数学人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案

这是一份数学人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案，共4页。教案主要包含了预习导学，合作探究等内容，欢迎下载使用。
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．
3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．
阅读教材第81至83页内容，并完成下列问题．
知识探究
1．圆是________对称图形，任何一条________________都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为________．
2．垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：
③________；④________；⑤________.
3．推论：________弦(________)的直径垂直于弦，并且________弦所对的两条弧．
自学反馈
1．如图，弦AB垂直于直径CD于E，写出图中所有的弧________________________________________________；优弧有：________________________________；劣弧有：________________________________；最长的弦是：________；相等的线段有：____________________；相等的弧有：________________________________；此图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？________________．
2．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为________．
3．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为________．
圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．
4．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为________．
已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直是常用的辅助线．
5．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为________米．
圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．
6．⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是________，最长弦的长为________．
过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．
活动1 小组讨论
例1 AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．
解：6.
常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．
例2⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3．最大值为5．
当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．
例3已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
过圆心作垂径是圆中常用辅助线．
活动2 跟踪训练
1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．
2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为________．
3．如图，AB为⊙O的直径，E是eq \(BC,\s\up8(︵))中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝________.
4．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么________．(只需写一个正确的结论即可)
5．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.
过圆心作垂径．
6．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
先过圆心作垂径，将30°角放在直角三角形中，求出弦心距，再连半径构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形．
7．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．
分情况讨论：①AB、CD在点O两侧；②AB、CD在点O同侧．
活动3 课堂小结
垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．
【预习导学】
知识探究
1．轴 直径所在的直线 圆心 2.平分 平分 CE＝DE eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))eq \(CA,\s\up8(︵))＝eq \(DA,\s\up8(︵)) 3.平分 不是直径 平分
自学反馈
1.eq \(AD,\s\up8(︵))、eq \(DB,\s\up8(︵))、eq \(BC,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))、eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(ACB,\s\up8(︵))、eq \(CAD,\s\up8(︵))、eq \(CBD,\s\up8(︵))、eq \(DCB,\s\up8(︵))、eq \(ABC,\s\up8(︵))、eq \(DCA,\s\up8(︵))、eq \(CAB,\s\up8(︵))eq \(ACB,\s\up8(︵))、eq \(DCB,\s\up8(︵))、eq \(ABC,\s\up8(︵))、eq \(DCA,\s\up8(︵))、eq \(CAB,\s\up8(︵))eq \(AD,\s\up8(︵))、eq \(BD,\s\up8(︵))、eq \(BC,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))、eq \(AB,\s\up8(︵)) CD AE＝EB，CO＝DO eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(CAD,\s\up8(︵))＝eq \(CBD,\s\up8(︵)) 是，CD所在的直线 2.8 cm 3.3 cm 4.3 cm 5.8 6.8 10
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．5eq \r(3)cm 2.eq \f(13,4)cm 3.8 4.AB＝CD 5.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. 6.作OF⊥CD于点F，连接OD.∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝8.∴AO＝4.∴EO＝2.∵∠DEB＝30°，∠OFE＝90°，∴OF＝eq \f(1,2)OE＝1.在Rt△ODF中，∵OD＝4，OF＝1，∴DF＝eq \r(OD2－OF2)＝eq \r(15).∴CD＝2DF＝2eq \r(15). 7.过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.①当AB、CD在点O两侧时，如图1.连接AO、CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间距离为22 cm.
图1
图2
②当AB、CD在点O同侧时，如图2，连接AO、CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间距离为8 cm.由①②知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.