高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程同步练习题，共12页。试卷主要包含了1　圆的标准方程，圆C，方程x=1-y2表示的图形是，方程2+2=2a2表示的圆，点与圆x2+2=1的位置关系是，点P与圆2+2=3的位置关系为等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 圆的标准方程的认识
1.(2021重庆第一中学高二上月考)已知圆C的标准方程为(x+2)2+y2=1,则它的圆心坐标为( )
A.(-2,0) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(2,0)
2.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3
C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=9
3.(2020湖南普通高中学业水平考试)圆C:x2+y2=1的面积是( )
A.π4 B.π2 C.π D.2π
4.(2019福建泰宁第一中学高二上阶段测试)方程x=1-y2表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆
5.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称
6.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知直线ax+y-2=0过圆(x-1)2+(y-a)2=4的圆心,则实数a= .
题组二 点与圆的位置关系
7.(2020福建莆田第七中学高一阶段性考试)点(1,1)与圆x2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.无法判定
8.(2020安徽黄山高二上期末)点P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=3的位置关系为( )
A.点在圆外 B.点在圆内
C.点在圆上 D.与m的值有关
9.(多选题)(2021安徽合肥第八中学高二上第二次月考)若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的值可能为( )
A.-1 B.0 C.125 D.113
题组三 求圆的标准方程
10.(2020河北邢台一中高二上期末)以P(-2,3)为圆心,且圆心到y轴的距离为半径的圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y-3)2=4
C.(x-2)2+(y+3)2=9 D.(x+2)2+(y-3)2=9
11.(2020江苏邗江中学高一下期末)圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x+2)2+(y+2)2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x-2)2+y2=5 D.x2+(y+2)2=5
12.(2020浙江宁波九校高一下期末)圆C以直线l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0恒过的定点为圆心,半径r=4,则圆C的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=16 B.(x-2)2+(y-2)2=16
C.(x-2)2+(y+2)2=16 D.(x+2)2+(y+2)2=16
13.(2020湖南长沙高一上期末)圆心在y轴上,半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为( )
A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-2)2=4
C.x2+(y-3)2=4 D.x2+(y-4)2=4
14.(2020江西上饶高一下期末)已知点A(3,-1),B(-2,2),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.x-122+y-122=172 B.x-122+y+122=172
C.x-122+y-122=8 D.x-122+y+122=8
15.(多选题)(2020江苏如皋中学高一下阶段性测试)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,且过另一个交点的圆的方程可能为( )
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
16.(2020江苏宿迁高一下期末)已知圆C的圆心在直线y=-x上,且过两点A(2,0),B(0,-4),则圆C的方程是 ( )
A.(x-3)2+(y+3)2=10 B.(x+3)2+(y-3)2=10
C.(x-3)2+(y+3)2=10 D.(x+3)2+(y-3)2=10
17.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一个点在圆外,一个点在圆上,一个点在圆内,求这个圆的方程.
能力提升练
题组一 求圆的标准方程
1.(2020广东省实验中学高一下期中,)已知圆C经过点A(0,0),B(2,0),且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5
2.(2020河南郑州高三模拟,)已知过点(0,2)的圆C的圆心在直线2x+y=0上,则圆C的面积最小时,圆C的方程是( )
A.x+452+y-852=45 B.x+452+y-852=1625
C.x-452+y+852=45 D.x-452+y+852=1625
3.(2021天津第二十中学高二上月考,)圆(x-2)2+(y-1)2=3关于直线3x+5y+6=0对称的圆的方程为 .
4.(2020浙江绍兴高二下期末,)在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(2,1),C(3,4),△ABC恰好被面积最小的圆(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则a-2b= ,r= .
5.()已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断它们是否共圆,并说明理由.
6.(2021河北石家庄第一中学高二上第一次月考,)已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2).
(1)求圆C的标准方程;
(2)求圆C上的点到直线2x-y-1=0的距离的最大值和最小值.
