。
[思考判断]
(1)电场中两点的电势越高，电势差越大。(×)
(2)UAB>0说明从A到B电势降低。(√)
(3)电势差有正负值，是矢量。(×)
(4)电势差与电势一样，是相对量，都与零电势点的选取有关。(×)
知识点二 静电力做功与电势差的关系
[观图助学]
电荷量为q的电荷沿如图所示的曲线由电场中的A点运动到B点，已知A、B两点的电势分别为φA、φB，请思考后回答下列问题。
(1)电荷在A、B两点具有的电势能分别为多少？此过程静电力做功WAB为多少？
(2)由上述问题可以得出静电力做功与电势差之间有什么样的关系？
1.公式推导：电荷q在电场中从A点移到B点，由静电力做功与电势能变化的关系可得：WAB＝EpA－EpB，由电势能与电势的关系φ＝eq \f(Ep,q)可得EpA＝qφA，EpB＝qφB。所以WAB＝q(φA－φB)＝qUAB，所以有UAB＝eq \f(WAB,q)。
2.公式：UAB＝eq \f(WAB,q)。
3.物理意义：电场中A、B两点间的电势差，等于将电荷由A点移至B点的过程中静电力做的功与电荷量q的比值。
[思考判断]
(1)若UAB>0，则电场对电荷q做的功WAB>0。(×)
(2)UAB越大，WAB越大，WAB与UAB成正比。(×)
(3)若电场中两点间的电势差UAB＝1 V，则将单位正电荷从A点移到B点，静电力做功为1 J。(√)
知识点三 等势面
[观图助学]
如图所示，是我们在地理上学到的等高线的表示方法，思考，类比到电场中，我们怎么用类似的方法表示电场中电势相等的各点呢？
1.定义：电场中电势相等的各点构成的面。
2.等势面的特点
(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(3)两个不同的等势面永不相交。
[思考判断]
(1)电荷在等势面上移动时不受静电力作用，所以不做功。(×)
(2)等势面上各点的场强相等。(×)
(3)匀强电场中的等势面是相互平行且垂直于电场线的一簇平面。(√)
(4)等势面上，不仅各点电势相同，电场强度也一定相同。(×)
电势差由电场及电场中两点的位置决定，与有无试探电荷无关，与零电势位置的选取也无关。
若某点的电势为正值，则该点的电势比零电势点的电势高；若某点的电势为负值，则该点的电势比零电势点的电势低。
UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时静电力所做的功。
根据UAB＝φA－φB，若电势差为正，由WAB＝qUAB，若q为负电荷，电场力做负功；若q为正电荷，则电场力做正功。
由于电场线与等势面垂直，即电荷所受的静电力与等势面垂直，即当电荷沿等势面移动时，静电力方向始终与速度方向垂直，静电力不做功。
等差等势面的疏密，可以定性地比较各点场强的大小。
核心要点 对电势差与电势的理解
[观察探究]
电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少？哪个较大？
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势为多少？A、C及A、B间的电势差各为多少？通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点？
答案 (1)UAC＝φA－φC＝15 V，UAB＝φA－φB＝10 V，UAC＞UAB。
(2)UAD＝φA－φD＝18 V，若φD′＝0，φA′＝18 V；同理，φB′＝8 V，φC′＝3 V，UAC′＝φA′－φC′＝15 V，UAB′＝φA′－φB′＝10 V。电场中某点电势大小与所选取的电势零点有关，而两点间的电势差与所选取的零电势点无关。
[探究归纳]
电势差与电势的对比
[试题案例]
[例1] (多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
解析 UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B正确；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确。
答案 BD
[例2] 有一带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服静电力做功6×10－4 J，从B点移到C点时，静电力做功9×10－4 J。求：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如果B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
思路点拨
(1)可根据UAB＝eq \f(WAB,q)分析电势差。
(2)可由φ＝eq \f(Ep,q)确定电势及电势能。
解析 (1)根据U＝eq \f(W,q)
则UAB＝eq \f(－6×10－4,－3×10－6) V＝200 V，即φA－φB＝200 V
UBC＝eq \f(9×10－4,－3×10－6) V＝－300 V，即φB－φC＝－300 V
UCA＝φC－φA＝100 V。
(2)若φB＝0，则φA＝200 V，φC＝300 V
EpA＝φAq＝200×(－3×10－6) J＝－6×10－4 J。
EpC＝φCq＝300×(－3×10－6) J＝－9×10－4 J。
答案 (1)200 V －300 V 100 V
(2)200 V 300 V －6×10－4 J －9×10－4 J
方法归纳 应用公式UAB＝eq \f(WAB,q)的两种思路
(1)将各量均带正负号运算：WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性，UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。
