数学选择性必修 第一册1.3 直线的方程当堂检测题

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 直线的方程当堂检测题，共27页。试卷主要包含了直线y-4=3化为斜截式是，关于直线l，已知直线l的倾斜角为30°等内容，欢迎下载使用。
题组一 直线方程的点斜式与斜截式
1.(2020黑龙江哈尔滨第三十二中学高一下期末)直线y-4=3(x-1)化为斜截式是( )
A.y=3x-3 B.y=-3x+1 C.y=3x+1 D.y=-3x+4
2.(多选题)(2020江苏泰州高一下期末)关于直线l:y=3x-1,下列说法正确的是( )
A.过点(3,-2) B.斜率为3
C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1
3.(2021河北石家庄元氏第四中学高二上第一次月考)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-14的直线方程为( )
A.3x+4y+15=0 B.3x+4y+6=0
C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0
4.(2021福建南安侨光中学高二上第一次阶段考试)过点P(1,12)且倾斜角为45°的直线在y轴上的截距是( )
A.-10 B.10 C.-11 D.11
5.已知直线l的倾斜角为30°.
(1)若直线l过点P(3,-4),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为3,求直线l的方程.
题组二 直线方程的两点式与截距式
6.(2021湖北部分重点中学高二上第一次联考)已知直线l在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6,则直线l的方程是( )
A.6x-5y+30=0 B.6x+5y-30=0
C.6x-5y-30=0 D.6x+5y+30=0
7.通过第一象限某定点(a,b)的所有直线中,无法用直线方程的截距式表示的有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
8.(2020江苏镇江高一下期末)已知点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x+y-5=0 D.x-y-5=0
9.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l方程的截距式是 .
10.(2021山东枣庄第八中学(东校区)高二月考)求经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.
11.(2020宁夏银川二中高一下期末)在△ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)点C的坐标;
(2)直线MN的方程.
12.(2021黑龙江双鸭山第一中学高二月考)直线l过点P(4,1).
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
题组三 直线方程的一般式与点法式
13.(2020江西吉安高二上期末)设直线x+2020y-1=0的斜率为k,则k=( )
A.2020 B.-2020
C.12020 D.-12020
14.已知ab0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
15.(2021上海华东师范大学第二附属中学高二上月考,)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
16.(2020湖南长沙一中高二期中,)如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用,经过测量,AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大?
17.(2020河北石家庄高二期中,)在平面直角坐标系中,矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列,且点O,P,Q的坐标分别是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),其中t>0.
(1)求顶点R的坐标;
(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t).
答案全解全析
基础过关练
1.C
2.BC 对于A,将点(3,-2)代入y=3x-1,可知不满足方程,故A不正确;
易知B正确;
对于C,由k=3,即tanα=3,可得直线的倾斜角为60°,故C正确;
对于D,由y=3x-1,知直线在y轴上的截距为-1,故D不正确.
故选BC.
3.A 设所求直线的斜率为k,由已知得k=-34,
又因为直线过点A(-1,-3),
所以直线方程为y+3=-34(x+1),
整理可得3x+4y+15=0.故选A.
4.D 由题意得直线方程为y-12=tan45°(x-1),整理得y=x+11,所以该直线在y轴上的截距为11.故选D.
5.解析 ∵直线l的倾斜角为30°,
∴直线l的斜率为tan30°=33.
(1)∵直线l过点P(3,-4),∴该直线方程的点斜式为y+4=33(x-3),化简,得3x-3y-33-12=0.
(2)∵直线l在y轴上的截距为3,∴该直线方程的斜截式为y=33x+3,化简,得3x-3y+9=0.
6.A 因为直线l在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6,
所以直线l的方程为x-5+y6=1,即6x-5y+30=0.故选A.
7.C 当直线的倾斜角为0或π2,或直线过原点时,均无法用直线方程的截距式表示.故选C.
8.C 由题意得BC边的中点为D(1,4),
∴中线AD所在直线的方程为y-24-2=x-31-3,
整理得x+y-5=0.故选C.
9.答案 x2+y6=1
解析 设点A(m,0),B(0,n),由点P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,
即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l方程的截距式为x2+y6=1.
10.解析 设直线方程为xa+yb=1,则12|ab|=1,-2a+2b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2,
故所求的直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.
11.解析 (1)设点C(x,y).
由AC边的中点M在y轴上,得5+x2=0,
解得x=-5,
由BC边的中点N在x轴上,得3+y2=0,
解得y=-3.
故点C的坐标是(-5,-3).
(2)易得点M的坐标是0,-52,点N的坐标是(1,0),
所以直线MN的方程是y-0-52-0=x-10-1,即5x-2y-5=0.
12.解析 (1)解法一:直线l的方程为y-16-1=x-4-1-4,化简,得x+y-5=0.
解法二:直线l的斜率为k=6-1-1-4=-1,
所以直线l的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零.
设直线l的方程为y-1=k(x-4),
则直线l在y轴上的截距为1-4k,在x轴上的截距为4-1k,
故1-4k=24-1k,得k=14或k=-2,
所以直线l的方程为x-4y=0或2x+y-9=0.