7.(2020安徽合肥一六八中学高二上期末,)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,点Q的坐标为(0,1),当过A,B,Q三点的圆面积最小时,求圆的方程.
题组二 圆的方程与性质的应用
8.(多选题)()圆(x-2)2+y2=5( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
9.(多选题)(2021江西南昌第二中学高二上月考,)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为5,则圆的方程可能是( )
A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5
10.(2020河北深州长江中学高一下期末,)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=1上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,22] B.[2,4]
C.[1,2] D.[1,3]
11.(2020河北新乐第一中学高二下第一次月考,)一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双向双车道),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.8米 B.3米
C.3.6米 D.4米
12.()数学家高斯曾经研究过这样一个问题:在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点.该问题被称为著名的高斯圆内整点问题.设圆x2+y2=5,则圆内(包括圆上)的整点有 个.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为圆C的标准方程为(x+2)2+y2=1,所以圆心坐标为(-2,0).故选A.
2.D 因为圆心为(1,-2),半径为3,所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.故选D.
3.C 由圆的方程知,圆C的半径为1,所以其面积S=πr2=π,故选C.
4.D 根据题意,x≥0,再对方程两边同时平方得x2+y2=1,由此确定图形为半圆.故选D.
5.D 易得圆心为(-a,a),所以圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称.
6.答案 1
解析 由题知圆的圆心为(1,a),代入直线ax+y-2=0,可得a+a-2=0,则a=1.
7.A 将点(1,1)的坐标代入圆x2+(y-1)2=1的方程,得12+(1-1)2=1,∴点(1,1)在圆x2+(y-1)2=1上.故选A.
8.A ∵(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>3,
∴点P(m,3)在圆(x-2)2+(y-1)2=3外,故选A.
9.BC 因为点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以(5a)2+(12a)2<1,所以169a2<1,解得|a|<113,所以选项B、C正确.故选BC.
10.B 圆心P(-2,3)到y轴的距离为|-2|=2,所以圆的半径为2,故圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=22=4.故选B.
11.C 圆(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),
那么(-2,0)关于原点的对称点(2,0)即为所求圆的圆心,
因为半径不变,所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选C.
12.A 由(2m+1)x+(m+1)y+2m=0,得(2x+y+2)m+(x+y)=0,由2x+y+2=0,x+y=0,得直线过定点(-2,2),则所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=16,故选A.
13.D 根据题意,设圆心的坐标为(0,b),
则有(0-2)2+(b-4)2=4,解得b=4,则圆的方程为x2+(y-4)2=4.故选D.
14.A 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题意得圆心(a,b)为线段AB的中点,
根据中点坐标公式可得a=3-22=12,b=-1+22=12,
又r=|AB|2=(3+2)2+(-1-2)22=342,所以圆的方程为x-122+y-122=172.故选A.
15.AD 设直线2x+y-4=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,令y=0,则x=2;令x=0,则y=4,故A(2,0),B(0,4),|AB|=22+(-4)2=25.
以A为圆心,过B点的圆的方程为(x-2)2+y2=20;以B为圆心,过A点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.故选AD.
16.C 由题可设圆心C(a,-a),因为点A,B在圆C上,
所以(a-2)2+(-a)2=a2+(-a+4)2,解得a=3.
则圆心C(3,-3),r=|CA|=(3-2)2+(-3)2=10,
所以圆C的方程是(x-3)2+(y+3)2=10.故选C.
17.解析 要使A,B,C三点中一个点在圆外,一个点在圆上,一个点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|中的一个值.
因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
所以圆的半径r=|PB|=13.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
能力提升练
1.C 因为圆心在弦AB的中垂线上,所以可设圆心为C(1,m)(m>0),易知△ABC为等腰直角三角形,所以|AC|=2=1+m2,所以m=1,所以圆心坐标为(1,1),半径为2,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选C.
2.A 据题设分析知,圆C的半径r的最小值rmin=|2×0+2|22+12=25,此时圆C的圆心为直线2x+y=0与直线y-2=12(x-0)(即直线x-2y+4=0)的交点.联立方程2x+y=0,x-2y+4=0,解得x=-45,y=85,所以圆C的方程是x+452+y-852=45.故选A.