(2)将各量的绝对值代入运算：W、q、U均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。
[针对训练1] 在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差为UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为( )
A.φA>φB>φC B.φA＜φC＜φB
C.φC>φA>φB D.φC>φB>φA
解析 根据UAB＝75 V，可得，φA－φB＝75 V，所以φA＝φB＋75 V；根据UBC＝－200 V可得φB－φC＝－200 V，所以φC＝φB＋200 V，比较可知，φC>φA>φB。
答案 C
[针对训练2] 如图所示，如果B板接地(取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零)，则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V。
(1)求M、N两点间的电势差是多少伏？
(2)如果改为A板接地，问：B点的电势是多大？M、N两点的电势各是多大？M、N两点间的电势差是多少伏？
解析 (1)M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V。
(2)若A板接地，则根据UAB＝φA－φB得，
φB＝－UAB＝UBA＝－8 V
M、N两点的电势
φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，UMN＝φM－φN＝4 V。
答案 (1)4 V (2)－8 V －2 V －6 V 4 V
核心要点 静电力做功与电势差、电势能的关系
[观察探究]
在如图所示的电场中有A、B两点，若选取无穷远处为零电势点，A、B两点的电势分别为φA、φB。
(1)A、B两点的电势差UAB是多少？若把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
(2)根据静电力做功与电势能变化的关系，求静电力对该电荷做的功。
答案 (1)UAB＝φA－φB 电势能的变化量为ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)
(2)WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB
[探究归纳]
1.对公式WAB＝qUAB和UAB＝eq \f(WAB,q)的理解
(1)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，式中UAB为A、B两点间的电势差，WAB为q从初位置A运动到末位置B时静电力做的功，计算时要注意W与U的下角标要对应，如WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。
(2)电势差UAB仅与电场中A、B两点的位置有关，不能认为UAB与WAB成正比，与q成反比，只是可以利用eq \f(WAB,q)来计算A、B两点间的电势差。
(3)WAB、UAB、q均可正可负，但代表的意义不同。WAB取正号，表示静电力做正功；UAB取正号，表示φA＞φB，q取正号，表示试探电荷为正电荷。WAB取负号，表示静电力做负功；UAB取负号，表示φA＜φB；q取负号，表示试探电荷为负电荷。
(4)WAB＝qUAB中，静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关，只与初、末位置的电势差有关。
2.静电力做功的四种求法
3.带电体只在静电力作用下的能量转化规律
(1)从动能定理角度考虑，带电体动能的变化量等于静电力对它做的功。
(2)从静电力做功与带电体的电势能变化的关系考虑，带电体的电势能的减少量等于静电力对它做的功。
(3)从能量守恒角度考虑，带电体动能的增加量等于它的电势能的减少量。
[试题案例]
[例3] 如图所示，电场中A、B两点电势差为30 V，一个电荷量为5×10－8 C的正点电荷由A运动到B，静电力对点电荷做了多少功？B、C两点间的电势差大小为15 V，该点电荷从B运动到C，静电力对点电荷做了多少功？
解析 方法一 根据静电力做功与电势差的关系得
WAB＝qUAB＝5×10－8×30 J＝1.5×10－6 J。
WBC＝qUBC＝5×10－8×(－15) J＝－7.5×10－7 J。
方法二 正点电荷从A运动到B时，是顺着电场线方向移动的，所以静电力做正功，其大小W1＝qU1＝1.5×10－6 J。
正点电荷从B运动到C时，是逆着电场线方向移动的，所以静电力做负功，其大小W2＝qU2＝7.5×10－7 J。
答案 1.5×10－6 J －7.5×10－7 J
方法归纳
分析静电场中的功能变化关系时，常结合以下三点分析
(1)合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk。这里的W合指合外力做的功。
(2)静电力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp，这与重力做功和重力势能变化量之间的关系类似。
(3)只有静电力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似。
[例4] 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为eq \r(3gh)，求：
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、C两点间的电势差。
思路点拨
第一步 抓关键点
第二步 找突破口
A到B过程中，用动能定理求静电力做的功WAB也就是WAC，据电势差的定义式可求UAC。