13.D 将直线方程化为斜截式得y=-12020x+12020,所以k=-12020.故选D.
14.C ax+by=c等价于y=-abx+cb,由题意得-ab>0,cb0,-a-35≤0,解得a≥3.
能力提升练
1.D 当a>0时,∵a+b=0,∴b0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10⇒ab≥20,当a=1时,没有这样的b满足条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b∈{4,6,8};当a=7时,b∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为7.故选B.
6.D 直线xm-yn=1化为xm+y-n=1,在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;
直线xn-ym=1化为xn+y-m=1,在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m,
所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均互为相反数.
对于A选项:出现两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数的情况,不满足题意;
对于B选项:出现两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数的情况,不满足题意;
对于C选项:出现两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数的情况,不满足题意;
对于D选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.故选D.
7.BC 显然a≠0.当直线l经过原点时,其在x轴和y轴上的截距相等,则2+a=0,解得a=-2;当直线l不经过原点时,直线l的方程可化为x2+aa+y2+a=1,则2+aa=2+a≠0,所以a=1.
8.A 把A(2,1)代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,
得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
∴2(a1-a2)=b2-b1,
过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是(a2-a1)(y-b1)=(b2-b1)(x-a1),
∴y-b1=-2(x-a1),即2x+y-(2a1+b1)=0,
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,
∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选A.
9.A 由点A(4,0),B(0,2)可得直线AB的方程为x4+y2=1.
因为点C(a,b)在线段AB(不含端点)上,所以a4+b2=1(a>0,b>0),所以1a+1-b=1a+1-2+a2=1a+1+a+12-52≥21a+1·a+12-52=2-52,
当且仅当1a+1=a+12,即a=2-1时等号成立.故选A.
10.信息提取 ①确定A,B两点的坐标,进而求直线AB的方程;②根据费用为0确定可以免费携带的行李的质量.
数学建模 将现实生活中旅客携带行李问题,通过建立直线模型得以数学化.利用A,B两点的坐标得出x与y之间的关系,再结合y=0时x的值,可以探求出最多免费携带的行李的质量.
解析 (1)由题图知点A(60,6),B(80,10).
由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x-5y-30=0.
(2)结合(1),令y=0,解得x=30.即旅客最多可免费携带30千克的行李.
11.解析 (1)根据题意,设A的坐标为(a,0),B的坐标为(0,b)(a,b>0),
则直线l的方程为xa+yb=1,
由于直线l过点P(1,4),则有1a+4b=1,
则|OA|+|OB|=a+b=(a+b)1a+4b=
5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,
当且仅当b=2a,即b=2a=6时等号成立,
此时直线l的方程为x3+y6=1.
(2)设△AOB的面积为S,
则S=12|OA||OB|=ab2,
由1a+4b=1,有21a·4b≤1,即ab≥16,当且仅当b=4a=8时等号成立.
此时S=ab2取得最小值,直线l的方程为x2+y8=1.
12.D 因为点P在直线PA上,所以3-y+1=0,解得y=4,即点P的坐标为(3,4).
由题知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为(-1,0),又|PA|=|PB|,点B在x轴上,所以点A,B关于直线x=3对称,所以点B的坐标为(7,0),kPB=0-47-3=-1,所以直线PB的方程为y-0=-1×(x-7),即x+y-7=0.故选D.
13.A ∵直线3x-y-3=0的斜率k=3,
∴直线3x-y-3=0的倾斜角α满足tanα=3(0°≤α0,b>0)过点(1,1),
∴a+b=ab,即1a+1b=1,
∴a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=2时取等号,
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
15.解析 (1)证明:直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)变形可得y-1=k(x+2),
所以直线l过定点(-2,1).
(2)将直线方程变形可得y=kx+1+2k,
因为直线l不经过第四象限,
所以k≥0,1+2k≥0,解得k≥0,所以k的取值范围为[0,+∞).
(3)直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),
分别令y=0,x=0,可得点A-1+2kk,0,B(0,1+2k),由-1+2kk0解得k>0.
S△AOB=12|OA||OB|=12·1+2kk·(1+2k)=12·4k+1k+4≥12·24k×1k+4=4,
当且仅当4k=1k,即k=12k=-12舍去时取等号,
此时直线l的方程为12x-y+1+1=0,整理可得x-2y+4=0,
综上可知,S△AOB的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
16.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20).
线段EF的方程为x30+y20=1(0≤x≤30).
在线段EF上取一点P(m,n),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因为m30+n20=1(0≤m≤30),
所以n=201-m30,
故S=(100-m)80-20+23m=-23(m-5)2+180503(0≤m≤30),
当m=5时,S有最大值,此时|EP||PF|=30-55=5,即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪面积最大.
17.解析 (1)设顶点R的坐标为(x,y).
由题意知kOP=t-01-0=t,kPQ=2+t-t1-2t-1=-1t.
易知OP∥QR,PQ∥OR,
所以t=y-2-tx-1+2t,-1t=y-0x-0,
解得x=-2t,y=2,即点R的坐标为(-2t,2).
(2)易得S矩形OPQR=|OP|·|OR|=2(1+t2).
①如图1,当1-2t≥0,即0