3.答案 (x+1)2+(y+4)2=3
解析 圆(x-2)2+(y-1)2=3的圆心为(2,1),设所求圆的圆心为(a,b),
由题意,得b-1a-2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得a=-1,b=-4,
所以所求圆的圆心为(-1,-4),
半径为3,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+4)2=3.
4.答案 -5;5
解析 由题可知,AB=(3,-1),BC=(1,3),则AB·BC=0,
所以△ABC是直角三角形且∠B=π2,
易知覆盖△ABC且面积最小的圆为△ABC的外接圆,
故外接圆的半径为|AC|2=(3+1)2+(4-2)22=5,圆心为(1,3),
所以△ABC的外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5,
所以a-2b=1-2×3=-5,r=5.
5.解析 设M,N,P三点确定的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
∴(2-a)2+b2=r2,(10-a)2+b2=r2,(11-a)2+(3-b)2=r2,解得a=6,b=3,r2=25,
∴过点M,N,P的圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=25.
将点Q的坐标(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25,
∴点Q不在圆(x-6)2+(y-3)2=25上,
∴M,N,P,Q四点不共圆.
6.解析 (1)由题意,圆心在直线y=-3上,
联立y=-3,2x-y-7=0,解得x=2,y=-3,则圆心坐标为(2,-3),
则圆C的半径r=(2-0)2+(-3+2)2=5.
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
(2)圆心C(2,-3)到直线2x-y-1=0的距离d=|4+3-1|5=655,圆的半径为5,
所以圆C上的点到直线2x-y-1=0的距离的最大值为655+5=1155,最小值为655-5=55.
7.解析 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足方程x2+bx-2=0,
线段BQ的中点坐标为x22,12,可得直线BQ的中垂线方程为y-12=x2x-x22.
又x1+x2=-b,所以直线AB的中垂线方程为x=-b2.
联立x=-b2,y-12=x2x-x22,x22+bx2-2=0,可得x=-b2,y=-12,
所以过A、B、Q三点的圆的圆心坐标为-b2,-12,半径r=b2+92.
所以当b=0时,半径r最小,为32,此时圆的方程为x2+y+122=94.
8.ABC 对于圆(x-2)2+y2=5,其圆心的坐标为(2,0),直线x+3y-2=0和y=0都通过圆心,根据圆的对称性,可知ABC正确.
9.AD ∵点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,
∴圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为(a,-a),则有(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,
∴所求圆的方程为x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5.故选AD.
10.D 由题得A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=2,
圆心到直线AB的距离为|2+0+2|12+12=2,
所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,
所以△ABP面积的最小值为12×2×1=1,最大值为12×2×3=3.
所以△ABP面积的取值范围为[1,3].故选D.
11.答案 C
信息提取 ①卡车宽2.7米;②半圆形隧道的半径为4.5米;③半圆形隧道是双向双车道,所以同一方向的车辆只能占用隧道宽度的一半.
数学建模 以半圆形隧道为背景,构建圆的模型,再利用圆的方程求解实际问题.首先根据圆的对称性建立平面直角坐标系,得到圆的方程,结合双向双车道的实际要求,及卡车宽2.7米,转化为x轴上距离圆心位置2.7时对应的y的值,即卡车的平顶车篷篷顶距离地面的最大高度.所以只需将x=2.7代入圆的方程即可.
解析 以半圆形隧道的直径所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则半圆的方程为x2+y2=4.52(y≥0).
因为卡车宽2.7米,所以不妨设D(2.7,0),A(2.7,y),
将A点坐标代入半圆的方程得2.72+y2=4.52,解得y=3.6(负值舍去).
因此这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过3.6米.故选C.
12.答案 21
解析 根据题意,画出图形,如图.由图可得,圆x2+y2=5内(包括圆x2+y2=5上)的整点有21个.