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功：静电力做的功WAB和重力做的功mgh，
由动能定理得WAB＋mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
代入已知条件vB＝eq \r(3gh)得
WAB＝eq \f(1,2)m·3gh－mgh＝eq \f(1,2)mgh。
(2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC，
即UAC＝UAB＝eq \f(WAB,－q)＝－eq \f(mgh,2q)。
答案 (1)eq \f(1,2)mgh (2)－eq \f(mgh,2q)
温馨提示 静电场中常用的五种功能关系
[针对训练3] 如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C、三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－eq \r(3)×10－3 J。
(1)求A、C间的电势差；
(2)若规定B点电势为零，求C点的电势。
解析 根据W＝Uq得，UAB＝eq \f(WAB,q)＝0，即φA＝φB，UBC＝eq \f(WBC,q)＝－eq \r(3)×102 V
(1)UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－eq \r(3)×102 V
(2)φB＝0，UBC＝φB－φC，
所以φC＝φB－UBC＝eq \r(3)×102 V。
答案 见解析
核心要点 等势面的特点及应用
[观察探究]
(1)观察形状不规则的带电导体附近的电场线及等势面，简述什么是等势面及其特点？
(2)当电荷从同一等势面上的A点移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？
答案 (1)电场中电势相等的各点构成的面 电场线疏的地方，等差等势面也比较疏 (2)不发生变化 静电力不做功
[探究归纳]
1.等势面的特点
(1)在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功。
(2)空间两等势面不相交。
(3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集。在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。
(5)等势面是虚拟的，是为描述电场的性质而假想的面。
2.等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低。
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地比较其中两点场强的大小。
3.几种常见电场的等势面(如图所示)
(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面。
(2)等量异号点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线。
(3)等量同号点电荷的等势面
①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低。
②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高。
(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面。
[试题案例]
[例5] (多选)如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于a等势线上，f点位于c等势线上，df平行于MN。以下说法正确的是( )
A.d点的电势高于f点的电势
B.d点的电势与e点的电势相等
C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力先做正功、后做负功
D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加
解析 电场线从M指向N，而沿电场方向电势降低，所以d点的电势高于f点的电势，选项A正确；d点和e点在同一条等势线上，所以两点电势相等，选项B正确；若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中，静电力方向与运动方向夹角为钝角，所以静电力一直做负功，选项C错误；若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，过程始末试探电荷的电势相等，所以静电力做功为零，电势能不变，选项D错误。
答案 AB
方法凝炼 等势面和电场线关系的应用
(1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
[针对训练4] 某电场中的等势面如图所示，下列关于该电场的描述正确的是( )
A.负电荷在A点的电势能比在B点的电势能大
B.负电荷在A点的电势能比在C点的电势能大
C.电荷沿等势面AB移动的过程中，静电力始终不做功
D.正电荷由A移动到C，静电力做负功
解析 负电荷在电势越高的位置电势能越小，B错误；沿等势面移动电荷，静电力不做功，负电荷在A、B两点处的电势能相同，A错误，C正确；正电荷由A移动到C，静电力做正功，D错误。
答案 C
核心要点 电场线、等势面和运动轨迹的综合分析
[要点归纳]
1.在电场中，电场线和等势面都是为了更好地描述电场而引入的，两者之间既有联系又有区别。
(1)电场线总与等势面垂直。电荷沿着电场线移动，静电力一定做功；电荷沿着等势面移动，静电力一定不做功。
(2)在同一电场中，等差等势面的疏密也反映电场的强弱，等差等势面密集处，电场线也密集，电场强；反之，电场线稀疏，电场弱。
(3)知道等势面，可画出电场线，知道电场线，也可画出等势面。
2.带电粒子在电场中的运动轨迹是由静电力和初速度共同决定的，可以根据轨迹分析受到的静电力方向，进一步研究加速度、动能、电势能的变化等。
[试题案例]
[例6] (多选)某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，沿图中虚线由M运动到N，以下说法正确的是( )
A.粒子是正电荷
B.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C.粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
D.粒子在M点的动能小于在N点的动能
解析 带电粒子在电场中运动时，受到的静电力的方向指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向上，所以此粒子为正电荷，故A正确；由电场线的分布可知，电场线在N点较密，所以粒子在N点时受到的静电力大，在N点的加速度大，故B正确；从M点到N点的过程中，静电力对粒子做正功，所以粒子的电势能要减小，动能增加，即粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，在M点的动能小于在N点的动能，故C错误，D正确。
答案 ABD
方法归纳
1.带电粒子速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受静电力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧。
2.电势能大小的判断方法
(1)静电力做功：静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。
(2)利用公式法：由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大。
[针对训练5] (多选)如图所示，虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断( )
A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC
B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA
C.电子由a到c电势能不断减小
D.电子由a到c动能不断减小
解析 由等势面画出电场线如图所示，电子在c点受力和运动方向如图，并由此进一步得出电场线垂直等势面指向左，φA>φB>φC，A正确，B错误；从a至c静电力做负功，电势能不断增加，动能不断减小，C错误，D正确。
答案 AD
1.(电势差与静电力做功)如图所示，在处于O点的点电荷＋Q形成的电场中，试探电荷＋q由A点移到B点，静电力做功为W1；以OA为半径画弧交OB于C，再把试探电荷由A点移到C点静电力做功为W2，由C点移到B点静电力做功为W3，则3次静电力做功的大小关系是( )
A.W1＝W2＝W3<0 B.W1>W2＝W3>0
C.W1＝W3>W2＝0 D.W2>W1＝W2＝0
解析 因为A、C在同一等势面上，所以UAB＝UCB，UAC＝0，W1＝W3，W2＝0。故选项C正确。
答案 C
2.(对等势面的理解)(多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则( )
A.A点场强小于B点场强
B.A点场强方向指向x轴负方向
C.A点场强大于B点场强
D.A点电势高于B点电势
解析 由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误；电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误；由图中数据可知D正确。
答案 AD
3.(公式UAB＝eq \f(WAB,q)的应用)带电荷量为q＝＋5.0×10－8 C的点电荷从A点移到B点时，克服静电力做功3.0×10－6 J。已知B点的电势为φB＝20 V。则：
(1)A、B间的电势差为______________________________________________；
(2)A点的电势为____________________________________________________；
(3)q从A到B的电势能________(填“增加”或“减少”)了________。
解析 (1)从A到B静电力做的功为
WAB＝－3.0×10－6 J
A、B两点间的电势差UAB＝eq \f(WAB,q)＝eq \f(－3.0×10－6,5.0×10－8) V＝－60 V，B点电势高于A点电势。
(2)根据UAB＝φA－φB得A点的电势为
φA＝UAB＋φB＝(－60 V)＋20 V＝－40 V。
(3)q从A到B克服静电力做功，电势能一定增加
ΔEp＝|WAB|＝3.0×10－6 J。
答案 (1)－60 V (2)－40 V (3)增加 3.0×10－6 J
4.(电势、电势差、静电力做功的综合问题)把带电荷量为2×10－8 C的正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服静电力做功8×10－6 J，若把该电荷从无限远处移动到电场中B点，需克服静电力做功2×10－6 J，求：
(1)A点的电势；
(2)A、B两点的电势差；
(3)把2×10－8 C的负电荷由A点移到B点静电力做的功。
解析 (1)无限远处与A点间的电势差
U∞A＝eq \f(W1,q)＝eq \f(－8×10－6,2×10－8) V＝－400 V，而U∞A＝φ∞－φA，又φ∞＝0，所以φA＝400 V
(2)无限远处与B点间的电势差
U∞B＝eq \f(W2,q)＝eq \f(－2×10－6,2×10－8) V＝－100 V，而U∞B＝φ∞－φB，又φ∞＝0，所以φB＝100 V，则A、B两点的电势差为UAB＝φA－φB＝300 V。
(3)静电力做的功
W＝q′UAB＝－2×10－8×300 J＝－6×10－6 J。
答案 (1)400 V (2)300 V (3)－6×10－6 J
基础过关
1.(多选)关于电势差和静电力做功的说法中，正确的是( )
A.电势差的大小由静电力在两点间移动电荷做的功和电荷的电量决定
B.静电力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电量决定
C.电势差是矢量，静电力做的功是标量
D.在匀强电场中与电场线垂直方向上任意两点间的电势差为零
解析 电势差的大小由电场本身决定，静电力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定，A错误，B正确；电势差和静电力做的功都是标量，C错误；与电场线垂直的方向就是在等势面上，所以任意两点间电势差为零，D正确。
答案 BD
2.(多选)某电场中，点电荷从a点移到b点，静电力做功为零，则( )
A.a、b两点的场强一定相等
B.a、b两点间的电势差一定为零
C.a、b两点的电势一定相等
D.电荷所受到的静电力总是垂直于其移动方向
解析 点电荷从a点移到b点，静电力做功为零，由静电力做功公式W＝qU可知，a、b两点间的电势差一定为零，即a、b两点的电势一定相等，而电场分布的特点、点电荷移动的轨迹等都不确定，故A错误，B、C正确；由于静电力做功与电荷的运动路径无关，所以电荷所受到的静电力不一定总是垂直于其移动方向，D错误。
答案 BC
3.(多选)一个带电小球在从空中a点运动到b点的过程中，重力做功3 J，静电力做功1 J，克服空气阻力做功0.5 J，则小球( )
A.在a点的重力势能比在b点的重力势能大3 J
B.在a点的动能比在b点的动能小3.5 J
C.在a点的电势能比在b点的电势能小1 J
D.在a点的机械能比在b点的机械能小0.5 J
解析 重力做正功，重力势能减小；静电力做正功，电势能减小；静电力和空气阻力做功的代数和等于小球机械能的变化量，合外力做的功等于小球动能变化量。
答案 ABD
4.如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受静电力的作用，运动过程中电势能逐渐减少，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能是( )
解析 由于带电粒子只受静电力的作用，而且运动过程中电势能逐渐减少，可判断静电力做正功，即静电力方向与粒子速度方向夹角为锐角，且静电力方向沿着电场线指向轨迹凹侧，故D项正确。
答案 D
5.如图所示，一带电粒子在电场中沿曲线AB运动，从B点穿出电场，a、b、c、d为该电场中的等势面，这些等势面都是互相平行的竖直平面，不计粒子所受重力，则( )
A.该粒子一定带负电
B.此电场不一定是匀强电场
C.该电场的电场线方向一定水平向左
D.粒子在电场中运动过程动能不断减少
解析 由于不能确定电场线方向，故不能确定粒子带负电，A、C错误；等势面互相平行，故一定是匀强电场，B错误；粒子受静电力一定沿电场线指向轨迹凹侧，而电场线和等势面垂直，由此可确定静电力一定做负功，故动能不断减少，D正确。
答案 D
6.如图所示，正点电荷电场中有A、B两点，将一电荷量q＝＋3.2×10－19 C的检验电荷从电场中的A点移至B点，静电力做功W＝＋6.4×10－20 J，则A、B两点间的电势差U等于( )
A.0.5 V B.0.2 V
C.5 V D.2 V
解析 A、B两点间的电势差U＝eq \f(W,q)＝eq \f(6.4×10－20,3.2×10－19) V＝0.2 V，故选项B正确。
答案 B
7.如图所示，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面。A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是( )
A.A点场强与B点场强相同
B.C点电势高于B点电势
C.将电子从A点沿虚线移到B点，静电力不做功
D.将质子从A点移到C点，其电势能增加
解析 A、B两点场强大小相等、方向不同，A项错误；A、B两点电势相等，均高于C点电势，B项错误；A、B在同一等势面上，将电子从A点沿虚线移到B点，电势能不变，静电力不做功，C项正确；由于φA＞φC，质子带正电，故由A点到C点，质子的电势能减少，D项错误。
答案 C
8.如图所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正点电荷从A经B、C到达D点。从A至D，静电力对电荷做的功为( )
A.4.8×10－8 J B.－4.8×10－8 J
C.8.0×10－8 J D.－8.0×10－8 J
解析 由于静电力做功只与初末位置的电势差有关，与路径无关，所以从A到D，或从A经B、C到D点静电力做功为W＝qUAD＝1.6×10－9×(－40 V＋10 V)＝－4.8×10－8 J，B正确。
答案 B
9.(多选)如图所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，静电力做功大小比较( )
A.WAB>WAC B.WAD>WAB
C.WAC＝WAD D.WAB＝WAC
解析 点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由功的计算公式W＝qU可得静电力做功相同。
答案 CD
10.如图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV。当这一点电荷运动到某一位置，
其电势能变为－8 eV时，它的动能应为( )
A.10 eV B.20 eV C.10eq \r(2) eV D.20eq \r(2) eV
解析 由图可判断b点电势高于a点电势，设各等势面间电势差为U，则由能量守恒，－2Uq＋26 eV＝Uq＋5 eV，所以Uq＝7 eV，所以，点电荷在b点的能量为7 eV＋5 eV＝12 eV，所以，当电势能为－8 eV时，动能为12 eV－(－8 eV)＝20 eV，故选项B正确。
答案 B
能力提升
11.空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点。则( )
A.P、Q两点处的电荷等量同号
B.a点和b点的电场强度相同
C.c点的电势低于d点的电势
D.负电荷从a到c，电势能减少
解析 根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误；根据电场的对称性，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误；c点所在等势面离P点(正电荷)较d点所在等势面离P点近，c点的电势较高，故C错误；负电荷从a到c，静电力做正功，所以电势能减少，故D正确。
答案 D
12.(多选)如图所示，在A点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子在到达B点时的速度恰好为零，已知A、B所在处的电场线方向竖直向下，A、B两点间的高度差为h，则下列判断正确的是( )
A.带电粒子带负电
B.A、B两点间的电势差UAB＝eq \f(mgh,q)
C.B点的场强大于A点的场强
D.A点的场强大于B点的场强
解析 带电粒子由A到B的过程中，先加速后减速运动，静电力必竖直向上，带电粒子带负电，A正确；由动能定理可得mgh＋UABq＝0，可得UAB＝eq \f(－mgh,q)，B错误；因在A处，mg＞|EAq|，在B处，mg＜|EBq|，故必有EA＜EB，C正确，D错误。
答案 AC
13.图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子( )
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
解析 物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝keq \f(q1q2,r2)知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；点电荷的等势面
与虚线重合，依题意得Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。
答案 CD
14.如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为eq \f(3,4)g，试求：
(1)此带电小球在B点的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示)。
解析 (1)这个带电小球必带正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时，有mg－eq \f(kQq,h2)＝m·eq \f(3,4)g，在B点时，有eq \f(kQq,（0.25h）2)－mg＝maB，解得aB＝3g，方向竖直向上。
(2)带电小球从A点运动到B点的过程中，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－eq \f(3kQ,h)。
答案 (1)3g，方向竖直向上 (2)－eq \f(3kQ,h)核心素养
物理观念
科学思维
1.理解电势差的概念，知道电势差与电势零点的选取无关。
2.掌握电势差的表达式UAB＝φA－φB及UAB＝eq \f(WAB,q)。
3.知道电势差的正、负号与电势高低之间的对应关系。
4.知道等势面，理解等势面的特点。
5.知道典型电场的等势面特点。
1.通过类比电场强度、电势的定义方法，理解UAB＝eq \f(WAB,q)的意义，知道电势差UAB与WAB、q无关。
2.会应用公式UAB＝φA－φB及UAB＝eq \f(WAB,q)进行计算，并在应用中培养逻辑推理能力。
3.能通过类比等高线理解等势面。
4.会根据电场线和等势面的规律分析带电体的运动轨迹问题。
电势φ
电势差U
区
别
定义
电势能与电荷量的比值φ＝eq \f(Ep,q)
静电力做功与电荷量的比值U＝eq \f(W,q)
决定因素
由电场和在电场中的位置决定
由电场和场内两点位置决定
相对性
与零电势位置的选取有关
与零电势位置的选取无关
联
系
数值关系
UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位
相同，均是伏特(V)
标矢性
都是标量，且均具有正负
物理意义
均是描述电场的能的性质的物理量
四种求法
表达式
注意问题
功的定义
W＝Fd＝qEd
(1)适用于匀强电场
(2)d表示沿电场线方向的距离
功能关系
WAB＝EpA－EpB
＝－ΔEp
(1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场
(2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况
电势差法
WAB＝qUAB
动能定理
W静电力＋W其他力
＝ΔEk
关键点
获取信息
q≪Q
q的存在不影响Q产生的电场
B、C在以Q为圆心的圆周上
B、C两点等电势，UAC＝UAB
类型
表达式
静电力做的功等于电势能的减少量
W电＝－ΔEp
重力做的功等于重力势能的减少量
WG＝－ΔEp
弹簧做的功等于弹性势能的减少量
W弹＝－ΔEp
合外力做的功等于物体动能的变化量
W合＝ΔEk
(动能定理)
除重力和系统内弹力之外的其他力做的总功等于物体机械能的变化量
W其他＝ΔE
(功能原理)